陳玉蓮 謝徽 令狐泓

摘 要：CPFS結(jié)構(gòu)理論是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的理論，能有效地幫助學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識體系.研究以“直線與平面垂直的判定”為例，將此結(jié)構(gòu)理論應(yīng)用于教學(xué)中，以幫助學(xué)生更清晰地理解線面垂直的判定定理.

關(guān)鍵詞：CPFS結(jié)構(gòu)理論；直線與平面垂直；教學(xué)設(shè)計

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的頒布，使得新教材的排版順序發(fā)生了很大的變化.“直線與平面垂直的判定”在原人教版中位于必修二第二章的第三節(jié)，而在新教材中位于人教A版第八章第六節(jié)，同時，新教材還增加了“直線與直線垂直”的內(nèi)容.“直線與直線垂直”雖然簡單，但線線垂直是線面垂直的基礎(chǔ)，增加的這部分內(nèi)容能起到很好的過渡作用，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基石.而這部分是高考的必考內(nèi)容，且會以一個大題的形式出現(xiàn)，所以學(xué)好這一部分能夠明顯提高學(xué)生的得分率.由于這部分內(nèi)容屬于空間幾何，有一定的難度，需要學(xué)生具備良好的空間想象能力、抽象能力、邏輯推理能力等，只有具備這些能力才能更好地梳理命題所需的條件，因此，教師在教學(xué)時要注意幫助學(xué)生理解概念、命題的本質(zhì)含義，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識脈絡(luò).

1 CPFS結(jié)構(gòu)理論概述

南師大的喻平教授在他的博士論文《數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模式及教學(xué)理論研究》中提出的CPFS結(jié)構(gòu)理論，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的結(jié)構(gòu)理論.理論由四部分組成，分別是：概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）［1-2］.概念A(yù)的所有等價概念，組成了概念A(yù)的概念域，如橢圓的三種定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動點(diǎn)的軌跡叫做橢圓［3］平面內(nèi)到定點(diǎn)F（c，0）的距離和到定直線l：x=a2c（F不在l上）的距離之比為常數(shù)ca的點(diǎn)的軌跡是橢圓在坐標(biāo)軸內(nèi)，到兩定點(diǎn)（a，0），（-a，0）的斜率乘積等于常數(shù)m（-1＜m＜0）的點(diǎn)的軌跡是橢圓（去掉了四個頂點(diǎn)的橢圓），這一組等價定義就是橢圓的概念域.而橢圓也可以看作是圓往一定方向壓縮或拉伸一定比例得到的圖形，即橢圓和圓的概念之間具有一定的關(guān)系，橢圓和圓的概念就可以組成一個概念系.同樣的，所有的等價命題構(gòu)成的圖式就叫做命題域，而有著相關(guān)關(guān)系的命題域可以構(gòu)成一個命題系.概念和命題是數(shù)學(xué)知識體系的基本構(gòu)成元素，而每個學(xué)生腦內(nèi)的概念和命題都不是單一存在的，它們之間有著概念、命題體系，共同組成了CPFS結(jié)構(gòu)，每個學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)都異于別人，促進(jìn)學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的形成，有助于提高學(xué)生的思辨能力與空間想象能力.

2 CPFS結(jié)構(gòu)理論下“直線與平面垂直的判定”的教學(xué)設(shè)計

2.1 教材分析

“直線與平面垂直的判定”是高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊第八章第六節(jié)第二課時的內(nèi)容，是空間中直線與平面的另一特殊位置關(guān)系，也是后續(xù)面面垂直、建立空間坐標(biāo)等知識的基礎(chǔ)，在教學(xué)中有著承上啟下的作用.在課程標(biāo)準(zhǔn)中，對本節(jié)課的要求是學(xué)生能用具體的數(shù)學(xué)語言表達(dá)垂直的性質(zhì)以及判定，并能對某些結(jié)論進(jìn)行論證，建立空間觀念［4］.在實(shí)際教學(xué)時，教師不需要證明這個定理，但要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過探究活動得出定理的具體內(nèi)容.

2.2 學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段就已經(jīng)學(xué)習(xí)過線線垂直了，知道線線垂直的判定定理，同時因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)，對線面垂直有直觀的感受.但學(xué)生的抽象能力與空間想象能力較弱，因此在教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生通過生活中的例子抽象出線面垂直的圖形表示.另外，由于本章屬于空間立體幾何部分，所以教師要善于利用信息技術(shù)展示線面垂直的空間模型.

2.3 教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：通過生活中的經(jīng)驗(yàn)以及學(xué)習(xí)過的線面平行能夠抽象出線面垂直的幾何模型.再通過旗桿影子的例子得出線面垂直的定義，最后由折紙活動歸納出線面垂直的判定定理，并能簡單地應(yīng)用定理.

過程與方法：運(yùn)用啟發(fā)、引導(dǎo)的教學(xué)方式，使得學(xué)生在探索線面垂直的過程中，抽象能力與空間想象能力得到進(jìn)一步的提升.

情感態(tài)度與價值觀：通過觀察旗桿與影子的位置關(guān)系和折紙活動能有效提高學(xué)生的觀察能力、動手能力，同時，激發(fā)出學(xué)生的好奇心，提高他們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

2.4 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解線面垂直的判定定理，并能簡單地應(yīng)用此定理.

難點(diǎn)：探究、歸納出直線與平面垂直的判定定理［5］，體會定理中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

2.5 教學(xué)過程

2.5.1 復(fù)習(xí)引入

問題1：前面學(xué)習(xí)了直線與直線平行，接著學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定，然后又學(xué)習(xí)了直線與直線垂直，那大家思考一下接下來應(yīng)該學(xué)習(xí)什么呢？

問題2：大家能不能根據(jù)自身的生活經(jīng)驗(yàn)，舉出一些直線與平面垂直的例子呢？

生：人直立于地面，旗桿垂直于地面，橋墩與水面垂直……

【設(shè)計意圖】學(xué)生能類比線面平行的學(xué)習(xí)順序，推出今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容為線面垂直的判定.而線面垂直的例子在生活中隨處可見，讓學(xué)生自己舉例，既鍛煉了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力，又讓學(xué)生直觀感受了生活中的直線與平面垂直的模型，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.5.2 數(shù)學(xué)抽象

問題3：你能根據(jù)前面舉的例子，在草稿紙上畫出直線與平面垂直的模型圖嗎？

【設(shè)計意圖】根據(jù)線面平行的模型圖，學(xué)生能夠很容易畫出線面垂直的模型圖.這一步是為了將生活中的例子用數(shù)學(xué)符號表示出來，既鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，又為學(xué)生形成CPFS結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).

2.5.3 探索新知

探究活動一：定義辨析

師：如圖，在陽光下，已知旗桿AB直立于地面，且能看到其影子BC.影子BC隨著時間的變化而不斷發(fā)生改變，那么，旗桿所在的直線AB與影子BC處于何種位置關(guān)系？

生：無論什么時候，旗桿AB都會和它的影子BC垂直.

師：這也就是說，旗桿AB會和平面內(nèi)所有過B點(diǎn)的直線垂直.那平面內(nèi)不過B點(diǎn)的直線呢？旗桿AB會和它們垂直嗎？

生：會，因?yàn)槠矫鎯?nèi)所有不過B點(diǎn)的直線都可以移動到過B點(diǎn).

師：所以旗桿AB與平面內(nèi)的所有直線是怎樣的位置關(guān)系呢？

生：AB和平面內(nèi)的直線都垂直.

師：根據(jù)我們的探究，當(dāng)一條直線與某一平面內(nèi)的所有直線都垂直時，稱這條直線與該平面垂直［6］，這就是直線與平面垂直的定義.

【設(shè)計意圖】通過對旗桿與影子位置關(guān)系的探索，可以很容易地得出直線與平面垂直的定義.

問題4：直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，“所有”一詞的意思等同于“任意”“全部”“每一條”“無數(shù)”嗎？

師：在這個定義中，“所有”一詞是什么意思呢？這個詞能換成“任意”“全部”“每一條”“無數(shù)”這些詞嗎？

生：“所有”指的是全部、每一條，應(yīng)該可以換的吧？

師：沒錯，直線垂直于平面內(nèi)的所有直線就是指直線與平面內(nèi)的全部、每一條直線都垂直，也就是說，平面內(nèi)的隨便一條直線都與該直線垂直.

生：“所有”一詞還可以換成“任意”一詞.

師：對！現(xiàn)在還剩“無數(shù)”一詞，它又是什么意思？

生：無窮多的意思.

師：直線與平面內(nèi)的無窮多直線都垂直，能不能保證是與平面內(nèi)的所有直線垂直？

生：不能，“所有”不能換成“無數(shù)”.

【設(shè)計意圖】學(xué)生能理解直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，再讓學(xué)生辨析“所有”一詞與“任意”“全部”“每一條”“無數(shù)”這幾個詞的區(qū)別與聯(lián)系，知道“所有”不等同于“無數(shù)”，進(jìn)而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)矛盾的地方——無法找到平面內(nèi)的所有直線，使得它們與已知直線垂直，為接下來的探索做好準(zhǔn)備.

問題5：那應(yīng)該怎樣判斷一條直線與平面垂直呢？你能從線面平行中得到什么啟發(fā)？

【設(shè)計意圖】因?yàn)闊o法直觀判斷直線是否與平面內(nèi)的所有直線都垂直，所以需要探索直線最少和平面內(nèi)的幾條直線垂直時能推出線面垂直，而學(xué)生能從線面平行的條件中得到啟發(fā)，猜測直線與平面中的一條直線垂直，就可得出線面垂直.

探究活動二：定理推斷

師：當(dāng)直線只和平面內(nèi)的一條直線垂直時，能否證明該直線與這個平面垂直？如果不能，你能舉一個反例嗎？

學(xué)生能用自己的筆和桌面擺一個簡單的模型，很容易發(fā)現(xiàn)這并不能推出線面垂直.

師：既然只垂直于平面內(nèi)的一條直線不能推出線面垂直，那垂直于平面內(nèi)的兩條直線可以推出來嗎？平面內(nèi)的兩條直線是任意位置關(guān)系都可以嗎？

平面內(nèi)的直線有平行和相交兩種位置關(guān)系，根據(jù)前面的探索，直線只有與平面中的兩條相交直線垂直時，才有可能和平面垂直.

師：如圖，在三角形紙片△ABC中，先將紙片△ABC過頂點(diǎn)A進(jìn)行翻折，得到折痕AD，讓翻折的紙片直立于桌面上（其中BD、CD與桌面接觸）.（1） 折痕AD與桌面處于何種位置關(guān)系？（2） 怎樣翻折得到的折痕AD才能與桌面呈垂直關(guān)系？為什么［5］？

【設(shè)計意圖】通過這個折紙活動，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)折痕AD與BD、DC都垂直，即AD為BC邊上的高時，AD才會垂直于桌面.即直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線時，直線與平面垂直.學(xué)生自己探索出結(jié)論，既鍛煉了學(xué)生的操作能力，又能讓學(xué)生體會到得出結(jié)論的喜悅.

問題6：為什么直線只需要垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線就可以得出線面垂直？

生：因?yàn)槠矫鎯?nèi)的任意一條直線都可以由這兩條相交的直線表示.

【設(shè)計意圖】這一問題復(fù)習(xí)了向量的知識點(diǎn)，任一向量都能由同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量表示.通過這個問題解決了線面垂直的定義所帶來的矛盾，即不能找完平面內(nèi)的所有直線，使得它們與已知直線垂直.

問題7：你能試著將直線與平面垂直的判定定理用正確的數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)出來嗎？

生：線面垂直的判定定理為：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直［7］.符號表示為：

∵a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n=A，∴a⊥α.

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過探究活動能說出線面垂直的判定定理，又因?yàn)樗麄円呀?jīng)學(xué)習(xí)過了線面平行的符號語言，所以參考線面平行的符號表示，解讀線面垂直的判定定理，能夠得出線面垂直判定定理的符號表示.

2.5.4 簡單應(yīng)用

（1） 證明：已知a∥b，如果直線a垂直于平面α，那么直線b也垂直于平面α.你能畫出圖形并用兩種或以上的方法證明嗎？

（2） 如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，且SD⊥平面ABCD，證明：AC⊥平面SDB.

（3） 如圖，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？

【設(shè)計意圖】這三個例題難度遞增，第一題考查學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言的能力；第二題是線面垂直的簡單應(yīng)用；第三題難度較大，考查了線面垂直的逆應(yīng)用.這三道題目不僅考查了學(xué)生對線面垂直判定定理的應(yīng)用，也考查了學(xué)生的抽象能力、發(fā)散思維，還強(qiáng)化了以往知識與線面垂直之間的聯(lián)系，有利于構(gòu)建學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu).

3 總結(jié)

3.1 厘清CPFS結(jié)構(gòu)的四個要素，幫助學(xué)生形成完善的CPFS結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)理論體系結(jié)構(gòu)完整，知識板塊之間都有著或強(qiáng)或弱的相關(guān)關(guān)系，而講授新的知識會用到以往學(xué)過的知識，教師就要首先找到概念與概念、命題與命題之間的聯(lián)系，將知識串聯(lián)起來，以一個體系的方式教授給學(xué)生.學(xué)生接收到的知識是完整且有聯(lián)系的，這樣才能更好地形成完善的CPFS結(jié)構(gòu).比如在線面垂直的判定定理教學(xué)中，教師關(guān)聯(lián)了線面平行、線線垂直、向量等相關(guān)知識，把新知識與舊知識聯(lián)系起來，學(xué)生不僅更容易接受新知識，而且更能在自己的頭腦中將所有的知識都理成一條線，清晰地構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系.

3.2 教學(xué)要抽絲剝繭，引導(dǎo)學(xué)生自己得出結(jié)論

教學(xué)不是將知識灌輸給學(xué)生，讓學(xué)生記住結(jié)論就行，而是應(yīng)該讓他們知其然，更知其所以然.因此在教學(xué)時，教師要根據(jù)學(xué)生的具體情況，運(yùn)用啟發(fā)誘導(dǎo)的方式，靈活地創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生自己得出結(jié)論.在本節(jié)課中，教師首先調(diào)動學(xué)生自身的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己舉出生活中的例子，再讓學(xué)生仿照線面平行抽象出線面垂直的模型圖.學(xué)生經(jīng)過旗桿影子的探究活動，自己總結(jié)出線面垂直的定義，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)無法找到平面內(nèi)的所有直線使得它們與已知直線垂直，所以需要尋找其它的辦法，再由教師引導(dǎo)著學(xué)生探索最少需要幾條直線與已知直線垂直，最后通過探究活動二由學(xué)生自己總結(jié)出定理.在整個過程中，教師始終發(fā)揮引導(dǎo)的作用，利用一個個巧妙的問題指引學(xué)生自己得出結(jié)論.

3.3 尊重學(xué)生主體地位，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成

學(xué)生在課堂上占主體地位，教學(xué)要以學(xué)生為中心.教師不能忽視學(xué)生的現(xiàn)實(shí)情況自講自聽，而是要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和實(shí)時反應(yīng)及時調(diào)整自己的教學(xué)策略.若發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生在哪一塊知識上接受度較低，就著重細(xì)化這一塊知識.教學(xué)該有的過程必須要有，比如在本節(jié)課中，讓學(xué)生抽象出線面垂直的模型就能很好地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等素養(yǎng).學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一朝一夕就能養(yǎng)成的，只有尊重了學(xué)生的主體地位，才能在日積月累的培養(yǎng)中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

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