張芳銘 鞏子坤 江春蓮

【摘 要】調(diào)查職前數(shù)學(xué)教師對“負(fù)負(fù)得正”模型的理解水平，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：細(xì)胞、相反數(shù)、向后轉(zhuǎn)模型是職前數(shù)學(xué)教師能較好理解的模型；職前數(shù)學(xué)教師對常見現(xiàn)實(shí)情境、符號含義單一的模型理解較好，對基于算法的模型的理解水平要好過基于算理的模型，數(shù)學(xué)素養(yǎng)存在提升空間.職前數(shù)學(xué)教師、在職數(shù)學(xué)教師和學(xué)生在相反數(shù)模型上存在一致性.基于調(diào)查結(jié)果提出“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)建議：注重現(xiàn)實(shí)情境模型與“說理”相結(jié)合，使用多樣化的模型，不拘泥于教材.

【關(guān)鍵詞】職前數(shù)學(xué)教師；負(fù)負(fù)得正；數(shù)學(xué)模型；理解水平

1 問題緣起

模型是對客觀事物簡化、抽象的表征，對人們理解、研究客觀事物具有重要的作用.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而通過數(shù)學(xué)方法分析、解決問題.數(shù)學(xué)模型也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要載體，因此教師在教學(xué)中要對所使用的數(shù)學(xué)模型有充分的理解.

在初等數(shù)學(xué)中，有理數(shù)乘法運(yùn)算占有重要的地位，而理解有理數(shù)乘法運(yùn)算的關(guān)鍵是理解“負(fù)負(fù)得正”^［1］，但“負(fù)負(fù)得正”的證明多種多樣^［2-3］，教師不好把握，學(xué)生不好理解，模型是讓學(xué)生體會“負(fù)負(fù)得正”合理性的載體^［4］，因此模型的選擇尤為重要.人教版教材^［5］中，用負(fù)因子乘以正等差數(shù)列，得到的結(jié)果為負(fù)等差數(shù)列，再應(yīng)用到一組負(fù)因子乘以負(fù)等差數(shù)列中，得到“負(fù)負(fù)得正”（圖1）.

浙教版教材^［6］中用相反數(shù)的性質(zhì)，由“3×（-2）”和“3×2”的積互為相反數(shù)，推出“（-3）×（-2）”和“3×（-2）”的積互為相反數(shù)，得到“負(fù)負(fù)得正”.教師對教材中的模型，是否能完美使用？學(xué)生對教材中的模型，是否能完全理解？已有研究^［7-8］表明，教師教學(xué)時使用的模型對學(xué)生的理解沒有顯著性影響，學(xué)生要回答“負(fù)負(fù)得正”很容易，但要說明為什么“負(fù)負(fù)得正”卻有難度.這表明對于教材中的模型，教師講不透，學(xué)生理解不了，并不是最優(yōu)選擇.

教材之外的“負(fù)負(fù)得正”模型也很豐富，如G·博萊特的“負(fù)債模型”，M·克萊因的“面積模型”，佟巍^［7］的“動手模型”等.龔烈烔^［9］發(fā)現(xiàn)，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師認(rèn)為具有現(xiàn)實(shí)情景的“負(fù)負(fù)得正”模型不容易理解，因此在教學(xué)中盡量規(guī)避這類模型.鞏子坤^［10］的研究表明，教師和學(xué)生都喜歡的“負(fù)負(fù)得正”模型是歸納、數(shù)軸和相反數(shù)模型，其中數(shù)軸模型是具有現(xiàn)實(shí)背景的模型，這表明并非所有具有現(xiàn)實(shí)背景的“負(fù)負(fù)得正”模型都不易理解.哪種模型是貫通從學(xué)生到教師的“好模型”？已有研究多從在職數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的視角入手，而忽略了職前數(shù)學(xué)教師.職前數(shù)學(xué)教師既是在職數(shù)學(xué)教師的前身，也是正在接受教育的師范生，考察職前數(shù)學(xué)教師對不同“負(fù)負(fù)得正”模型的理解水平，有利于進(jìn)一步明晰“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)的有效模型.

本研究采用問卷調(diào)查法，了解某師范大學(xué)應(yīng)屆職前數(shù)學(xué)教師對“負(fù)負(fù)得正”模型的理解水平.主要解決以下研究問題：（1）職前數(shù)學(xué)教師對“負(fù)負(fù)得正”模型的理解水平如何？（2）職前數(shù)學(xué)教師對模型的理解與在職數(shù)學(xué)教師、學(xué)生相比，有何異同？（3）基于此調(diào)查研究，為“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)提供建議.

2 研究方法

1.1 研究對象

被試為某高校數(shù)學(xué)師范專業(yè)的應(yīng)屆生，他們都完成了教師教育課程與培訓(xùn)，并且都有從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教師工作的意愿.共發(fā)放問卷75份，有效問卷66份.

1.2 調(diào)查工具

以鞏子坤^［10］的“負(fù)負(fù)得正”有效教學(xué)模型為問卷基礎(chǔ)并進(jìn)行優(yōu)化，共包含10個模型，調(diào)查數(shù)據(jù)運(yùn)用SPSS27.0軟件進(jìn)行統(tǒng)計、分析.

1.3 數(shù)據(jù)收集與處理

為獲得客觀、真實(shí)的答案，采用集中調(diào)查、問卷匿名的方式，安排被試在同一時間和地點(diǎn)，在發(fā)放問卷之前闡述研究目的，保證在沒有外界干預(yù)的條件下完成問卷.

為分析被試對模型的理解水平，借鑒魯曉莉等人^［11］開發(fā)的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價中的結(jié)果性評價，結(jié)合李明振等人^［12］對數(shù)學(xué)建模過程的研究，將理解水平劃分為四個等級（如表1），并進(jìn)行賦分.

3 研究結(jié)果

3.1 整體情況

職前數(shù)學(xué)教師對不同模型的理解水平頻（人）數(shù)、百分比以及平均分見表2.

通過表2，可以發(fā)現(xiàn)：職前數(shù)學(xué)教師對不同模型的理解水平按細(xì)胞、相反數(shù)、向后轉(zhuǎn)、給排水、分配律、紅利-債務(wù)（與歸納、電荷模型并列）、數(shù)軸、面積模型依次下降.

職前數(shù)學(xué)教師對細(xì)胞模型理解水平的平均分是2.71，是理解水平最高的模型.細(xì)胞模型中的“+”表示“生長”“正常細(xì)胞”，“-”表示“死亡”“癌細(xì)胞”，符號既表示細(xì)胞的兩種相反屬性，也表示兩種相對的動作，符合人們對“相反”的感覺，“生長正常細(xì)胞是好事”“殺死癌細(xì)胞是好事”也是容易理解的常識.因此可以解釋職前數(shù)學(xué)教師為什么對細(xì)胞模型的理解水平最高.

職前數(shù)學(xué)教師對面積模型理解水平的平均分是1.57，是理解水平最低的模型.通過面積關(guān)系說明“負(fù)負(fù)得正”，可以利用正方形EAGI（如圖2），其面積既可以表示為“10×10”，也可以表示為“（12-2）×（11-1）”，通過面積的等價性，說明“負(fù)負(fù)得正”.

與其他模型相比，面積模型具有抽象性，提高了理解難度.大部分職前數(shù)學(xué)教師在解答時不知所措，沒有發(fā)現(xiàn)面積之間的等量關(guān)系，在回答時僅用單個圖形面積的計算來說明“負(fù)負(fù)得正”，會出現(xiàn)“忽略圖形”（如圖3）和“長度出現(xiàn)負(fù)值”（如圖4）的情況，前者模仿示例，脫離圖形，丟失了面積模型的意義；后者則用負(fù)數(shù)作為長度的數(shù)值，表達(dá)不嚴(yán)謹(jǐn).

3.2 對模型的分類

基于理解水平的得分，進(jìn)一步探究模型之間的差異.由于理解水平得分的數(shù)據(jù)形態(tài)不滿足正態(tài)分布，因此采用弗萊德曼（Friedman）檢驗(yàn)分析得分情況，結(jié)果表明十個模型的理解水平得分具有顯著差異（p<0.05）.成對比較分析顯示，職前數(shù)學(xué)教師在向后轉(zhuǎn)、相反數(shù)、細(xì)胞模型的理解水平上不存在顯著差異，記為Ⅰ類模型；在電荷、歸納和紅利-債務(wù)模型的理解水平上不存在顯著差異，記為Ⅱ類模型；在面積、數(shù)軸模型的理解水平上不存在顯著差異，記為Ⅲ類模型；在給排水模型的理解水平上與其余三類模型存在顯著差異，三類模型之間存在顯著差異.結(jié)合表2可知：“負(fù)負(fù)得正”模型按理解難度劃分，從易到難依次為：Ⅰ類模型、給排水模型、Ⅱ類模型、Ⅲ類模型.

4 討論與分析

4.1 易被理解與不易被理解的模型

（1）有常見現(xiàn)實(shí)情境、符號含義單一的模型易被理解；情境復(fù)雜、符號含義多元、涉及其他學(xué)科的模型不易被理解.細(xì)胞、向后轉(zhuǎn)模型是具有現(xiàn)實(shí)背景的模型，符號僅表示狀態(tài)和動作屬性，模型情境內(nèi)容符合生活常識，因此容易被理解.紅利—債務(wù)、數(shù)軸模型盡管情境生活化，但符號含義太多，因此不易理解.電荷模型涉及物理知識，雖然情境簡單，但部分職前數(shù)學(xué)教師沒有明白電荷平衡的前提是正電荷與負(fù)電荷數(shù)相等（如圖5），取出一個負(fù)電荷，就會產(chǎn)生一個正電荷.這表明對其他學(xué)科知識的要求也會成為影響理解水平的因素.

（2）“時空”模型不易被理解，但合適的情境可以降低理解難度.“時”是指過去、現(xiàn)在和將來，“空”是指方向或性質(zhì)相反的動作.紅利—債務(wù)、給排水和數(shù)軸模型均為這類模型.紅利—債務(wù)模型中常見符號含義理解錯誤，分不清符號表示的時間先后，以及收入還是支出（如圖6）；數(shù)軸模型中常見忽略符號的時間含義（如圖7），也會忽略將路程與數(shù)軸上的點(diǎn)建立聯(lián)系（如圖8）.

給排水模型是簡單的“時空”模型，“水池蓄、排水問題”在小學(xué)就已學(xué)習(xí)，所以職前數(shù)學(xué)教師對給排水模型的理解水平高于紅利-債務(wù)和數(shù)軸模型是可以理解的.陳曉明^［13］認(rèn)為，這類模型實(shí)質(zhì)上是通過有理數(shù)知識建模來解決實(shí)際問題的過程，對抽象思維要求能力較高，所以對初中生來說很復(fù)雜.現(xiàn)在來看，理解好這類模型對于職前數(shù)學(xué)教師來說也不簡單，甚至是有難度的.

（3）基于算法的模型易被理解，基于算理的模型不易被理解.相反數(shù)模型類比正整數(shù)加法和乘法的運(yùn)算，是基于算法的模型，“-1與任意一個數(shù)的乘積等于該數(shù)的相反數(shù)”對于職前數(shù)學(xué)教師來說是易于理解和表達(dá)的^［14］.歸納、分配律模型是基于算理的模型，歸納模型暗含了運(yùn)算的一致性，正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘的運(yùn)算在負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘中仍然成立，大部分職前數(shù)學(xué)教師沒有體會到運(yùn)算一致性，只用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明（如圖9）.分配律模型則是在“保持運(yùn)算的持續(xù)性”的基礎(chǔ)上推出“負(fù)負(fù)得正”，具有形式推理的味道^［10］，但大部分職前數(shù)學(xué)教師并不理解這類模型，更不能進(jìn)行推導(dǎo).這反映出職前數(shù)學(xué)教師對有理數(shù)運(yùn)算的算理理解不深刻，數(shù)學(xué)表達(dá)也不嚴(yán)謹(jǐn).

4.2 分析與討論

結(jié)合已有研究，發(fā)現(xiàn)職前數(shù)學(xué)教師在“負(fù)負(fù)得正”模型的理解上與學(xué)生、在職數(shù)學(xué)教師存在一致性和差異性.

（1）職前數(shù)學(xué)教師和學(xué)生在細(xì)胞、相反數(shù)模型上存在一致性.鞏子坤^［10］發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)“負(fù)負(fù)得正”時，喜歡歸納、細(xì)胞和相反數(shù)模型，但在說明“負(fù)負(fù)得正”時，卻極少使用歸納模型.陳思琪的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于歸納模型實(shí)質(zhì)上是靠“猜”而非算理上的理解，說明學(xué)生是“迫于”教材推薦才接受歸納模型，細(xì)胞、相反數(shù)模型是學(xué)生真正喜歡并能理解的模型.職前數(shù)學(xué)教師對歸納模型的理解也存在不足，而在細(xì)胞、相反數(shù)模型的理解上表現(xiàn)優(yōu)異，說明這兩個模型是貫穿從學(xué)生到教師的好模型.

（2）職前數(shù)學(xué)教師和在職數(shù)學(xué)教師在歸納、數(shù)軸模型上存在差異性，在相反數(shù)模型上存在一致性.在職數(shù)學(xué)教師喜歡用歸納模型可能是受到教科書的影響，是否能真正理解歸納模型，仍是需要進(jìn)一步討論的問題.優(yōu)化后的數(shù)軸模型，難度較大，影響了職前數(shù)學(xué)教師對數(shù)軸模型的理解.相反數(shù)模型是在職數(shù)學(xué)教師常用的模型，也是職前數(shù)學(xué)教師理解水平較好的模型.

（3）職前數(shù)學(xué)教師與在職數(shù)學(xué)教師、學(xué)生在相反數(shù)、分配律模型上存在一致性，在數(shù)軸模型的上存在差異性.相反數(shù)模型是職前數(shù)學(xué)教師理解水平較好、在職數(shù)學(xué)教師和學(xué)生都喜歡的模型.分配律模型既不受在職數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的喜歡，也沒有被職前數(shù)學(xué)教師充分理解，是不被接納的模型.原數(shù)軸模型受到在職數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的喜歡，職前數(shù)學(xué)教師對同樣用到數(shù)軸但難度較低的向后轉(zhuǎn)模型理解也比較好，因此數(shù)軸本身在“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)中是有價值的，但要控制難度.

5 結(jié)論與建議

5.1 結(jié)論

（1）職前數(shù)學(xué)教師對說明“負(fù)負(fù)得正”的不同模型的理解水平存在差異.細(xì)胞、相反數(shù)和向后轉(zhuǎn)模型，是職前數(shù)學(xué)教師理解水平最好的模型；給排水模型的理解難度高于前三個模型；歸納、電荷、紅利-債務(wù)、分配律模型的理解難度更大；數(shù)軸、面積模型最難理解.理解跨學(xué)科情境的模型和“時空”模型有一定難度.

（2）職前數(shù)學(xué)教師與在職數(shù)學(xué)教師、學(xué)生在“負(fù)負(fù)得正”的模型上存在一致性與差異性.職前數(shù)學(xué)教師、在職教師和學(xué)生在相反數(shù)模型上存在一致性；職前數(shù)學(xué)教師、在職數(shù)學(xué)教師以及學(xué)生在數(shù)軸模型上存在差異性，但數(shù)軸具有教學(xué)價值.職前數(shù)學(xué)教師和在職數(shù)學(xué)教師在歸納模型上存在差異性.

（3）職前數(shù)學(xué)教師對有理數(shù)算理的理解及數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有待提升.從歸納、分配律模型的解答來看，職前數(shù)學(xué)教師對算理的理解不深入，部分職前數(shù)學(xué)教師證明過程不嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)表達(dá)存在不足.

5.2 建議

（1）“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)應(yīng)注重現(xiàn)實(shí)情境與“說理”的結(jié)合.

“負(fù)負(fù)得正”在初等數(shù)學(xué)中無法通過邏輯推理來證明^［10］，合適的現(xiàn)實(shí)情境模型有助于學(xué)生直觀體會“負(fù)負(fù)得正”的合理性.“負(fù)負(fù)得正”有著豐富的現(xiàn)實(shí)意義，說明“負(fù)負(fù)得正”的模型也可以具有多樣的現(xiàn)實(shí)情境.但只有現(xiàn)實(shí)情境的模型也不利于學(xué)生深入理解算理，因此有必要搭配“說理”的模型，幫助學(xué)生理解“負(fù)負(fù)得正”的合理性.

（2）教學(xué)中使用多樣化的“負(fù)負(fù)得正”模型，不拘泥于教材.

在教學(xué)中可以將相反數(shù)、向后轉(zhuǎn)和細(xì)胞模型結(jié)合使用，以向后轉(zhuǎn)模型為起點(diǎn)，感受“負(fù)負(fù)得正”，可以這樣引入：

師：同學(xué)們，在數(shù)軸上以0為原點(diǎn)，向右數(shù)值為正，向左數(shù)值為負(fù)，如圖10.假設(shè)數(shù)軸向左為西，向右為東，一個人站在原點(diǎn)，他可能朝向哪邊？

生：東或西.

師：沒錯.那我們可以怎樣表示這個人的站向呢？

生：向西用負(fù)數(shù)表示，向東用正數(shù)表示.

師：如果這個人要向后轉(zhuǎn)，我們應(yīng)該怎樣表示呢？

生：乘以（-1），因?yàn)槿绻瘱|，用正數(shù)表示，乘以（-1）是負(fù)數(shù)，就朝西.如果朝西，用負(fù)數(shù)表示，乘以（-1）是正數(shù)，就朝東了.

隨后通過細(xì)胞模型建立“（-）（-）=（+）”的符號觀念.可以這樣教學(xué)：

師：把細(xì)胞的生長定義為（+），細(xì)胞的死亡定義為（-），好的細(xì)胞定義為（+），癌細(xì)胞定義為（-）.長了一個正常細(xì)胞可以表示為（+）（+），因?yàn)檫@是好事，所以（+）（+）=（+），那長了一個癌細(xì)胞應(yīng)該怎么表示呢？

生：（+）（-），因?yàn)槭菈氖拢缘扔冢?）.

師：死亡一個癌細(xì)胞應(yīng)該怎么表示呢？

生：（-）（-），因?yàn)槭呛檬?，所以等于?）.

最后通過相反數(shù)模型使學(xué)生的符號觀念與數(shù)字運(yùn)算結(jié)合，可以這樣教學(xué)：

師：通過前兩個例子，相信同學(xué)們對“負(fù)負(fù)得正”有了直觀的認(rèn)識.下面請同學(xué)們計算兩組式子，并找一下其中的特點(diǎn).

3×3=_______;_______ -3×3=_______;

3×2=_______;_______ -3×2=_______;

3×1=_______;_______ -3×1=_______;

3×0=_______;_______ -3×0=_______.

生：兩數(shù)相乘，改變其中一個數(shù)的符號，積變?yōu)橄喾磾?shù).當(dāng)然這兩個數(shù)不能都為0.

師：那我再把另一個數(shù)的符號也改變，結(jié)果會怎樣呢？

（-3）×（-1）=_______;

（-3）×（-2）=_______;

（-3）×（-2）=_______.

生：積又變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)了，和第一次運(yùn)算結(jié)果相同.

通過相反數(shù)的性質(zhì)，得到“負(fù)負(fù)得正”.在教學(xué)中不必緊緊抓住不好理解的模型，只要教師能解釋好，學(xué)生能理解好，就是好模型.

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作者簡介 張芳銘（1999—），男，山東萊陽人，碩士研究生；主要從事數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐研究.

鞏子坤（1966—），男，山東滕州人，教授，博士生導(dǎo)師；主要從事數(shù)學(xué)教育心理研究.

江春蓮（1971—），女，湖北武漢人，助理教授；主要從事數(shù)學(xué)考試評價、數(shù)學(xué)教育技術(shù)研究.