師三分

摘 要：初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，不論是分式，還是一元二次的方程，其相關(guān)運(yùn)算都與因式分解有著密切關(guān)聯(lián).而十字相乘法更多是對(duì)二次三項(xiàng)的式子實(shí)施分解因式，還可以將其運(yùn)用于一元二次方程、二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、二次不等式等求解中.由此可知，十字相乘法對(duì)于因式分解的問題解決有著顯著幫助.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；因式分解；十字相乘法；運(yùn)用思路

十字相乘法是對(duì)多項(xiàng)式實(shí)施因式分解的重要方法，其在中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)運(yùn)算過程中通常有著重要作用.不論是初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，還是高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，因式分解都有著重要作用.部分試題中所提及的提公因式法以及公式法通常都無法實(shí)施分解因式，但是，通過十字相乘法實(shí)施因式分解，不僅有助于學(xué)生自身的思維拓展，而且還能使學(xué)生更便利地解決相關(guān)數(shù)學(xué)習(xí)題，從而使學(xué)生實(shí)現(xiàn)高效解題.

1 十字相乘法及其在因式分解中的作用

1.1 十字相乘法概述

十字相乘法是通過畫出十字交叉線進(jìn)行系數(shù)分解，以此對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解的方法.如圖1所示，十字的左邊兩因數(shù)相乘與常數(shù)項(xiàng)相等，交叉相乘得出的結(jié)果進(jìn)行相加，得出一次項(xiàng)系數(shù)，此時(shí)，二次三項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的積.

若二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，就能先將負(fù)號(hào)提到括號(hào)外，將二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)變成正數(shù)，接著再實(shí)施因式分解；若二次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，可分兩種情況探討：情況1，二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式x²+bx+c，即把常數(shù)項(xiàng)c拆分為兩個(gè)因數(shù)，即c₁與c₂，讓這兩個(gè)因數(shù)的乘積結(jié)果正好是常數(shù)c，且c₁與c₂二者的和則是一次項(xiàng)系數(shù)b.情況2，二次項(xiàng)的系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式子ax²+bx+c，也就是將二次項(xiàng)系數(shù)a與常數(shù)c分別拆為兩個(gè)因數(shù)，即a₁與a₂、c₁與c₂，其中，a₁與a₂的乘積為a，c₁與c₂的乘積為c，且a₁和c₁或c₂當(dāng)中的任一個(gè)進(jìn)行相乘得出的積加剩余的因數(shù)相乘得出的積正好與一次項(xiàng)的系數(shù)b相等.

1.2 十字相乘法在因式分解中的作用

數(shù)學(xué)教材中因式分解的方法通常有兩種，也就是提公因式法與公式法，就提公因式法來說，其通常屬于多項(xiàng)式的因式進(jìn)行分解時(shí)最為常用的方法，但不論是提公因式法，還是公式法，都有著較大局限性.其更多適合部分多項(xiàng)式，如x²-4x+4可通過平方公式分解成（x-2）²，但有些式子僅通過教材中的方法是無法分解出來的.例如，分解因式x²-3x+2，通過上述兩種方法是無法分解的，而運(yùn)用十字相乘法，則能對(duì)式子進(jìn)行輕易分解，將其分解為（x-2）（x-1）.

2 以“十字相乘法”進(jìn)行因式分解

2.1 二項(xiàng)式的平方差

2.1.1 一項(xiàng)是字母平方，一項(xiàng)是數(shù)字平方

例1 分解因式x²-9.

解析：如圖2，十字中的左邊x和x相乘得到的結(jié)果是多項(xiàng)式第一項(xiàng)x²，右邊-3和3相乘得到的結(jié)果則是多項(xiàng)式第二項(xiàng)-9.因此，x²-9=（x-3）（x+3）.

2.1.2 兩項(xiàng)都是字母的平方

例2 分解因式x²-y².

解析：如圖3，十字的左邊為x和x，相乘得到的結(jié)果是多項(xiàng)式第一項(xiàng)x²，右邊-y和y相乘得到的結(jié)果則是多項(xiàng)式第二項(xiàng)-y².因此，x²-y²=（x-y）（x+y）.

2.1.3 兩項(xiàng)都是數(shù)字和字母的平方

例3 分解因式（9x）²-（4y）².

解析：如圖4，十字的左邊為3x和3x，相乘得到的結(jié)果是多項(xiàng)式第一項(xiàng)9x²，右邊-2y和2y相乘得到的結(jié)果則是多項(xiàng)式第二項(xiàng)-4y².因此，（9x）²-（4y）²=（3x-2y）（3x+2y）.

2.2 三項(xiàng)式因式分解

2.2.1 三項(xiàng)可形成完全平方

例4 分解因式x²+6x+9.

解析：如圖5，雖然該因式是完全平方的一個(gè)式子，但通過十字相乘法也能夠有效分解，也就是分解二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng).十字的左邊為x和x，相乘得到的結(jié)果是多項(xiàng)式第一項(xiàng)x²，右邊3和3相乘得到的結(jié)果則是多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)9，每條直線的兩式子的乘積和是6x.因此，x²+6x+9=（x+3）（x-3）=（x+3）².同理，如果一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，就能把常數(shù)分為兩個(gè)負(fù)的乘積.

2.2.2 三項(xiàng)包含二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)為1

例5 分解因式x²-6x+8.

解析：如圖6，本因式主要是對(duì)二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分解.十字的左邊為x和x，相乘得到的結(jié)果是多項(xiàng)式第一項(xiàng)x²，右邊-2和-4相乘得到的結(jié)果則是多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)8，每條直線的兩式子的乘積和是-6x.因此，x²-6x+8=（x-2）（x-4），常數(shù)分解的兩個(gè)數(shù)的正負(fù)是由一次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)所決定的.

2.2.3 三項(xiàng)包含二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)并非1

例6 分解因式2x²-3x+1.

解析：如圖7，本因式主要是對(duì)二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分解.十字的左邊為2x和x，相乘得到的結(jié)果是多項(xiàng)式第一項(xiàng)2x²，右邊-1和-1相乘得到的結(jié)果則是多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)1，每條直線的兩式子的乘積和是-3x.因此，2x²-3x+1=（2x-1）（x-1），一次項(xiàng)系數(shù)是由二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)所確定的.

2.2.4 三項(xiàng)都是二次項(xiàng)

例7 分解因式3x²+5xy+2y².

解析：如圖8，本因式主要是對(duì)x和y的平方項(xiàng)進(jìn)行分解.十字的左邊為3x和x，相乘得到的結(jié)果是多項(xiàng)式第一項(xiàng)3x²，右邊2y和y相乘得到的結(jié)果則是多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)2y²，每條直線的兩式子的乘積和是5xy.因此，3x²+5xy+2y²=（3x+2y）（x+y）.

2.3 多項(xiàng)式因式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f分解

例8 分解因式3x²+5xy-2y²+x+9y-4.

解析：將多項(xiàng)式看作為xy的二次式，依據(jù)降冪，將式子整理成（3x²+5xy-2y²）+（x+9y）-4，再對(duì)前3項(xiàng)進(jìn)行十字相乘，將十字相乘法的右邊畫為十字，將常數(shù)分解為2個(gè)因數(shù)，以此使2個(gè)因數(shù)位于第2個(gè)十字中的交叉乘積的和等于3x²+5xy-2y²+x+9y-4當(dāng)中包含y的一次項(xiàng)系數(shù)，同時(shí)，和第1個(gè)十字左邊的兩個(gè)因數(shù)交叉的乘積和等于3x²+5xy-2y²+x+9y-4當(dāng)中包含x的一次項(xiàng)系數(shù)，列出雙十字相乘的圖，如圖9，3x²+5xy-2y²+x+9y-4=（3x-y+4）（x+2y-1）.

2.4 多項(xiàng)式因式ax²+bxy+cy²+dxz+eyz+fz²分解

例9 分解因式2x²+5xy-3y²+xz+10yz-3z².

解析：依據(jù)十字列出雙十字相乘的圖，詳見圖10：

依據(jù)圖10進(jìn)行系數(shù)驗(yàn)證：

x²：2×1=2；

xy：2×3+1×（-1）=5；

y²：-1×3=-3；

xz：2×（-1）+1×3=1；

yz：-1×（-1）+3×3=10；

z²：3×（-1）=-3.

那么，2x²+5xy-3y²+xz+10yz-3z²=（2x-y+3z）（x+3y-z）.

3 結(jié)束語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)的因式分解中運(yùn)用十字相乘法，既能實(shí)現(xiàn)解題速度的加快，又能實(shí)現(xiàn)解題準(zhǔn)確率的提高，從而使分式與一元二次方程在進(jìn)行分解及相關(guān)問題解答時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)問題的清晰化與簡(jiǎn)單化，并實(shí)現(xiàn)高效解題.