金玉明

摘 要：跨學(xué)科聯(lián)席教學(xué)打破學(xué)科壁壘，讓學(xué)生在真實(shí)場景中有意識地綜合運(yùn)用知識、技術(shù)、技能、工具等解決問題的學(xué)習(xí)方式.本文立足于跨學(xué)科教學(xué)理念，從高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》學(xué)習(xí)出發(fā)，描述跨學(xué)科聯(lián)席視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐路徑，以期通過多學(xué)科知識交叉融合與實(shí)踐活動方案設(shè)計(jì)，從知識培養(yǎng)轉(zhuǎn)向跨學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)，讓學(xué)生在面對復(fù)雜問題時進(jìn)行多角度觀察、思考、驗(yàn)證，開闊數(shù)學(xué)視野，理解事物本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)能力，擴(kuò)展數(shù)學(xué)領(lǐng)域與認(rèn)知，增強(qiáng)探究精神、創(chuàng)新思維、解決問題能力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；跨學(xué)科聯(lián)席；核心素養(yǎng)

跨學(xué)科聯(lián)席目標(biāo)是突破學(xué)科邊界，讓學(xué)生在調(diào)查研究、合作交流、動手實(shí)踐、自主探索、獨(dú)立思考等環(huán)節(jié)中學(xué)會運(yùn)用多學(xué)科知識創(chuàng)造性地提出解決方案.三角函數(shù)在物理、工程等方面有廣泛用途，在實(shí)際應(yīng)用中它既是定義物理量的依據(jù)，也是解決生活問題的工具.教師在數(shù)學(xué)視角下，開展跨學(xué)科教學(xué)，為學(xué)生提供多類型資源供給和服務(wù)支持，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活、客觀事物與數(shù)學(xué)問題，擴(kuò)大學(xué)生思考范圍，使學(xué)生在自主合作學(xué)習(xí)中，抽象概括出三角函數(shù)的概念屬性，加深知識理解與運(yùn)用.教師在教學(xué)中要把握學(xué)科間的關(guān)聯(lián)，把抽象問題形象化、具體化、生活化，將數(shù)學(xué)知識在情境中“用起來、活起來、聯(lián)起來”，增強(qiáng)課程的綜合性和實(shí)踐性，讓學(xué)生在觀察、思考、猜想、驗(yàn)證中關(guān)聯(lián)生活經(jīng)驗(yàn)與多學(xué)科知識，對問題表征進(jìn)行描述，進(jìn)行深入的思考、判斷、分析、探索，逐步形成理性思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.

1 自主提煉要點(diǎn)，梳理數(shù)據(jù)信息

跨學(xué)科課程要以學(xué)生認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)設(shè)計(jì)任務(wù)背景，使學(xué)生能在有推理，有思考的趣味環(huán)境氛圍中，以積極主動的思維自主發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)一步用邏輯思維和多學(xué)科知識、技能，對數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算、推理與抽象.教師要強(qiáng)調(diào)多學(xué)科知識、技能和現(xiàn)實(shí)生活的整體功能，引導(dǎo)學(xué)生解決問題時進(jìn)行縝密周詳?shù)姆治雠c推理，理解數(shù)學(xué)知識的必要性、科學(xué)性、合理性.

例如，簡諧運(yùn)動三個特征量是：振幅、初相、頻率，教師在教學(xué)三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)時，可結(jié)合基本的機(jī)械振動、聲波和電流，學(xué)生在任務(wù)場景：用平面鏡、金屬桶、激光筆、氣球膜、橡皮圈、音叉、橡膠錘子設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)“制作一個音樂鐘擺計(jì)時器”，學(xué)生結(jié)合幾個量的物理意義提取知識要點(diǎn)，自主觀察和探究實(shí)驗(yàn)過程，在動手實(shí)踐和深入觀察中通過三角函數(shù)圖像各種變換，體驗(yàn)由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜的探究過程和思想方法，提高探索能力、科學(xué)態(tài)度和鉆研精神.

學(xué)習(xí)初始，教師不妨提出問題：請學(xué)生說一說聲音的產(chǎn)生、傳播形式，聲音的頻率、音色、聲調(diào).然后播放動聽的“鐘擺音樂”將聲波、單擺運(yùn)動與三角函數(shù)圖象聯(lián)系起來，增強(qiáng)知識的整體性和聯(lián)系性.學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生自主對單擺擺動時位移與時間關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)，或觀察聲波、電流隨時間變化圖像，結(jié)合三角函數(shù)分析、描述.

教師在教學(xué)中目標(biāo)明確，用物理知識引出函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）圖像.由學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)，讓他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識研究y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像變換，自主畫出y＝2sinx，x∈R，y＝?sinx，x∈R的簡圖（在［0，2π］上的圖像）概括參數(shù)ω對y＝Asin（ωx+φ）圖像影響規(guī)律，感受三角函數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用.

跨學(xué)科學(xué)習(xí)意味著改變與創(chuàng)造，既要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算分析、邏輯推理的綜合培養(yǎng)，也要培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，為理解而學(xué)，為學(xué)科知識而學(xué)，使學(xué)生運(yùn)用多學(xué)科方法、理論，對需要解決問題的路徑進(jìn)行探索的過程了解函數(shù)實(shí)際意義，增強(qiáng)理解力和創(chuàng)造力，領(lǐng)會三角函數(shù)的重要性.

在研究y＝Asin（ωx+φ）圖像變換時，結(jié)合簡諧運(yùn)動來模擬生活場景，利用已有知識、技能假設(shè)、質(zhì)疑、構(gòu)想、設(shè)計(jì)、改進(jìn)、解釋問題，用“五點(diǎn)法”作出y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像，研究三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，總結(jié)A，ω，φ，這幾個參數(shù)對函數(shù)圖像變化的影響，了解函數(shù)y＝sinx圖像與y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖像之間的變換關(guān)系.讓學(xué)生在解決問題過程中正確使用工具、軟件，記錄數(shù)據(jù)、結(jié)果，合理分析，提升數(shù)學(xué)能力和使用工具能力，加深對三角函數(shù)的解析式、初相、頻率、振幅深刻理解，明白y＝Asinx（A＞0，A≠1），y＝sinωx（ω＞0，ω≠1），y＝sin（x+φ）這三個函數(shù)與函數(shù)y＝sinx之間關(guān)系，自主梳理總結(jié)函數(shù)y＝2sin13x-16圖像與y＝sinx圖像關(guān)系，對數(shù)學(xué)方法、思想和所學(xué)知識進(jìn)行總結(jié)、概括，提升學(xué)習(xí)能力.

2 層層遞進(jìn)解答，深入思考驗(yàn)證

跨學(xué)科強(qiáng)調(diào)個人在學(xué)習(xí)中能利用兩個或多個學(xué)科的知識、理論、信息、方法，提出可行的解決方案，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度理解.教師在跨學(xué)科教學(xué)中要把綜合知識與問題解決融為一體，推進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用意識與實(shí)踐能力的培養(yǎng)，支持學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí).

一節(jié)課成功與否，關(guān)鍵看內(nèi)容設(shè)計(jì)是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知層次，教師所設(shè)計(jì)問題要關(guān)注開發(fā)學(xué)生思維潛力，關(guān)注學(xué)生能力發(fā)展，把課堂真正的還給學(xué)生.教師一方面要體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，另一方面要以建議者、指導(dǎo)者的身份，輔助學(xué)生自己動手獲取學(xué)科知識，讓學(xué)生在實(shí)際動手的操作體驗(yàn)中自主歸納、類比、探究證據(jù)，掌握和學(xué)習(xí)三角函數(shù)的概念.

例如，機(jī)械波的波動規(guī)律滿足三角函數(shù)關(guān)系.教師設(shè)計(jì)一個物理問題，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)知識求出：“質(zhì)點(diǎn)位移隨時間變化的關(guān)系式？”和“簡諧波的波速、波長、周期？”.在介質(zhì)中一列簡諧橫波沿x軸正向傳播，波長不小于10cm，介質(zhì)中平衡位置為O和A，O和A位于x＝0和x＝5cm處的兩個質(zhì)點(diǎn).觀測t＝0時質(zhì)點(diǎn)O的位移為y＝4cm，質(zhì)點(diǎn)A處于波峰位，在t＝13s時，質(zhì)點(diǎn)O第一次回到平衡位置.A點(diǎn)在t＝0s時，位于波峰位置，A點(diǎn)在t＝1s時，第一次回到平衡位置.可知：T4＝1s，解得T＝4s，O點(diǎn)在t＝13s時，第一次到平衡位置，A點(diǎn)在t＝1s時，第一次到達(dá)平衡位置，從O點(diǎn)傳到A點(diǎn)，波用時23s，傳播距離x＝5cm，波速v＝xt＝7.5cm/s.波長λ＝vT＝30cm.組織學(xué)生進(jìn)行的獨(dú)立思考、判斷、論證和分辨，讓學(xué)生在物理知識的聯(lián)系中感受數(shù)學(xué)價(jià)值和作用.

在解決“質(zhì)點(diǎn)位移隨時間變化的關(guān)系式？”這一問題時，設(shè)質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時間變化關(guān)系為y＝Asin2πTt+φ，結(jié)合問題條件代入上式得4＝Asinφ，0＝Asinπ6+φ，從而得φ＝5π6，A＝8cm，質(zhì)點(diǎn)O位移隨時間變化關(guān)系式為y＝8sinπt2+5π6cm.

問題：“求解質(zhì)點(diǎn)的位移隨時間變化的關(guān)系式.”學(xué)生在思考過程中，可把物理問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解析式問題進(jìn)行解答，如果學(xué)生把物理觀點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，就容易解決問題了.因此，教師要結(jié)合高中生的思維特點(diǎn)和認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)問題，讓抽象的數(shù)學(xué)知識更富有挑戰(zhàn)性、遞進(jìn)性，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考習(xí)慣，使學(xué)生在生動、活躍的氛圍中，形成良好習(xí)慣與態(tài)度，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維去探究問題、解決問題，深化對數(shù)學(xué)知識概念的領(lǐng)悟和理解.當(dāng)學(xué)生遇到難題困境時，教師要引導(dǎo)轉(zhuǎn)變學(xué)生的解題思路，組織學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論與質(zhì)疑，自己讀圖，發(fā)現(xiàn)波動規(guī)律滿足三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)波動圖像找到相關(guān)的物理量，抽象出數(shù)學(xué)概念和變化規(guī)律，懂得運(yùn)用數(shù)學(xué)思維看待問題，借助數(shù)學(xué)語言表達(dá)思考過程，解決實(shí)際問題.

3 拓寬文化學(xué)習(xí)，形塑積極心態(tài)

跨學(xué)科學(xué)習(xí)目的是改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在學(xué)科學(xué)習(xí)中能借助多學(xué)科的工具來解決問題，塑造積極主動的學(xué)習(xí)形態(tài).所以，教師在課堂要拓寬數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和運(yùn)用領(lǐng)域，注重跨學(xué)科知識的理解與運(yùn)用，讓學(xué)生在問題討論和資料查閱中，產(chǎn)生積極探尋的意愿，并用實(shí)際行動、思維，把零散的知識點(diǎn)建構(gòu)成知識體系，收獲知識、經(jīng)驗(yàn)、觀點(diǎn)、感悟.

例如，三角學(xué)源于天文運(yùn)算和測量，泰斯勒為了測量金字塔高度，由相似比產(chǎn)生了三角函數(shù).教師在教學(xué)關(guān)于“兩角和與差的余弦公式”的知識點(diǎn)時，可把數(shù)學(xué)文化融入進(jìn)來，組織學(xué)生依靠所掌握的知識、技能繪制“正弦表”，進(jìn)一步推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式.在繪圖計(jì)算過程中，有的學(xué)生采用歸納推理方法得cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ.先算出1°的正弦余弦，在加α+β與兩個單角α，β，可讓弦表制作變得更加簡單.有的學(xué)生在繪圖過程中將幾個角放到兩個三角形，利用面積相等，得到了兩角和的正弦公式：（asinα+bsinβ）acosα＝basin（α+β），acosα＝bcosβ，化簡得，asinαbcosβ+bsinβacosα＝absin（α+β）即sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，再進(jìn)一步通過誘導(dǎo)公式，可得到余弦相關(guān)公式.跨學(xué)科知識要讓學(xué)生思考“如何利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識”，解釋和具體現(xiàn)象、問題，讓學(xué)生在實(shí)際運(yùn)算中，發(fā)揮創(chuàng)新意識和發(fā)散思維，從多角度思考問題，創(chuàng)造性探索出問題的最優(yōu)解決方案.

對于學(xué)生個體而言，三角函數(shù)高度抽象，又脫離實(shí)際，學(xué)生在傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)很難體會到三角函數(shù)廣泛應(yīng)用.教師既要設(shè)置豐富有趣的背景文化知識，也要鼓勵學(xué)生親自動手去“做”，始終以學(xué)生為中心展開推理、判斷、分析等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在實(shí)踐探索中內(nèi)化知識積累.

4 反思問題評述，組織討論辯析

學(xué)生的學(xué)習(xí)力、記憶力、理解力、創(chuàng)新力與知識信息聯(lián)系的數(shù)量成正比，教師在教學(xué)活動中應(yīng)基于數(shù)學(xué)知識學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生的發(fā)展需要，設(shè)計(jì)反思解析環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)、討論、辨析、分析、反思錯誤”，讓學(xué)生在互助、啟發(fā)、協(xié)作、糾錯中，不斷展示自己解題思路、解題方法，感悟數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、理性精神意志，加深數(shù)學(xué)概念理解，提高分析、解決問題，歸納、總結(jié)等數(shù)學(xué)能力.

例如，在跨學(xué)科學(xué)習(xí)中，涉及求函數(shù)y＝3sinπ4-2x的單調(diào)區(qū)間，學(xué)生在解題時，常把π4-2x看作整體，結(jié)合正弦函數(shù)y＝sinx的單調(diào)性，導(dǎo)致錯誤解答問題.

正確解答：求函數(shù)y＝3sinπ4-2x的單調(diào)區(qū)間.解：y＝3sinπ4-2x＝-3sin2x-π4，所求單調(diào)增區(qū)間2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2，即kπ+3π8，kπ+7π8，事實(shí)上y＝3sinπ4-2x是一個復(fù)合函數(shù)，可看作y＝3sinu和u＝π4-2x兩個函數(shù)的復(fù)合，學(xué)生在解決問題時，經(jīng)常會忽視復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，即符合函數(shù)單調(diào)性的同增異減原則，以此出現(xiàn)錯誤.

教師在這一環(huán)節(jié)要引導(dǎo)學(xué)生反思、糾正自己的錯誤，引領(lǐng)他們在有價(jià)值、有意義的活動中反復(fù)探討運(yùn)算思路，再次確定運(yùn)算方向，并在持續(xù)的判斷分析中掌握正確的解題方法，使每一位學(xué)生的能力都能得到充分發(fā)展，掌握三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間、最值、周期、值域與三角函數(shù)性質(zhì)相關(guān)問題，讓學(xué)生在錯誤原因分析中增強(qiáng)劃歸意識提高思維的批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

教師在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時要圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，要主動聽取學(xué)生的意見，聯(lián)系社會、生活、文化重構(gòu)學(xué)習(xí)主題，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識的定向細(xì)化.高中階段學(xué)生擁有較強(qiáng)的自主意識和一定的知識儲備，教師要綜合科學(xué)與工程、藝術(shù)等相關(guān)元素，讓學(xué)生在包含數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯的實(shí)踐探索體驗(yàn)中持續(xù)內(nèi)化思考，通過自己調(diào)整，辨別問題的本質(zhì)，加深知識概念理解.

而反思評價(jià)環(huán)節(jié)是要診斷學(xué)生問題，讓學(xué)生能基于內(nèi)在情感需求，結(jié)合自身的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和知識技能，不斷去踐行和創(chuàng)造，自主討論、分析、思考“為什么要做？為什么這么做？還能怎么做？”讓學(xué)生綜合已有的知識、經(jīng)驗(yàn)相互支撐，獨(dú)立完成公式推導(dǎo)過程，發(fā)現(xiàn)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念知識的深層次的理解性學(xué)習(xí).同時，教師也要發(fā)揮好指導(dǎo)者的作用，針對學(xué)生存在的不足及時調(diào)整方法，鼓勵學(xué)生自主審題，分析解題的條件和錯誤原因，使學(xué)生能從不同的角度，探究運(yùn)算的方向和思路，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)習(xí)得多方面的知識，合理選擇相應(yīng)的運(yùn)算方法，提高數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新精神.

總之，教師在跨學(xué)科視角下，要注重對學(xué)生的創(chuàng)造能力、數(shù)學(xué)情感、數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生像探索者一樣獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題，設(shè)計(jì)解決問題的方案.支持他們在多學(xué)科知識間的銜接中建立已有經(jīng)驗(yàn)和新經(jīng)驗(yàn)之間聯(lián)系，用數(shù)學(xué)的方式思考問題，增進(jìn)學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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