蘇國(guó)東

摘 要：基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》相關(guān)理念，筆者嘗試將“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”綜合與實(shí)踐活動(dòng)和常規(guī)教學(xué)融合，設(shè)計(jì)出一節(jié)“填幻方”數(shù)學(xué)活動(dòng)課.學(xué)生通過(guò)組隊(duì)研究、合作展示、開(kāi)拓創(chuàng)新，在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值，逐步形成核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)；常規(guī)教學(xué)；數(shù)學(xué)活動(dòng)；填幻方

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”是我市面向初中生開(kāi)展的一項(xiàng)綜合與實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)主要包括學(xué)生組隊(duì)研究、撰寫(xiě)報(bào)告、展示答辯三個(gè)環(huán)節(jié).基于初中教材中的實(shí)驗(yàn)與探究、數(shù)學(xué)活動(dòng)等欄目?jī)?nèi)容，融入“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”的活動(dòng)形式，開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課程，可以豐富和完善數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)的內(nèi)容與形式，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

1 教學(xué)實(shí)踐

“填幻方”是人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第一章“有理數(shù)”中實(shí)驗(yàn)與探究欄目的選學(xué)內(nèi)容.本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)完用字母表示數(shù)的相關(guān)知識(shí)后設(shè)計(jì)的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課.學(xué)生組隊(duì)開(kāi)展研究，探討了幻方中的數(shù)字填寫(xiě)方法以及用字母x來(lái)表示一般規(guī)律的全過(guò)程.

1.1 情境引入，問(wèn)題啟發(fā)

教師將教材內(nèi)容擴(kuò)充，設(shè)計(jì)出如下問(wèn)題情境.

幻方是一種將數(shù)字安排在正方形格子中，使每行、每列和每條斜對(duì)角線上的數(shù)字和都相等的方法，也是一種中國(guó)傳統(tǒng)游戲.三階幻方（幻方的階數(shù)是指幻方的行或列的數(shù)目）是平面幻方中最簡(jiǎn)單的幻方，已有兩千五百多年的歷史.相傳大禹治水時(shí)，洛水中出現(xiàn)了一只“神龜”，其背上有美妙的圖案，史稱“洛書(shū)”，用現(xiàn)在的數(shù)字翻譯出來(lái)，就是三階幻方.還有人曾建議向火星發(fā)射三階幻方圖案，如果火星上有智能生物，那么他們可以從這種“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”中了解到地球上也有智能生物（人類）.

如圖1，將1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個(gè)數(shù)字分別填入9個(gè)空格中，便得到了三階幻方的一種填法，每行、每列、每條斜對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都等于15.

教師在此基礎(chǔ)上提出新問(wèn)題：同學(xué)們，你們能將-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4這9個(gè)數(shù)分別填入三階幻方的9個(gè)空格中，使每行、每列、每條斜對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等嗎？你還能在此基礎(chǔ)上作出進(jìn)一步的研究嗎？

學(xué)生通過(guò)不斷嘗試，探究三階幻方中的數(shù)字規(guī)律，得到了不同的填寫(xiě)方法，如圖2是其中一種填法.

1.2 組隊(duì)研究，匯報(bào)展示

學(xué)生回顧推理過(guò)程，通過(guò)小組內(nèi)的交流探討，得到了快速填寫(xiě)幻方的規(guī)律和技巧.然后在教師的引導(dǎo)下，小組成員確定了研究方向，開(kāi)始探索類似的連續(xù)整數(shù)的填寫(xiě)方法，并提出對(duì)偶數(shù)、奇數(shù)、任意間隔的整數(shù)能否找到填寫(xiě)規(guī)律等問(wèn)題.以下是各個(gè)小組的研究思路和匯報(bào)展示片段.

1.2.1 連續(xù)整數(shù)填法的x表示

我們作出如下思考：第一，三階幻方不容易填，要找到一套步驟才能快速填寫(xiě)；第二，換成其他數(shù)字需要重新思考填寫(xiě)方法，較為繁瑣，有沒(méi)有一種通用的填法呢？

通過(guò)學(xué)習(xí)，我們知道了用字母表示數(shù)的一般方法，下面探討是否可以用含字母x的式子來(lái)表示各格子的數(shù)據(jù)，從而解決上述問(wèn)題.

從上述問(wèn)題的推理過(guò)程可知，中間數(shù)字的填寫(xiě)最為關(guān)鍵，關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)數(shù)“互補(bǔ)”等.我們可以將圖1的中間數(shù)字5記為x，則4記為x-1，9記為x+4.以此類推，得到了三階幻方的連續(xù)自然數(shù)的通用填法，如圖3.從圖3可以驗(yàn)證，x取任意的整數(shù)時(shí)，每行、每列和每條斜對(duì)角線上的數(shù)字和都等于3x，幻方的性質(zhì)都能成立.但這種填法不利于記憶.下面總結(jié)出一種填寫(xiě)的步驟，以圖3為例.

① 先填寫(xiě)中間的數(shù)字x；

② 再填寫(xiě)左右、上下的數(shù)字，與x的差值分別為2或-2，4或-4，即x-2，x+2，x-4，x+4；

③ 最后填寫(xiě)四個(gè)角的數(shù)字，與x的差值分別為1或-1，3或-3，即x-1，x+1，x-3，x+3.填寫(xiě)的位置也有要求，比如對(duì)于左下角的數(shù)字，與其相鄰的兩數(shù)是x-2和x-4，則左下角填“+”，再考慮到同一行、同一列三個(gè)數(shù)的和要等于3x，故需填“+3”，即填的數(shù)字為“x+3”.同理填寫(xiě)其他三個(gè)角的數(shù)字，這樣能保證每行、每列和每條斜對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和均為3x.

大家可以嘗試運(yùn)用這種方法解決以下思考題.

問(wèn)題1：請(qǐng)?jiān)?×3表格中，分別填入5、6、7、8、9、10、11、12、13這9個(gè)數(shù)字，使表格每行、每列以及每條斜對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等.

解答：令圖3中的x=9，按填寫(xiě)步驟即可得到答案.

問(wèn)題2：請(qǐng)?jiān)?×3表格中，分別填入-1、-2、-3、-4、-5、-6、-7、-8、-9這9個(gè)數(shù)字，使表格每行、每列以及每條斜對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等.

解答：令圖3中的x=-5，按填寫(xiě)步驟即可得到答案.

1.2.2 連續(xù)偶數(shù)或奇數(shù)填法的x表示

思考如下問(wèn)題：既然連續(xù)整數(shù)都能填入幻方，那能否將2、4、6、8、10等連續(xù)偶數(shù)或1、3、5、7、9等連續(xù)奇數(shù)也填入幻方呢？

通過(guò)觀察可知，連續(xù)偶數(shù)是對(duì)應(yīng)的連續(xù)整數(shù)的兩倍，我們已經(jīng)有了如圖3的連續(xù)整數(shù)的三階幻方填法，那么把表格中的所有數(shù)字乘以2，即得到了三階幻方的連續(xù)偶數(shù)的x表示填法，如圖4.

同理，將圖4中的所有數(shù)字加上1，化簡(jiǎn)即可得到三階幻方的連續(xù)奇數(shù)的x表示填法，如圖5.

大家可以嘗試解決以下思考題.

問(wèn)題3：請(qǐng)?jiān)?×3表格中，分別填入-7、-5、-3、-1、1、3、5、7、9這9個(gè)數(shù)字，使表格每行、每列以及每條斜對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等.

解答：令圖5中的x=0，即可得出答案.

1.2.3 任意間隔整數(shù)填法的x表示

上面已經(jīng)得到了間隔1和間隔2（奇偶數(shù)）的整數(shù)填法，用同樣的推理方法，對(duì)于間隔3的整數(shù)，可以將圖3中每個(gè)格子的數(shù)都乘以3，化簡(jiǎn)即可得到間隔3的整數(shù)填法的x表示，如圖6.

用同樣的方法可以推出間隔數(shù)字為N的整數(shù)填法的x表示，方法是將圖3中每個(gè)格子的數(shù)乘以N即可得到，如圖7.

大家可以嘗試解決以下思考題.

問(wèn)題4：請(qǐng)?jiān)?×3表格中，分別填入1、5、9、13、17、21、25、29、33這9個(gè)數(shù)字，使表格每行、每列以及每條斜對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等.

解答：令圖7中的N=4，x=4，即得到了間隔4的偶數(shù)填法，再將所有數(shù)加上1，則得到了間隔4的奇數(shù)填法，化簡(jiǎn)得到圖8，即為本題的答案.

1.3 應(yīng)用推廣，激活思維

三階幻方的x表示方法既神奇又易于推廣，使得各個(gè)小組的研究熱情十分高漲，紛紛提出了新的設(shè)想，比如對(duì)于四階、五階乃至n階幻方，能否也找得到這樣的通用表示方法，幻方的性質(zhì)又能否推陳出新，讓幻方更顯數(shù)字的魅力等等.各個(gè)小組在教師提供的補(bǔ)充資料和指導(dǎo)之下，了解到四階幻方等的來(lái)由和特征，并開(kāi)展了新一輪的觀察、猜想、實(shí)踐和驗(yàn)證活動(dòng)，形成了如下匯報(bào)展示內(nèi)容.

1.3.1 四階幻方及其x表示

四階幻方是一種偶階幻方，它的特征是把1～16這16個(gè)連續(xù)整數(shù)填入4×4的方格中，可以使得每行、每列以及兩條斜對(duì)角線上四個(gè)數(shù)的和都相等.目前我們要研究的是怎樣用含x的式子表達(dá)四階幻方，其次推導(dǎo)出四階幻方的一些新的性質(zhì).

我們先把連續(xù)整數(shù)1～16填入4×4的方格中組成一個(gè)四階幻方，如圖9是其中一種填法.

為了揭示填幻方問(wèn)題的本質(zhì)，我們嘗試用上面三階幻方的方法來(lái)推出四階幻方的x表示.把圖9中的3記為x，以此類推，可以得出四階幻方的一種通用的x表示方法，如圖10.

1.3.2 推導(dǎo)四階幻方的新性質(zhì)

為了方便表示，我們用a1，a2，a3等記號(hào)來(lái)表示圖10中的數(shù)字，如圖11.利用圖10的x表示方法可以方便快捷地得到四階幻方的一些新的性質(zhì).

例如，猜想其具有如下新性質(zhì)：b2+b3=d1+d4，下面作出證明.

證明：因?yàn)閎2+b3=x-2+x+12=2x+10，d1+d4=x+10+x=2x+10，

所以，b2+b3=d1+d4成立.

同理，b1+b4=d2+d3，這四個(gè)數(shù)字所在位置形狀類似梯形，故可形象地稱之為：

性質(zhì)（1）：b2+b3=d1+d4；b1+b4=d2+d3（梯形）.

類似的，還可得到如下的一些新性質(zhì).

性質(zhì)（2）：a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3+b4=c1+c2+c3+c4=d1+d2+d3+d4.

性質(zhì)（3）：a1+a3=d2+d4；a2+a4=d1+d3（菱形）.

性質(zhì)（4）：b1+b2=a4+a3；a1+a2=b4+b3（倒梯形）.

性質(zhì)（5）：c1+c2=d4+d3；c3+c4=d1+d2（小梯形）.

借助圖10的x表示均可驗(yàn)證以上性質(zhì).

大家可以綜合運(yùn)用以上知識(shí)解決以下思考題.

問(wèn)題5：請(qǐng)?jiān)?×4表格中，分別填入1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31這16個(gè)數(shù)字，使表格每行、每列以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等.

解答：把圖10中的每個(gè)數(shù)乘以2，再加上1，即可得到四階幻方的連續(xù)奇數(shù)填法，如圖12.再令x=2，即得到問(wèn)題的解答，如圖13.

問(wèn)題6：如圖14，四階幻方中已知部分?jǐn)?shù)據(jù)，求a4，d1，d2，d3代表的數(shù)字.

解答：由（3）菱形性質(zhì)：a1+a3=d2+d4，得14+8=d2+6，所以，d2=16.再由（5）小梯形性質(zhì)：a2+a3=d2+d3，得28+8=16+d3，所以，d3=20.同理，由a1+a2=d1+d2，得14+28=d1+16，所以，d1=26；由a1+a4=d1+d4，得14+a4=26+6，所以，a4=18.

1.4 總結(jié)反思，開(kāi)拓創(chuàng)新

根據(jù)上面的推導(dǎo)及所學(xué)知識(shí)，小組成員還嘗試用上述方法展示出了五階幻方的x表示，學(xué)生認(rèn)為六階、七階乃至n階幻方都可以用類似的方法表達(dá)，并據(jù)此可以進(jìn)一步探究對(duì)應(yīng)的連續(xù)奇偶數(shù)表示、間隔N的數(shù)字表示、小數(shù)填法等，以及推出n階幻方的一些新的性質(zhì).

在課堂小結(jié)階段，各個(gè)小組成員均表示，由于現(xiàn)有的知識(shí)還不夠豐富，該問(wèn)題并未得到解決.相信在將來(lái)經(jīng)過(guò)不斷地學(xué)習(xí)和經(jīng)驗(yàn)的積累，他們能夠用更多新知識(shí)和新工具去研究和解決這些問(wèn)題，還可以創(chuàng)造各種新的變形幻方的填法，例如，3×4型、4×5型、錯(cuò)位補(bǔ)角型（臺(tái)階型）等等，他們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)和思考會(huì)不斷向縱深方向發(fā)展.

2 結(jié)束語(yǔ)

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的理念引領(lǐng)下，本節(jié)課嘗試將“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)融合到初中數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)中，注重創(chuàng)設(shè)啟發(fā)式的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、組隊(duì)研究、合作展示、開(kāi)拓創(chuàng)新.學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，繼而組隊(duì)探索幻方填法的字母表示，通過(guò)觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等方式分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，獲得良好的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)的魅力和應(yīng)用價(jià)值，逐步形成核心素養(yǎng).

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