張浩

摘 要：在四年級下冊開展“軸對稱圖形再認識”一課的目的是讓學(xué)生在三年級軸對稱圖形的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上感悟軸對稱知識的本質(zhì)——圖形的運動.教學(xué)將“翻折”融入課堂，引導(dǎo)學(xué)生充分感知軸對稱運動，使學(xué)生的認知層次上升到“理性認識”，知道軸對稱圖形的特征，讓學(xué)生在觀察和操作中，將對知識的思考與實物模型的演示有機結(jié)合，進而在頭腦中形成表象、建立概念、以動促思、獲得空間觀念的發(fā)展，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：軸對稱圖形;空間觀念;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

四年級下冊的“軸對稱圖形再認識”教學(xué)，應(yīng)在“軸對稱圖形”的幾何實質(zhì)上下功夫，即采用最合適的形式，使學(xué)生體會軸對稱圖形的幾何實質(zhì)——這也就是圖形的運動方式.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出了數(shù)學(xué)教學(xué)的總體目標(biāo)是“三會”，即“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.”［1］為了實現(xiàn)課標(biāo)要求，讓核心素養(yǎng)在課堂落地，具體做法就是將“翻折”概念納入課堂教學(xué)中，以通過這種可觀測、可操縱、可表述的方式，引領(lǐng)學(xué)生全面認識軸對稱運動，真正掌握點和圖形之間變換的基本原理，并深入理解軸對稱圖形的基本特點，以此發(fā)展學(xué)生的空間觀念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 精心觀察圖形，“對折”“翻折”變通途

由于在三年級上冊學(xué)生已初步理解了軸對稱圖形的概念，能從直觀上認識軸對稱圖形并加以區(qū)分，同時也掌握了用對折的方法對軸對稱圖形進行驗證，這是學(xué)生對軸對稱圖形的已有經(jīng)驗.然而在上述學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生只感知了兩邊圖形的形狀和大小是一樣的，對其圖形的位置變化關(guān)注度不高，對軸對稱圖形的認識有偏差，空間觀念欠佳.因此通過細致的觀察，從“對折”引出“翻折”，順應(yīng)學(xué)生已有的舊知，讓學(xué)生從多維角度去感知圖形的運動，有利于為學(xué)生深入認識軸對稱圖形的特征打下基礎(chǔ).

片段一：

課件出示：

師：“對折”可以判斷一個圖形是不是軸對稱圖形.

課件動態(tài)演示：把上述圖形沿一條對稱軸進行翻折.

師：現(xiàn)在再仔細觀察，老師這里有個新的動作，你覺得叫什么？

生1：展開、翻過來、翻轉(zhuǎn)……

師：你能演示一下這個動作嗎？

讓學(xué)生手勢比劃一下.

師：對的，你們所說的展開、翻過來，這個動作在數(shù)學(xué)上就叫“翻折”.

教師帶著學(xué)生一起邊做動作邊說一說：把這半條小魚圖形沿著橫著的對稱軸向下翻折還原成了一條小魚；這個小長方形沿著豎著的對稱軸向右翻折還原成了大的長方形；這個直角三角形沿著斜著的對稱軸向右上方翻折還原成了正方形.

小結(jié)：“翻折”可以把半個圖形變成一個軸對稱圖形.

2 充分操作實物，“動”中所思長經(jīng)驗

四年級的學(xué)生空間想象能力不是很強，因此借助實物進行“翻折”操作，能在一定程度上強化學(xué)生的空間想象能力，同時多次“翻折”操作過程中也能突出本節(jié)課的重要內(nèi)容之一“對稱軸”，它是進行正確“翻折”的重要參考標(biāo)準(zhǔn).軸對稱圖形的根本特點：對稱點的連線與對稱軸互相垂直、對稱點到對稱軸的距離相等，這些均和對稱軸有關(guān)，故實物“翻折”操作讓學(xué)生在“動”中感悟圖形的運動變化，又在多次“翻折”后的不同軸對稱圖形對比中，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念.

片段二：

課件出示：

師：接下來讓我們用翻折的方法來創(chuàng)造一個軸對稱圖形吧.瞧，這是一個什么圖形？

生2：三角形.

師：想象一下，這個三角形，如果以這條豎著的邊所在的直線為對稱軸進行翻折，會形成什么圖形？誰愿意上黑板演示一下？

學(xué)生板演翻折后畫出另一半，注意翻折的動作，不要與旋轉(zhuǎn)混淆.

師：這個三角形除了可以沿豎著的邊所在直線為對稱軸進行翻折，還可以怎么翻折？

生3：還可以沿著橫著的邊或斜著的邊所在直線為對稱軸進行翻折.

師：請大家邊想象，邊動手翻一翻，再畫一畫，看看翻折后會得到什么圖形？

學(xué)生操作翻折后畫出另一半，再讓兩個學(xué)生進行板演操作.

師：為什么同一個三角形翻折后形成的軸對稱圖形不一樣呢？

生4：翻折的方向不一樣.

師：翻折方向不一樣，也就是誰的位置不一樣？

生5：就是對稱軸位置不一樣.

師：對稱軸不一樣，翻折出來的軸對稱圖形也不一樣.看來對稱軸很重要，是翻折的重要參考標(biāo)準(zhǔn).

3 有效想象畫圖，本質(zhì)特征蘊其中

對于認識軸對稱圖形的本質(zhì)特征，本課反其道而行之，讓學(xué)生去經(jīng)歷一個探究活動——翻折畫圖，補全軸對稱圖形的另一半，通過先想象，在腦中翻折，然后畫出軸對稱圖形的另一半圖形，讓學(xué)生在操作和想象的加持下，再去發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，并解釋道理.這樣的練習(xí)，讓學(xué)生對知識點的掌握更加徹底，緊扣“翻折”這樣的圖形運動方式，經(jīng)歷自主探究、思維碰撞的過程，讓學(xué)生對技能的掌握更到位.最后通過點——線——面，圖形的由來，勾連了“翻折”（新知）和“對折”（舊知）之間的聯(lián)系，統(tǒng)一了軸對稱圖形的運動.

片段三：

課件出示：

師：如果不操作，你能發(fā)揮想象的翅膀，在頭腦中翻折嗎？翻折后會得到什么圖形呢？

生：花瓶（水壺……）.

師：是真的嗎？你能不能把想象的花瓶畫下來，為了精準(zhǔn)，張老師給大家配了方格紙，請把你想象的圖形畫出來.

讓學(xué)生操作畫一畫，再展示學(xué)生作業(yè).

師：你們畫出來的圖形像花瓶嗎？

生：像花瓶.

師：你們的想象力真不錯，請你給大家介紹一下怎么畫的呢？

生6：我直接畫出和左邊一半一樣長的線.

師：很好，你關(guān)注了圖形的線.（手指點）線畫到這個點位置為什么拐彎往下畫了，不畫下去了呢？

生7：因為左邊這點距離對稱軸有1格，所以右邊的點也要距離對稱軸1格.

師：看來這個點的位置很重要.除了這個點，還有哪些點也很重要？

生找出點，師標(biāo)出來圖形中的對稱點.

師：這些點的位置是由誰確定的呢？

生8：左右兩個點距離對稱軸的距離要一樣.

再課件出示：左半個圖形的頂點，并標(biāo)上A、B、C、D.

師：為了方便交流，給這些頂點標(biāo)上字母.你們找到的是這些點嗎？（課件出示：A、B、C、D點的對稱點）

生：是的.

課件動畫演示：把花瓶圖的左半邊向右翻折.

師：把左半邊圖形翻折后，你們找到的4個點和A、B、C、D這4個點會怎么樣？

生9：重合了.

師：其實這四個點就是A、B、C、D點翻折后的位置，數(shù)學(xué)上稱它們?yōu)锳、B、C、D點的對稱點.A點的對稱點用字母A′表示.都用到了A說明這兩個點有聯(lián)系，但又不一樣，所以用了A′.那其他幾個對稱點可以用什么表示？

生：可以用B′、C′、D′表示.

師：接下去怎么辦？

生10：連線.

師：現(xiàn)在將這幾組對稱點都連起來，請仔細觀察，這些對稱點的連線和對稱軸之間有哪些聯(lián)系？先和你的同學(xué)探討問題，你會有哪些發(fā)現(xiàn)？

生11：對稱點的連線與對稱軸互相垂直；對稱點到對稱軸的距離相等.

師手指圖形中左邊的點（一個在邊線格點處，另一個不在邊線格點處）.

師：這兩個點有對稱點嗎？在哪里？

生板演指一指.

師：這幅圖上像這樣的對稱點還有嗎？

生12：有無數(shù)個.

小結(jié)：軸對稱圖形中只要左邊有一個點，右邊一定有一個點和它對稱.

出示：把半個花瓶圖翻折的動畫.

師：如果把圖形沿著這條對稱軸對折，這些點會重合嗎？點的連線會重合嗎？線圍成的圖形會重合嗎？所以對折后軸對稱圖形的兩邊是怎么樣的？

生13：對折后軸對稱圖形的兩邊是完全重合的.

小結(jié)：通過探討點和點之間的相互關(guān)系，發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的兩個重要特點：對稱點的連線與對稱軸互相垂直；對稱點到對稱軸的距離相等.

4 多維判別錯例，空間觀念提素養(yǎng)

關(guān)于“一般的平行四邊形是否是軸對稱圖形？”的判別一直是個難點，就算學(xué)生在三年級初步判斷軸對稱圖形的練習(xí)中能用對折的方法加以驗證，但過段時間再來判斷時依然有學(xué)生會覺得一般的平行四邊形是軸對稱圖形，這是因為學(xué)生更多地還是關(guān)注圖形兩部分是否相等，而非圖形兩部分是否重合，所以應(yīng)該在圖形的運動上下功夫，讓學(xué)生在腦中進行想象翻折，勾勒出形，再通過圖形上的點和點的位置關(guān)系深入分析一般的平行四邊形的特點，最后勾連圖形運動方式，對比分析小學(xué)階段學(xué)習(xí)的剛體運動——平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱之間的聯(lián)系和區(qū)別.能讓學(xué)生在腦海中將感知到的信息與心理圖式發(fā)生相互作用，得到圖形感知能力和空間想象能力的有效錘煉和提升.

片段四：

課件出示：

師：小明的說法你同意嗎？你能不能做小老師幫他解釋解釋呢？

生14：不同意.把平行四邊形沿著這條直線對折，兩邊沒有完全重合.

生15：不同意.沿著這條直線翻折，形成的圖形不是平行四邊形.

生16：這個圖形的一半平移才是平行四邊形，如果翻折的話就不是平行四邊形了.

出示：平行四邊形的一半.

師：如果把這一半圖形沿著這條對稱軸翻折，會是什么圖形？

讓學(xué)生用手勢翻折回答.

師：跟著老師一起翻折看看，會是什么圖形呢（課件出示翻折動畫）？和你想的一樣嗎？

生17：翻折后像一個箭頭.

師：我們發(fā)現(xiàn)翻折后的圖形不是平行四邊形，說明小明的想法是錯誤的.

再課件出示：

師：思考圖形中這組對應(yīng)點的連線和折痕所在直線的關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生18：平行四邊形的對應(yīng)點連線和折痕所在直線不是互相垂直，說明這條直線不是對稱軸，這個平行四邊形不是軸對稱圖形.

師：從軸對稱圖形的特征也能說明小明的說法是錯誤的.

出示：平行四邊形的一半進行平移運動，組成了一個平行四邊形.

師：看這半個圖形進行了什么運動，組成了一個平行四邊形？

生19：這半個圖形進行了平移，組成了一個平行四邊形.

師：圖形運動的方式不一樣，運動后圖形的位置不一樣，所以得到的圖形也不一樣.我們從多方面判斷這個平行四邊形不是軸對稱圖形，使我們對平行四邊形又有了更深入的認識.

5 重視運動探究，透過現(xiàn)象看根本

運動是世間萬物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式.平面圖形的運動，對學(xué)生認識豐富多彩的現(xiàn)實世界、建立基本的空間觀念，以及提高對圖形美的體驗和鑒賞能力都具有非常關(guān)鍵的意義.學(xué)生在學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱這些內(nèi)容時主要通過操作活動積累基本活動經(jīng)驗、獲得直觀感受.由于圖形的運動是一種最主要的數(shù)學(xué)思維方式，所以不但要使學(xué)生了解運動的結(jié)果，還必須讓學(xué)生想象運動的過程，進而理解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱運動的本質(zhì)意義，即平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱運動有一個共同的特征，就是運動之后保持任意兩點之間的相應(yīng)距離不變，這也就確保了運動之后物體的形狀、大小不變.通過具體情境“這條小魚圖的面積是多大呢？”，讓學(xué)生進一步認識圖形的這種剛體運動，滲透同學(xué)間相互合作的意識，體會運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的實用性.讓學(xué)生認識圖形運動的一個主要目的是引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，讓學(xué)生能夠逐漸懂得在生活中觀察和欣賞圖形的運動現(xiàn)象，進一步感受數(shù)學(xué)對人類發(fā)展的意義，感受數(shù)學(xué)的文化教育意義.通過觀察從軸對稱運動引出中心對稱運動，有利于學(xué)生在以后體會到“立體圖形也基本都是由平面圖形運動引起的”，從而開啟了學(xué)生的視野，進一步發(fā)揮了學(xué)生的個性和創(chuàng)新能力，領(lǐng)悟了圖形世界的奇妙，調(diào)動了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值.利用圖形的運動探索認識和證明圖形的某些特性，從而促進了學(xué)生對探索圖形特性的濃厚興趣，讓學(xué)生體會到探索圖形特性可以有不同的途徑.

片段五：

課件出示：

師：這條小魚的面積是多大呢？

讓學(xué)生討論、合作：同桌對折后的兩個半條小魚圖可拼成一個長方形 .

課件動態(tài)演示：水平方向把小魚圖平分，把下面半條小魚圖旋轉(zhuǎn)，再以水平方向為對稱軸，將下半部分翻折上去，最后平移.

師：現(xiàn)在你們會求這條魚的面積了嗎？

生20：把魚轉(zhuǎn)化成了長方形，長方形的面積就是魚的面積.

師：通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱這些圖形的運動巧妙地把不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形，小魚圖的面積和轉(zhuǎn)化后長方形的面積是一樣大的.

出示：

師：其實軸對稱圖形只是所有對稱圖形中的一種，那么除了軸對稱圖形還有哪些呢？你看，平行四邊形（出示），它是對稱圖形嗎？

生21：不是軸對稱圖形.

生22：是中心對稱圖形.

師：對，我們繞著中心點旋轉(zhuǎn)180°，它是不是重合了？（課件動態(tài)演示）

這就是中心對稱圖形.

師：長方形是軸對稱圖形，還是中心對稱圖形？仔細看.（課件動態(tài)演示）

小結(jié)：看來對稱圖形還有很多，軸對稱圖形只是其中的一種.

師：如果把這個長方形沿著長（或?qū)挘┬D(zhuǎn)一周，又會是怎樣的圖形呢？你又有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：……

一種概念的產(chǎn)生，是指學(xué)生將現(xiàn)有經(jīng)驗活化后更新的產(chǎn)物.就軸對稱圖形的概念來說，采用“翻折”這種經(jīng)驗展開教學(xué)活動，不但有助于學(xué)生了解圖形運動的實質(zhì)，同時也促進了學(xué)生空間想象能力的發(fā)展，更主要的是可以改變學(xué)生的思考方法，即用運動的眼光認識空間圖形、探究幾何圖形問題.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.