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        對幾何直觀的認識和培養(yǎng)

        2023-09-12 10:26:31李樹臣欒尚鋒
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2023年4期
        關(guān)鍵詞:幾何直觀培養(yǎng)策略核心素養(yǎng)

        李樹臣 欒尚鋒

        【摘 要】《課標(biāo)(2022年版)》提出了“三會”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo),初中階段的核心素養(yǎng)包括九個行為表現(xiàn),幾何直觀是其中之一.幾何直觀是學(xué)生整體素養(yǎng)不可或缺的部分,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強對學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng).學(xué)生幾何直觀的形成與發(fā)展是在過程中實現(xiàn)的,在對幾何直觀初步認識的基礎(chǔ)上,提出了三個培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的策略.

        【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);幾何直觀;培養(yǎng)策略

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《課標(biāo)(2022年版)》)在“課程目標(biāo)”中提出了“核心素養(yǎng)”的概念,并將“幾何直觀”作為初中學(xué)段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一1.本文首先談?wù)剬缀沃庇^的認識,然后探討其教學(xué)策略.

        1 對幾何直觀的認識

        徐利治2教授認為:“直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想,所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認識,而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知.”

        《課標(biāo)(2022年版)》認為“幾何直觀”是“運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣”.分為四個層次:(1)能夠感知各種幾何圖形及其組成元素,依據(jù)圖形的特征進行分類;(2)根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形,分析圖形的性質(zhì);(3)建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型;(4)利用圖表分析實際情境與數(shù)學(xué)問題,探索解決問題的思路1.可見,幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考和想象,它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.

        幾何直觀不僅能為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識、進行幾何探究與推理提供便利,而且能為學(xué)生理解與洞察其他更為抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)搭建橋梁,幾何直觀是啟發(fā)問題解決思路的基本策略3.初中階段的幾何直觀主要表現(xiàn)為7個方面,“能通過尺規(guī)作圖、折紙、剪拼等操作活動,感知圖形的結(jié)構(gòu)特征”是其中之一4.

        對于這一表現(xiàn),文[5]認為尺規(guī)作圖是歐氏幾何的基礎(chǔ),尺規(guī)作圖的操作過程有助于學(xué)生認識圖形的組成元素及其位置關(guān)系,對圖形的結(jié)構(gòu)特征形成直觀感知,進而為邏輯推理奠定基礎(chǔ).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,不能把尺規(guī)作圖簡單的看作是“圖形與幾何”的任務(wù),應(yīng)將其當(dāng)作一種感知幾何圖形、理解圖形性質(zhì)、探究幾何規(guī)律的認知工具.這種表現(xiàn)行為包括三個方面5

        (1)能用直尺和圓規(guī)作出基本圖形,感悟尺規(guī)作圖的合理性及圖形的幾何特征.例如,在用尺規(guī)作圖作一個角的平分線的同時,能探究得到角平分線的性質(zhì),這個性質(zhì)有兩個方面的意義:一是“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”,這是角平分線上的點具有的共同屬性(這條平分線上的任何一點都滿足到角兩邊的距離相等的特性),讓學(xué)生認識到在角平分線上的點,不摻雜一個不具有這種性質(zhì)的點;二是“到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”,這是角平分線的本質(zhì)(到一個角兩邊距離相等的點都在這個角的平分線上),讓學(xué)生感悟到角平分線外的任何一點到這個角兩邊的距離都不相等.

        (2)能利用尺規(guī)作圖探討幾何圖形的存在性與結(jié)構(gòu)特征.例如,學(xué)生通過用尺規(guī)作三角形的外接圓,能發(fā)現(xiàn)這個外接圓的存在性和唯一性:三角形的三條邊都是線段,由于線段的垂直平分線有且僅有一條,所以三角形兩邊的垂直平分線一定有交點,而且這個交點只能有一個,從而對“任意三角形都有唯一一個外接圓”深信不疑.因此,任意一個三角形都有一個外接圓.對于每個三角形都有唯一一個內(nèi)切圓也可以類似進行說明,正因為每個三角形都有唯一一個內(nèi)切圓,所以根據(jù)直角三角形的三邊長就可以求出這個圓的直徑.劉徽曾用兩種方法證明了《九章算術(shù)》中的“勾股容圓”公式.

        (3)能利用折紙、剪拼等操作活動對簡單圖形進行變換、分解與組合,解釋操作過程的幾何原理,明確操作前后圖形的關(guān)系.折紙的數(shù)學(xué)原理就是軸對稱,通過圖形的剪拼活動可以直觀感知圖形的形狀和大小,形成頭腦中的表象,為空間想象建立直觀基礎(chǔ).

        案例1 打印紙中的數(shù)學(xué)6.

        A4打印紙的長與寬之比為2,可以用下面兩種折紙的方法進行驗證并證明:

        方法1:如圖1,將A4打印紙折疊,使點A落在BC邊上,得折痕BE.再將四邊形BCDE折疊(如圖2),發(fā)現(xiàn)點E落在點C處.由折疊過程可知,BC=BE=√2AB.

        方法2:如圖3,將A4打印紙折疊兩次,設(shè)兩條折痕的交點為O.再將四邊形ABOE折疊(如圖4),發(fā)現(xiàn)點A落在點O處.由折疊過程可知,BC=√2OB=√2AB.

        20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一希爾伯特在《直觀幾何》一書中談到:圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題,可以幫助我們尋求解決問題的思路,可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果.

        總之,幾何直觀有助于學(xué)生更好的學(xué)好數(shù)學(xué),也是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決的工具,在其他領(lǐng)域的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有廣泛的應(yīng)用5,被《課標(biāo)(2022年版)》作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)之一.

        2 初中生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

        幾何直觀素養(yǎng)的形成離不開“圖形”,幾何圖形是培養(yǎng)直觀素養(yǎng)的最佳“載體”,這里的“直觀”既包括能看得到的“實物”,也包括依托看到的“實物”進行思考、想象,而且這一點更為重要.幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)既離不開“圖形”,也離不開“過程”.這里的過程主要指下面的三個:

        2.1 數(shù)學(xué)概念的形成過程

        許多幾何概念都有“實物”模型,在對這些概念的教學(xué)中,教師要精心設(shè)計問題系列,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程,在建立概念的同時加深對基本圖形的認知,感悟幾何直觀的思想.

        案例2 三角形內(nèi)切圓概念的建立過程.

        為了在三角形內(nèi)切圓概念的建立過程中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng),我們設(shè)計了下面的問題系列:

        (1)你能在∠AOB的內(nèi)部(圖5)

        作一個圓使其與兩邊OA,OB都相切嗎?

        (2)任意作一個△ABC,你能在△ABC內(nèi)部作一個與各邊都相切的圓嗎?怎樣確定出這個圓的圓心的位置?

        (3)怎樣用尺規(guī)作一個圓,使它與△ABC的各邊都相切呢?

        (4)你能說出上面作圖的道理嗎?與三角形各邊都相切的圓有幾個?

        設(shè)計意圖 《課標(biāo)(2022年版)》在“課程內(nèi)容”中對三角形內(nèi)切圓的概念沒有提出明確要求,只有兩條與之相關(guān)的要求:(1)了解三角形的內(nèi)心;(2)能用尺規(guī)作三角形的內(nèi)切圓.三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的“附屬”概念,因此在教學(xué)中必須先給出三角形內(nèi)切圓的概念.

        我們采用的是先用尺規(guī)作一個與三角形各邊都相切的圓,說明這個圓是確確實實存在的,而學(xué)生又不認識,于是需要給這個“圓”起個名字.教學(xué)的重點放在引導(dǎo)學(xué)生探究作圖的過程上,于是,我們設(shè)計了上面的四個問題系列.

        對于問題(1),學(xué)生很快就能作出圖6所示的無數(shù)個圓,而且歸納出這無數(shù)個圓的圓心都在∠AOB的平分線上.在思考這個問題的基礎(chǔ)上,學(xué)生對于問題(2)能給出肯定的回答:只要作出△ABC兩角的角平分線,兩條角平分線的交點就是與三角形各邊都相切的圓的圓心.

        有了問題(2),學(xué)生很容易給出問題(3)的解答過程:

        已知:△ABC(如圖7①).

        求作:⊙I,使它與△ABC各邊都相切.

        作法 (1)分別作∠ABC和∠ACB的角平分線BD和CE,BD與CE相交于點I(如圖7②);

        (2)過點I作IF⊥BC于F.

        (3)以I為圓心,IF為半徑作圓.

        ⊙I即為所求作的圓.

        對于問題(4),學(xué)生根據(jù)作法可給出解釋,并作出⊙I是唯一的回答.

        這時教師給出三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形等概念.

        這種設(shè)計首先從作圖得到一個特殊的圓,然后給出三角形內(nèi)切圓的概念.在建立三角形內(nèi)切圓概念的同時,學(xué)生進一步熟悉尺規(guī)作圖的原理,并且培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

        對于一些抽象但圖形本身比較直觀的數(shù)學(xué)概念,教學(xué)中可以利用圖形對其概念進行直觀表征,這樣能使抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化,這種教學(xué)有助于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解和記憶,認識概念的內(nèi)涵及本質(zhì)特征.還有助于學(xué)生把新學(xué)習(xí)的概念納入到已有的知識結(jié)構(gòu)體系中,進一步優(yōu)化和擴大學(xué)生的知識結(jié)構(gòu).

        2.2 數(shù)學(xué)規(guī)律的探究過程

        美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中指出:“學(xué)習(xí)任何東西的最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)等都是反映數(shù)學(xué)對象和概念間關(guān)系的具體知識,我們不妨稱之為“數(shù)學(xué)規(guī)律”.數(shù)學(xué)規(guī)律是數(shù)學(xué)的“核心”知識,《課標(biāo)(2022年版)》界定的“課程內(nèi)容”中有很多數(shù)學(xué)規(guī)律,如乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2;一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系;三角形兩邊之和大于第三邊;三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;勾股定理及其逆定理;多邊形的內(nèi)角和與外角和公式;圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系等等.

        對于“數(shù)學(xué)規(guī)律”的教學(xué),我們都可以通過設(shè)計的問題系列,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合相應(yīng)的幾何圖形經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)這些“數(shù)學(xué)規(guī)律”的過程,同時達到培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

        案例3 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程.

        【問題呈現(xiàn)】

        一個正方形與一個長方形的面積之和等于c,如果長方形的一邊長為b,另一邊長恰好等于正方形的邊長,求這個正方形的邊長.

        【割補圖形】

        如圖8,設(shè)正方形的邊長為x,則長方形的另一邊長也為x.

        (1)把長方形沿虛線剪開,得到兩個全等的小長方形(如圖9);

        (2)把其中一個小長方形放到圖8所示的正方形右邊,另一個放到它的下面;然后在右下角補上一個邊長為b/2的小正方形,由此得到圖10所示的大正方形.

        【觀察發(fā)現(xiàn)】

        (1)圖10中大正方形的邊長為__________,其面積為__________.

        (2)用含b,c的代數(shù)式表示這個大正方形的面積,則為__________.

        (3)由(1)(2)你能得到怎樣的方程?這個方程的解是什么?

        【抽象思考】

        (4)對于一般的方程x2+bx=c來說,它的解為__________.

        (5)為了推導(dǎo)方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,我們可以在等式兩邊同除以a,這時方程變?yōu)閤2+b/ax=-ca,只要把方程x2+bx=c中的b換成b/a,c換成-c/a,則根據(jù)(4)的結(jié)果可得到方程ax2+bx+c=0的解為x=__________.

        設(shè)計意圖 一元二次方程求根公式是《課標(biāo)(2022年版)》界定的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程內(nèi)容,目前的大部分教材,基本上都是利用配方法推導(dǎo)出來的.為了更好的培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng),我們設(shè)計了“問題呈現(xiàn)—割補圖形—觀察發(fā)現(xiàn)—抽象思考”四個部分.

        這就是大家熟悉的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.

        本案例立足于從圖形的面積出發(fā),推導(dǎo)出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,對學(xué)生來說是一個“全新”的過程,這種推導(dǎo)方法凸顯了“數(shù)學(xué)史”的意義,這對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,欣賞數(shù)學(xué)美,感悟數(shù)形結(jié)合思想,加深對“出入相補原理”的理解和認識,增強幾何直觀等素養(yǎng)都具有積極的價值.

        2.3 解決問題的過程

        學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的目的在于利用所學(xué)知識解決有關(guān)問題,解決問題的方法很多,數(shù)形結(jié)合是常用的一種解決問題的方法,由于這種方法能把“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換,因此,在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到通過構(gòu)造圖形解決代數(shù)問題,也可以將幾何問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題進行求解.從而把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化,同時有助于學(xué)生進一步加深對數(shù)形結(jié)合的理解和認識,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

        案例4 有一塊如圖11所示的土地,要用一條直線把它分割成面積相等的兩部分,應(yīng)如何確定出直線的位置?

        設(shè)計意圖 我們知道要確定一條直線的位置,只需要確定出兩個點就可以.由于本題沒有指明這條線要經(jīng)過哪一個點,所以學(xué)生感到無從下手.教學(xué)時可引導(dǎo)學(xué)生首先固定一點,然后根據(jù)“分割成面積相等兩部分”的要求得到另一點的位置,然后連線就可以得到這條直線.這是一道開放性的問題,這條直線可以用多種確定方法,例如,下面幾種方法學(xué)生都能接受:

        為解答方便,不妨設(shè)圖中小正方形的邊長為a.

        方法一:可以先確定點A,再確定點G,如圖12,設(shè)AG符合要求,只要求出CG的長度就能確定出點G.

        方法三:在CD上取DH=12a,連接BH即為所求(如圖13).

        本題中能把圖11所示的土地分為二等分的直線有多種位置,從而本題有多種解決方法,教師在教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生的接受能力適當(dāng)選取幾種解法引導(dǎo)學(xué)生去思考、探索.這樣的問題對于學(xué)生幾何直觀、計算能力等素養(yǎng)的培養(yǎng)都是非常有益的.

        學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)是在日積月累的學(xué)習(xí)與體驗中逐步形成的,形成過程是一個漫長的過程.我們結(jié)合案例說明了三個常用的培養(yǎng)策略,在實際教學(xué)中,教師要認真學(xué)習(xí)《課標(biāo)(2022年版)》,研讀教學(xué)內(nèi)容,不斷探究培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的教學(xué)方法,通過培養(yǎng)幾何直觀達到提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

        參考文獻

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        [7]張莉.探析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)之友(南京),2022(11):2-5,9.

        作者簡介 李樹臣(1962—),男,山東沂南人,中學(xué)正高級教師;臨沂大學(xué)學(xué)生學(xué)業(yè)導(dǎo)師,山東省教育科研先進個人,山東省創(chuàng)新教育先進個人,三次獲山東省省級教學(xué)成果獎;全國義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材(青島版)核心作者,中國人民大學(xué)《復(fù)印報刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委,湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)》特約編委.

        欒尚鋒(1968—),男,山東萊蕪人,市優(yōu)秀班主任,市教育教學(xué)先進個人;主要研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

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