【摘 要】“做數(shù)學”以學生沉浸式體驗，“動態(tài)”感知知識結(jié)構，秉承“手腦協(xié)同”理念，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗.做中思，達成思想感悟，培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力：理解數(shù)學概念本質(zhì)，培養(yǎng)直觀思維能力；理解數(shù)學基本事實和原理，培養(yǎng)抽象思維能力；增強運算能力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和關系，培養(yǎng)代數(shù)推理能力；經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力；激發(fā)學生質(zhì)疑問難，培養(yǎng)批判性思維能力.

【關鍵詞】“做數(shù)學”；思維能力；活動經(jīng)驗

數(shù)學思維就是通常所指的數(shù)學思維能力，即能夠用數(shù)學的觀點去思考問題和解決問題的能力.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標2022版》）指出，數(shù)學思維主要表現(xiàn)為：運算能力、推理意識或推理能力^［1］.然而，數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象獲得研究對象，基于抽象結(jié)構，以符號運算、形式推理、模型建構等多元化方式理解和表征現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)屬性、結(jié)構關系和變化規(guī)律.隨著初中教學內(nèi)容的快速增長，思維形式逐步從具象過渡到抽象，且抽象程度越來越高，造成學生對于初中數(shù)學的學習產(chǎn)生了畏懼感.

夸美紐斯倡導：“教一個活動的最好方法是演示，學一個活動最好的方法是做.”“做數(shù)學”是學生運用材料和工具，在動手動腦過程中，通過操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐等活動，理解數(shù)學知識，探究數(shù)學規(guī)律，解決問題的一種學習方式.因此，“做數(shù)學”強調(diào)的不是簡單動手做一做，而是需要動腦思考，通過學生參與，建立數(shù)學知識和經(jīng)驗的聯(lián)系，激發(fā)學生獨立思考與深刻感悟，從而激發(fā)學生學習興趣和探究欲望.數(shù)學中很多概念和法則的形成、公式的由來、定理的理解，可以在教師的引導下，運用有關工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行理解數(shù)學知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論、驗證數(shù)學結(jié)論，從動手操作、體驗探索、邏輯思辨中，增強對問題思考和理解的深刻性，在將“冰冷的美麗”變成“火熱的思考”歷程中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力.

1 “做數(shù)學”揭示概念本質(zhì)，培養(yǎng)直觀思維能力

數(shù)學直觀思維能力的核心在于將數(shù)學問題用圖象、圖表等直觀性元素表達出來，在直觀性元素應用下了解數(shù)學知識間的聯(lián)系，繼而幫助學生厘清數(shù)學知識體系，深入理解數(shù)學知識內(nèi)容.培養(yǎng)學生直觀思維是學生正確認識數(shù)學知識的保障，因此將直觀思維能力培養(yǎng)滲透到初中數(shù)學教學中，轉(zhuǎn)變課堂學習模式，拓展學生思維，進而構建高效數(shù)學課堂.概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，是從現(xiàn)實生活中抽象出來.基于初中學生直觀思維相對較強的特征，在概念教學時，應根據(jù)學生已有活動經(jīng)驗和基礎，以“做數(shù)學”的方式，學生“手腦協(xié)同”，經(jīng)歷“操作—體驗—感悟”的過程，在習得概念、獲得結(jié)論中，由“動態(tài)”活動經(jīng)驗串聯(lián)“靜態(tài)”文本知識，并用數(shù)學的語言和符號表征原汁原味的數(shù)學現(xiàn)象，自然揭示知識本質(zhì)，培養(yǎng)直觀思維能力，形成數(shù)學對象之間的聯(lián)系.

例如，畫“螺旋圖”感受無理數(shù)的存在性.

如圖1，OB=BA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=…=1，

∠A₁BO=∠A₂A₁O=∠A₃A₂O=∠A₄A₃O=∠A₅A₄O=…=90°.

（1）我們知道a²₁=2，且a₁是無理數(shù)，試計算a²₂，a²₃，a²₄，a²₅，…的值.你能知道a₂，a₃，a₄，a₅，…這些數(shù)據(jù)中哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

（2）你能在數(shù)軸上畫出表示a₂，a₃，a₄，a₅，…這些數(shù)的點嗎？

《課標2022版》指出：利用數(shù)學專業(yè)軟件等教學工具開展數(shù)學實驗，將抽象的數(shù)學知識直觀化，促進學生對數(shù)學概念的理解和數(shù)學知識的建構.教學中利用“尺規(guī)作圖”構造直角三角形，運用勾股定理計算“斜邊長”，發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的客觀存在，通過“尺規(guī)”操作，在數(shù)軸上找到相應無理數(shù)的點，擴充數(shù)域，完善實數(shù)體系.學生經(jīng)歷作圖，理解抽象的無理數(shù)：直角三角形邊長和數(shù)軸上的點對應表征，結(jié)合“直觀”的有理數(shù)整體建構，進一步理解“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應”的關系.

“做數(shù)學”通過學生親自操作，將抽象的數(shù)可視化，形象地理解并揭示無理數(shù)的本質(zhì)屬性.數(shù)軸提供了數(shù)及其關系的直觀模型，從“數(shù)”到“形”、從“形”到“數(shù)”的互逆過程，“扮演”了理解數(shù)的概念、大小關系及運算的基本工具角色，提供直觀思維的“平臺”，加深學生對數(shù)學知識本質(zhì)的理解，建立數(shù)學對象之間的聯(lián)系.

2 “做數(shù)學”理解數(shù)學事實和原理，培養(yǎng)抽象思維能力

抽象思維是指從具體事物中，抽取本質(zhì)屬性，舍棄其他非本質(zhì)屬性的思維過程，通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念、性質(zhì)、法則和方法，以分析、綜合、比較、抽象、概括和具體化作為思維的基本過程，從而揭露事物的本質(zhì)特征和規(guī)律性聯(lián)系.《課標2022版》指出：基本事實是反映數(shù)學最基本的規(guī)律和特點的，經(jīng)過長期實踐檢驗得到普遍認可的，無需證明的事實.因此，數(shù)學基本事實具有真實性、基礎性和可感知性，是構建數(shù)學內(nèi)部邏輯體系的根基.史寧中教授認為，要在數(shù)學教學過程中引導學生學會思考問題，要知道自己思考問題的開始是什么，沒有合理出發(fā)點的論據(jù)是沒有根據(jù)的，只有建立在論據(jù)基礎上才能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學的基本方法與結(jié)論，才能進一步分析、解決簡單的數(shù)學問題和實際問題.學生經(jīng)歷“做數(shù)學”體悟數(shù)學基本事實的合理性，進而將其作為知識生成體系中的“種子”，作為推理的依據(jù)，逐步構建數(shù)學內(nèi)部邏輯體系.

例如，轉(zhuǎn)木條感受“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實.

如圖2，3根木條（或硬紙板）相交成∠1，∠2，固定木條b，c，轉(zhuǎn)動木條a.在木條a的轉(zhuǎn)動過程中，木條a，b的位置發(fā)生了什么變化？∠2與∠1的大小關系發(fā)生什么變化？

在教學中，教師鼓勵學生自己動手操作、觀察、想象，得出結(jié)論.在轉(zhuǎn)動a的過程中，∠2與∠1的大小關系為3種情況：大于、等于、小于；a，b所在的直線的位置關系有兩種情況：相交或平行.思考兩者之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，當∠2=∠1時，a與b平行.從平行線的畫法（如圖3），研究直線a，b平行的原理，由于直尺不動，三角尺在平移過程中，其對應角（∠2=∠1）的大小不變，由此感知畫平行線實際上就是畫相等的角.反之，若∠2與∠1不相等，可直觀察得出a，b會相交于c的某一側(cè)，于是通過觀察、比較，形成“同位角”概念，進而得出兩直線平行的條件：同位角相等，兩直線平行.在此基本事實基礎上，類比探究，獲得“內(nèi)錯角”“同旁內(nèi)角”概念，推導出“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”的判定條件，從而建立平行線判定方法的邏輯體系.而后，進一步探索平行線的性質(zhì)及其應用，形成知識結(jié)構網(wǎng)絡.

“做數(shù)學”由學生操作、觀察、交流，完成對數(shù)學基本事實的抽象、歸納和理解.基本數(shù)學事實本質(zhì)屬性，始于抽象的“思”，終于表象的“理”，為此“做數(shù)學”需要在數(shù)學抽象中繼續(xù)深入研究，引導學生從形象思維過渡到抽象思維，建構知識體系，從直觀的“做”到抽象的“思”，“做數(shù)學”對學生抽象思維的培養(yǎng)發(fā)揮著獨特作用，進而使數(shù)學內(nèi)部邏輯體系自然發(fā)生.

3 “做數(shù)學”增強運算能力，培養(yǎng)代數(shù)推理能力

運算能力是指運用有關運算的知識進行運算、推理求得運算結(jié)果的能力.運算實際上是一個演繹推理過程，運算即是推理.《課標2022版》指出：學生應該“能夠通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學猜想，并進一步尋找證據(jù)給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達自己的思考過程，是代數(shù)推理的具體表現(xiàn).代數(shù)推理是數(shù)學思維的重要內(nèi)容，學生的思維能力發(fā)展與心智水平密切相關，通過運算聯(lián)想“式結(jié)構”，大膽嘗試，在歸納的過程中引導學生發(fā)現(xiàn)其合理性，循序漸進的發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，從而養(yǎng)成有條理做事的習慣.“做數(shù)學”經(jīng)歷運算、猜想、驗證、歸納，將“冰冷”的符號運算“趣味化”，讓學生感受數(shù)學邏輯結(jié)構“好玩”，外加一個有力的演繹邏輯，從而確定結(jié)果是否正確，甚至可以發(fā)現(xiàn)新規(guī)律.

例如，勾股數(shù)特征的探究：直角三角形三邊長都是整數(shù)稱為勾股數(shù)，勾股數(shù)有多少？勾股數(shù)有規(guī)律嗎？

活動1 試構造5組造勾股數(shù)

學生寫出：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41.

引導學生思考，構造勾股數(shù)，就是要尋找3個正整數(shù)，使它們滿足“兩個數(shù)的平方和（差）等于第三個數(shù)的平方”，即滿足以下形式：

（）²+（）²=（）²①

或（）²-（）²=（）²②

要滿足上述①或②形式，不妨從乘法公式入手.我們已經(jīng)知道：（x+y）²－（x－y）²=4xy. ③

如果等式③的右邊也能寫成“（）²”的形式，那么它就符合②的形式.因此，只要設x=m²，y=n²，③式就可以化成：（m²+n²）²－（m²－n²）²=（2mn）²

于是，當m，n為任意正整數(shù)，且m>n時，“m²+n²，m²－n²和2mn”就是勾股數(shù).根據(jù)勾股數(shù)的這種表達式，就可以找出無數(shù)組勾股數(shù).從探索到的勾股數(shù)表達式，構造勾股數(shù)并填寫在表格中.不難看出，它們是特殊的勾股數(shù)，每組數(shù)中都有兩個連續(xù)的奇數(shù).你能借助在上面的活動中探索得到勾股數(shù)的表達式，探索并構造這樣的勾股數(shù)嗎？

在表1中填寫勾股數(shù)：

活動2 一位科學家在他找到的勾股數(shù)的表達式中，用2n²+2n+1（n為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個數(shù)，你能找出另外兩個數(shù)的表達式嗎？

活動3 課后查詢資料，思考畢達哥拉斯數(shù)組、柏拉圖數(shù)組、丟番圖數(shù)組的相通之處，寫出來，并說明理由.

“做數(shù)學”理念下探索“勾股數(shù)”的數(shù)學活動，不僅增強了數(shù)學運算能力，更發(fā)展學生的代數(shù)推理能力，具有較豐富的數(shù)學教育價值.從熟悉的勾股數(shù)入手，根據(jù)式結(jié)構，大膽嘗試，聯(lián)想乘法公式.分析思考勾股數(shù)的本質(zhì)是三個正整數(shù)間的關系，根據(jù)形式，靈活換元，探究結(jié)論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.通過“做數(shù)學”探索并發(fā)現(xiàn)了多種構造勾股數(shù)的方法，還能體悟數(shù)學家們的智慧結(jié)晶.

4 “做數(shù)學”經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

創(chuàng)新思維是指人們在認知世界的過程中，以及創(chuàng)造具有獨創(chuàng)性成果的過程中，表現(xiàn)出來的特殊的認識事物的方式，是人們運用已有知識和經(jīng)驗提高開拓新領域的思維能力.弗賴登塔爾指出：“將數(shù)學作為一種活動來進行解釋和分析，建立這一基礎之上的教學方法，稱之為再發(fā)現(xiàn)方法.”教學中“再發(fā)現(xiàn)”是指把教學過程設計成知識的發(fā)生、發(fā)展自然生長過程，引導學生在自我認知過程中建構新思維.在探究歷程中，引發(fā)學生“做”中“思”，再探究，讓學生在所思、所悟中提升思維深度，從而培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新思維能力.

例如，從“拼圖：理解乘法公式的意義”到“其他公式”的再發(fā)現(xiàn).

“出入相補”原理是中國古代數(shù)學中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，其基本內(nèi)容：一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和.從圖4拼圖教學中，幫助學生形象理解完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²的幾何意義.有學生從平面圖形聯(lián)想到立體模型（圖5）發(fā)現(xiàn)（a+b）3=a3+b3+3a²b+3ab²關系式.另有學生沿對角線將兩個矩形剪成四個全等的直角三角形，在拼圖中意外獲得勾股定理的證明：圖4是由兩個邊長分別為a、b的正方形和兩個矩形構成；圖6是由四個直角邊長分別為a，b的直角三角形和邊長為c的正方形構成.對比兩個圖，圖4兩個小正方形（陰影部分）面積和等于圖6小正方形（陰影部分）面積，即c²=a²+b²，感嘆學生的創(chuàng)新思維能力！

從圖4和圖6正方形拼圖得到完全平方和勾股定理的思維啟發(fā)，拓展到一般情況，長方形按類似操作遷移，易知圖7陰影部分面積為ac+bd，圖8陰影部分面積為a²+d²·b²+c²·sinα，兩者數(shù)量相等.因為sinα≤1，所以通過平方可得（ac+bd）²≤（a²+d²）（b²+c²），誕生二維形式柯西不等式.當兩直角三角形斜邊夾角為90°時，“=”成立，此時兩三角形相似即ab=cd.在此，不得不佩服學生的再創(chuàng)造思維能力！

“做數(shù)學”不能停留在簡單獲得某一公式、操作與觀察、達到理解的層面，更要運用類比與聯(lián)想，激發(fā)學生思考，進入深度思維，指向問題本源，經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”過程，才能更好激發(fā)學生的創(chuàng)新思維能力.

5 “做數(shù)學”產(chǎn)生質(zhì)疑問難，培養(yǎng)批判性思維能力

批判性思維是以一種合理的、反思的、心靈開放的方式進行思考，從而能夠清晰準確地表達、邏輯嚴謹?shù)赝评?、合理地論證，以及培養(yǎng)思辨精神.《禮記·中庸》中提出“博學之、審問之、慎思之、明辨之、篤行之”的教育理念，其中“審問”“慎思”“明辨”表達了要有批判性思維的觀點.《論語·述而》中“不憤不啟，不悱不發(fā)”說明學習過程中質(zhì)疑的重要性.因此，教學中的質(zhì)疑問難，通過問題的設置引發(fā)學生的思維認知沖突，激發(fā)學生深入研究的意識，通過動手實驗，理性驗證，解決疑惑，感受成功的體驗.以質(zhì)疑為引導，不斷探究，不斷解決問題，發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，形成理性精神.

例如，問題1：圖9是一張8×8的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖重新拼合.這4塊紙片恰好能拼成一個長為13、寬為5的長方形嗎？

學生觀察圖9和圖10，直觀判定是“可以”拼成，但馬上有學生提出不同意見.通過計算和分析發(fā)現(xiàn)：圖9正方形的面積為64，而圖10長方形的面積為65，面積不相等，因此不能構成，引發(fā)學生認知沖突.為此，讓學生按圖分割正方形紙片，通過拼接發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊與梯形一腰不在同一直線上，而直角三角形斜邊與梯形的腰剛好構成一個面積為1的平行四邊形.視覺直觀引發(fā)“它們”似乎在同一直線上的錯覺，于是進一步引導學生思考下面的問題.

問題2：將一個正方形紙片按上述方式進行裁剪后，重新拼合，能否拼成一個長方形？若可以，又該怎么裁剪？

學生思考，改變裁剪位置期待拼成長方形，將圖9、圖10中的數(shù)據(jù)8，5分別替換成a，x.如圖11，12，利用剪拼前后圖形面積相等，列出方程（a+x）x=a²，整理為x²+ax－a²=0，解得x₁=－1+52a（x₂=－1－52a舍去）.從而發(fā)現(xiàn)x₁a=－1+52蘊含著“黃金分割”的奧秘.

在“做數(shù)學”這一開放、多元的活動中，容許學生“犯錯”，營造敢于質(zhì)疑、敢于批判的思辨氣氛，激發(fā)學生主動思考的內(nèi)驅(qū)力，體現(xiàn)學習的主體地位，體驗數(shù)學學習的方法不全是證實，也可以是通過證偽，引發(fā)大家質(zhì)疑思考，在交流合作中發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，進而證實，由此培養(yǎng)學生批判性思維能力.

結(jié)束語

“做數(shù)學”可以改變學生學習數(shù)學的知識形態(tài)，化抽象為形象，化結(jié)果為過程，化靜止為動態(tài)，改變學生數(shù)學學習方式，變被動接收為主動探究，變“離身”思辨為具體體驗，變“半腦”學習為全腦學習^［2］.因此，在“做”與“思”融合中，一方面培養(yǎng)了學生動手實踐意識和問題解決能力，另一方面又培養(yǎng)了學生批判質(zhì)疑精神和提出問題能力，進而使學生逐漸養(yǎng)成理性思維意識和創(chuàng)新思維能力.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社.

［2］董林偉，石樹偉.做數(shù)學：學科育人方式的實踐創(chuàng)新［J］.數(shù)學通報，2021（04）：22-24.

作者簡介 王明（1984—），男，江蘇昆山人，中小學一級教師，蘇州市學科帶頭人;主要從事初中數(shù)學教學與研究，曾獲江蘇省基礎教育教學論文評比一等獎.