吳青

摘? ?要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到人為約定的情形。為了幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)這種人為約定的必要，更好地理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，教師需要和學(xué)生一起探究約定俗成背后的數(shù)學(xué)淵源，從歷史、人文、科學(xué)等多角度分析約定俗成的合理意義，溝通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浸潤(rùn)科學(xué)文化的底蘊(yùn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；確定位置；科學(xué)文化

中圖分類號(hào)：G623.5? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1009-010X（2023）19/22-0038-04

一、問(wèn)題緣起

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第四單元 “確定位置”是讓學(xué)生用帶有角度的方向和距離，來(lái)描述平面上各點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，比如書本例題中的燈塔在輪船的北偏東30°方向6千米處，這種表示物體位置的方法其實(shí)類似于極坐標(biāo)法。

本課教學(xué)有一個(gè)重點(diǎn)，就是要用“北偏東30°”這樣的方式來(lái)描述物體的準(zhǔn)確方向。在生活中我們經(jīng)常說(shuō)“東北”這個(gè)方位詞，但是“東北”只是一個(gè)大概的方向，只要在東和北之間都可以叫做東北。要想準(zhǔn)確地指定東和北之間的某一個(gè)具體方向，就必須加上一個(gè)角度，比如說(shuō)成“北偏東30°”。

但是，為什么要說(shuō)成“北偏東”而不是“東偏北”，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有些難以理解，因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)這兩個(gè)詞語(yǔ)都可以表示東和北之間。

如果我們只是簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生，這是人們約定俗成的說(shuō)法，一定要說(shuō)成“北偏東”，而不能說(shuō)成“東偏北”，那么經(jīng)過(guò)多次練習(xí)鞏固之后，他們會(huì)逐漸掌握正確的表述方式，但是并沒(méi)有真正理解其本質(zhì)，因?yàn)樗麄冎皇潜缓?jiǎn)單的“告知”與反復(fù)地機(jī)械訓(xùn)練。

其實(shí)采用“北偏東”這種說(shuō)法，雖說(shuō)是人為約定的，但卻有著極豐富的內(nèi)在的文化、科學(xué)等方面的歷史淵源。所以深入探究數(shù)學(xué)知識(shí)“約定俗成”背后的人文淵源，將有助于學(xué)生更好地理解并掌握這些數(shù)學(xué)知識(shí)。

二、追根求源

為什么東北要說(shuō)成“北偏東”而不是“東偏北”，學(xué)生對(duì)此不易接受、容易混淆，但又很好奇、想要究其根源。這其中涉及到古人在認(rèn)識(shí)、探索宇宙過(guò)程中逐步積累起來(lái)的科學(xué)知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)，在課堂上，如果教師能夠幫助學(xué)生理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，就可以順利地進(jìn)行知識(shí)同化，在此基礎(chǔ)上的知識(shí)學(xué)習(xí)將會(huì)更加有效。

（一）中西方語(yǔ)言文化

在漢語(yǔ)中，“東北”這個(gè)詞語(yǔ)的構(gòu)成和紅花、大樹(shù)等詞語(yǔ)相同，后面的“北”是中心詞，而前面的“東”是形容詞，來(lái)修飾中心詞“北”，表示“東的北”“偏向東的北”。

而在英語(yǔ)中，“東北”有三種說(shuō)法：north east， north by east， North easterly，它們都可以簡(jiǎn)寫成“NE”。著重分析最后一個(gè)，我們知道“north”表示北，“east”表示東，那么加上后綴“erly”之后，“easterly”就表示“東的，向東的”。很顯然，“North easterly”表示向東的北，偏向東的北。

看來(lái)，不管是漢語(yǔ)還是英語(yǔ)，表示東北方向的詞組，都是以“北”為中心詞，表示“偏向東的北”或“從北偏向東”，因此可以簡(jiǎn)短的說(shuō)成“北偏東”。

類似的，西北方向也是以北為標(biāo)準(zhǔn)，要說(shuō)成“北偏西”，而東南和西南方向則是以南為標(biāo)準(zhǔn)，要說(shuō)成“南偏東”“南偏西”。

（二）北極星

在東、南、西、北這四個(gè)方向中，我們古人在確定方位時(shí)，都不約而同地選擇以北和南為坐標(biāo)，而不是以東和西為坐標(biāo)，這是為什么？

東、南、西、北這四個(gè)方向都是古人在認(rèn)識(shí)大自然的過(guò)程中形成的，然而它們之間卻是有差別的。幾千年前，古人就開(kāi)始夜觀天象，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期地觀察研究，他們發(fā)現(xiàn)日月星辰都在不停的運(yùn)動(dòng)，而只有一顆星在天空中的位置看起來(lái)幾乎不動(dòng)，古人將之稱為“北極星”。

后來(lái)人們知道，因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈赞D(zhuǎn)，就造成了日月星辰看起來(lái)在不停地繞著地球轉(zhuǎn)動(dòng)；而地球自轉(zhuǎn)軸所指的方向正好對(duì)著北極星附近，因此北極星在天空的位置看起來(lái)就幾乎不變。人們把北極星所指的方向定為北，那么相反的方向就是南，有了北和南，就可以確定東和西這兩個(gè)方向了。古人在大海中航行，在沙漠、森林、田野上跋涉時(shí)，總是通過(guò)北極星來(lái)指示方向。

可能有人會(huì)認(rèn)為，我們可以把早晨太陽(yáng)升起的方向定為東，晚上太陽(yáng)落下的方向定為西。有了東和西，然后再確定南和北，不是也可以嗎？

由于地球在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的同時(shí)，是傾斜著身子在進(jìn)行自轉(zhuǎn)，這就造成每天太陽(yáng)日出的位置都在不停地變化。通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的觀察可以發(fā)現(xiàn)，冬天日出的方向在正東偏南，夏天日出的方向在正東偏北。而且處于不同地理緯度上的地區(qū)，日出位置也不相同。因此用這種方法得到的東和西，存在著很大的不確定性，所以不適合用來(lái)較準(zhǔn)確地確定位置。因此我們是以南北方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)。

（三）指南針

我們出門在外，除了可以根據(jù)北極星來(lái)確定方向之外，還可以通過(guò)指南針來(lái)指示南北方向。指南針為什么能夠指出南北方向？因?yàn)榈厍騼?nèi)部有一個(gè)巨大的磁場(chǎng)，可以根據(jù)磁鐵同極相斥、異極相吸的特點(diǎn)，用指南針上的磁鐵指出南北方向。

其實(shí)指南針指示的只是地磁場(chǎng)的南極和北極，而非真正的地理南極和北極，但是地磁場(chǎng)的兩極位于地理兩極附近，差距不大，所以我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^(guò)指南針來(lái)指示南北方向。

從上面的分析中我們可以看出，中西方語(yǔ)言都是以南和北為坐標(biāo)，而地球自轉(zhuǎn)和地球磁場(chǎng)也都決定了南北方向的重要性，所以我們?cè)诖_定方向時(shí)，是以南和北為坐標(biāo)，所以要說(shuō)成“北偏東”，而不能說(shuō)成“東偏北”。

在課堂上，我們和學(xué)生簡(jiǎn)要地從這三個(gè)方面進(jìn)行分析，明確了“北偏東”這種說(shuō)法的根源。和原先直接告訴學(xué)生的教學(xué)方式相比，這樣的教學(xué)過(guò)程把枯燥的說(shuō)教變?yōu)樯鷦?dòng)的探究，能夠激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)熱情，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的探究精神，更加有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握。

三、縱向比較

對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，確定位置的學(xué)習(xí)貫穿了整個(gè)小學(xué)階段，對(duì)學(xué)生的要求逐步提高，描述物體位置的方法 也越來(lái)越精確。

一年級(jí)第一學(xué)期，剛剛跨入小學(xué)大門的孩子就認(rèn)識(shí)了前、后、左、右，這是最基礎(chǔ)的確定位置的方法，只能確定以觀測(cè)者為中心的前后、左右這兩條直線上的方向，這也相當(dāng)于是以觀測(cè)者為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系的兩條坐標(biāo)軸上的方向。這時(shí)的方向，與觀測(cè)者的朝向有關(guān)，因此具有不確定性，一旦觀測(cè)者的朝向發(fā)生了變化，那么前、后、左、右這四個(gè)方向也隨之變化。

二年級(jí)第二學(xué)期，學(xué)生通過(guò)早晨面向太陽(yáng)時(shí)的前、后、左、右，認(rèn)識(shí)了東、南、西、北四個(gè)方向，并在此基礎(chǔ)上又進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了東北、東南、西北、西南這四個(gè)方向，此時(shí)四面八方中的這八個(gè)方向不再受觀測(cè)者朝向的影響，而是完全依賴于地球的自轉(zhuǎn)與太陽(yáng)的東升西落，此時(shí)描述的方向更加準(zhǔn)確。

四年級(jí)第二學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置，這其實(shí)相當(dāng)于平面直角坐標(biāo)系中用一個(gè)有序數(shù)對(duì)（x，y）來(lái)確定平面上的點(diǎn)的位置，物體的位置更加精確，根據(jù)這個(gè)有序數(shù)對(duì)，我們就可以方便地找到平面上的點(diǎn)。只是這時(shí)的數(shù)對(duì)還是會(huì)受到觀測(cè)者朝向與位置的影響。

而六年級(jí)第二學(xué)期最后一次學(xué)習(xí)確定位置，則是用帶有角度的方向和距離來(lái)確定位置，這相當(dāng)于極坐標(biāo)系中用有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）來(lái)確定平面上的點(diǎn)的位置。因?yàn)檫@時(shí)的角度是以南北方向?yàn)榛鶞?zhǔn)的，所以不再受到觀測(cè)者朝向與位置的影響。

可以看出，小學(xué)階段前兩次學(xué)習(xí)的只是確定方向，而后兩次則是確定平面上一個(gè)點(diǎn)的位置；四年級(jí)時(shí)的數(shù)對(duì)會(huì)受到觀測(cè)者朝向與位置的影響，而六年級(jí)的方向和距離則不再受觀測(cè)者朝向與位置的影響，描述上更加準(zhǔn)確。

所以小學(xué)階段四次學(xué)習(xí)確定位置的方法，是在螺旋中不斷提高要求，使得確定位置的方法越來(lái)越精確。我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，可以和學(xué)生一起回顧前面幾次確定位置的方法，分析它們之間的區(qū)別，明確表示方法的不同要求，從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)用方向和距離確定位置的方法，加深理解并鞏固應(yīng)用。

四、橫向拓展

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到類似的具有“約定俗成”的情形，如果我們能夠和學(xué)生探究“約定俗成”背后的豐富內(nèi)涵，則會(huì)讓學(xué)生對(duì)這一數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)更加全面、深刻的認(rèn)識(shí)，從而更好地理解掌握。

（一）分?jǐn)?shù)分成真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)兩大類

在認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)的意義之后，我們根據(jù)分子和分母的大小關(guān)系，將分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類，一般分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)兩大類。

在通過(guò)實(shí)踐操作得出許多具體的分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，我們讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行分類。多數(shù)學(xué)生是將這些分?jǐn)?shù)分成三類，即分子小于分母、分子等于分母和分子大于分母這三類。隨后教師會(huì)告訴學(xué)生，我們一般把分子等于分母和分子大于分母的分?jǐn)?shù)合并在一起作為一類，從而將全體分?jǐn)?shù)分為兩大類：分子小于分母的分?jǐn)?shù)稱為真分?jǐn)?shù)，而分子等于或大于分母的分?jǐn)?shù)稱為假分?jǐn)?shù)。

對(duì)于這樣的“約定”分類，學(xué)生能夠接受，但不知其所以然，不知道為什么要把“分子等于分母和分子大于分母”這兩類合并在一起統(tǒng)稱為假分?jǐn)?shù)。以后在遇到“假分?jǐn)?shù)”的有關(guān)命題時(shí)，也總是會(huì)忽略掉“分子等于分母（即分?jǐn)?shù)值等于1）”的這種假分?jǐn)?shù)，而總是認(rèn)為假分?jǐn)?shù)就是“分子大于分母（即分?jǐn)?shù)值大于1）”的分?jǐn)?shù)，所以經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。

事實(shí)上，真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的概念是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)自然的過(guò)程中逐漸形成的，而并非是生硬地“人為約定”的。最開(kāi)始，當(dāng)需要把一些物體平均分給幾個(gè)人，而每人得到的數(shù)量小于1個(gè)時(shí)，就涉及到要平均分成若干份，每人取出其中的幾份，這就出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)。比如一大塊肉的３/5，就表示把這塊肉平均分成5份，從中取出了3份。這時(shí)出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)都是分子小于分母的分?jǐn)?shù)，而對(duì)于5/5、7/5之類的分?jǐn)?shù)是不可能出現(xiàn)的，因?yàn)榘盐矬w平均分成5份，然后把這5份都取走，也就沒(méi)有分的必要；而平均分成5份之后，更加不可能取走其中的7份，因此這些分?jǐn)?shù)是毫無(wú)意義的，是不可能真實(shí)存在的，是虛假的。

所以當(dāng)時(shí)的人們才把分物體的過(guò)程中自然形成的分子小于分母的分?jǐn)?shù)稱為“真分?jǐn)?shù)”（所謂真正的分?jǐn)?shù)），而把分子等于或大于分母的分?jǐn)?shù)稱為“假分?jǐn)?shù)”（即虛假的、沒(méi)有意義的分?jǐn)?shù)）。當(dāng)然，后來(lái)隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了假分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，但是這個(gè)名稱已經(jīng)根深蒂固了，就一直延續(xù)至今。

現(xiàn)在我們能夠知道，不管是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)，其實(shí)都是真正的分?jǐn)?shù)，名稱只能表明遠(yuǎn)古先人遇到這些數(shù)時(shí)的最初態(tài)度而已。一旦學(xué)生了解了分?jǐn)?shù)發(fā)展的完整過(guò)程，就會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)（尤其是假分?jǐn)?shù)）有一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí)，也就能夠充分理解并接受分?jǐn)?shù)的這種分類方法了。

（二）非零自然數(shù)分成1、素?cái)?shù)與合數(shù)三大類

在學(xué)習(xí)了因數(shù)和倍數(shù)的知識(shí)之后，我們把非零自然數(shù)按照因數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，一般是分成1、素?cái)?shù)和合數(shù)三大類。

我們先寫出1～12各數(shù)的因數(shù)，并統(tǒng)計(jì)其因數(shù)的個(gè)數(shù)，然后讓學(xué)生思考怎么進(jìn)行分類，分成哪幾類。多數(shù)學(xué)生會(huì)想到根據(jù)因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行分類，比如只有一個(gè)因數(shù)的為第一類，只有兩個(gè)因數(shù)的為第二類，只有三個(gè)因數(shù)的為第三類……這時(shí)我們會(huì)告訴學(xué)生，根據(jù)剛才的分類方法，需要把全體非零自然數(shù)分成非常多的類型（其實(shí)應(yīng)該是無(wú)限多類），所以人們一般把因數(shù)個(gè)數(shù)多于兩個(gè)的非零自然數(shù)全部合并成一大類，稱為合數(shù)；而把因數(shù)只有兩個(gè)的自然數(shù)作為一類，稱為素?cái)?shù)；最后，1作為單獨(dú)的一類。這樣，非零自然數(shù)就分成1、素?cái)?shù)與合數(shù)三大類。

在這里，學(xué)生同樣會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)，為什么要把因數(shù)個(gè)數(shù)多于兩個(gè)的那么多非零自然數(shù)全部合并成一類，而因數(shù)只有兩個(gè)的自然數(shù)單獨(dú)作為一類，這樣的分類似乎有些不對(duì)等，有什么特殊用意？這個(gè)疑問(wèn)會(huì)影響學(xué)生對(duì)素?cái)?shù)和合數(shù)這兩個(gè)概念的正確理解與運(yùn)用。

事實(shí)上，“素?cái)?shù)”這個(gè)名稱表示不可分的數(shù)，它是組成其他整數(shù)的基礎(chǔ)，類似于物質(zhì)世界中的原子。任何一個(gè)合數(shù)都可以寫成若干個(gè)比它本身小的整數(shù)相乘的形式，而素?cái)?shù)卻不能這樣表示，而只能寫成1和它自身相乘的形式。同時(shí)，用若干個(gè)同樣大小的小正方形拼成長(zhǎng)方形，如果小正方形的個(gè)數(shù)是合數(shù)，那么拼成的長(zhǎng)方形的形狀是不唯一的，存在至少兩種不同的拼法；而當(dāng)小正方形的個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)，那么拼成的長(zhǎng)方形的形狀是唯一的。其中的關(guān)鍵就在于，素?cái)?shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，因此只能寫成1與它本身相乘的形式；而合數(shù)除了1和它本身這兩個(gè)因數(shù)以外，還有別的因數(shù)，因此因數(shù)的個(gè)數(shù)多于兩個(gè)，這是它們的本質(zhì)區(qū)別。所以區(qū)分素?cái)?shù)和合數(shù)，其出發(fā)點(diǎn)并不是看因數(shù)有多少個(gè)，而關(guān)鍵是看除了1和它本身以外，有沒(méi)有別的因數(shù)，能不能進(jìn)行“分解”，這是分類的關(guān)鍵所在。

當(dāng)學(xué)生知道了這一點(diǎn)，對(duì)于素?cái)?shù)和合數(shù)分類的問(wèn)題也就有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

類似于這樣的問(wèn)題還有很多，我們?cè)谟龅竭@些“約定俗成”的情形時(shí)，要盡量拓展相關(guān)的教學(xué)信息，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò)聯(lián)系，和學(xué)生一起探究“約定俗成”背后的人文、科學(xué)因素，探尋數(shù)學(xué)的文化淵源，幫助學(xué)生充分理解并接受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，這樣定會(huì)演繹出課堂的別樣精彩。

【責(zé)任編輯 王? ?悅】