樓倩

摘 要：推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)基本的思維方式.初中階段的推理按類型分為幾何推理和代數(shù)推理.很多初中數(shù)學(xué)教師注重幾何推理，而忽視代數(shù)推理，從而導(dǎo)致在教學(xué)過程中缺少對(duì)學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng).為后面更長(zhǎng)遠(yuǎn)的學(xué)習(xí)帶來阻礙，也無(wú)法提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文從代數(shù)推理的現(xiàn)狀、推理之間的關(guān)系及代數(shù)推理能力的培養(yǎng)策略三部分進(jìn)行探析.

關(guān)鍵詞：代數(shù)推理；初中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)

新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，發(fā)展學(xué)生的推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)需要在不同階段有意識(shí)地蘊(yùn)涵滲透、循序漸進(jìn)的過程.初中階段，教師在幾何教學(xué)中都很注重學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，主要是由于以圖形為載體的幾何推理，形象直觀，符合初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).而在代數(shù)教學(xué)中，注重的只有“數(shù)學(xué)運(yùn)算”這個(gè)核心素養(yǎng)，代數(shù)推理側(cè)重于“數(shù)與代數(shù)”中的運(yùn)算、變形、性質(zhì)等內(nèi)容，比較抽象，經(jīng)常被忽視.事實(shí)上，代數(shù)推理更能反映學(xué)生邏輯思維能力的層次，而且在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)學(xué)生代數(shù)推理能力的要求較高.因此，在初中階段培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力是一個(gè)重要的任務(wù).

1 代數(shù)推理的現(xiàn)狀

1.1 推理意識(shí)的“弱化”

初中階段的代數(shù)推理知識(shí)集中體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”中的數(shù)與式、方程、不等式、函數(shù)等方面，這些內(nèi)容并沒有像幾何推理那樣專門設(shè)置“證明”的章節(jié)，而是分散在各冊(cè)教材中.所以如果教師沒有有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，在教學(xué)過程中弱化代數(shù)推理過程，學(xué)生便不會(huì)有意識(shí)地發(fā)現(xiàn)在初中階段的學(xué)習(xí)過程中其實(shí)都蘊(yùn)涵著代數(shù)推理，進(jìn)而學(xué)生的代數(shù)推理能力的培養(yǎng)就很難加強(qiáng).

從上表可以看出，內(nèi)容分布在七年級(jí)、八年級(jí)及九年級(jí)上冊(cè).隨著年級(jí)的提高，代數(shù)推理知識(shí)的內(nèi)容所占的比重呈現(xiàn)下降趨勢(shì).但相應(yīng)內(nèi)容在抽象程度上的要求卻呈現(xiàn)上升趨勢(shì).從代數(shù)推理能力培養(yǎng)的角度來看，可以發(fā)現(xiàn)教材編排意圖是蘊(yùn)涵滲透逐級(jí)遞增.這就需要初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中有意識(shí)地去培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力.不能讓學(xué)生學(xué)完初中數(shù)學(xué)，還不知道什么是代數(shù)推理.

1.2 數(shù)形結(jié)合“偏于形”

不同學(xué)段有不同的知識(shí)儲(chǔ)備、身心發(fā)展和經(jīng)驗(yàn)積累.很多初中數(shù)學(xué)教師認(rèn)為代數(shù)推理初中生難以理解，是屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)范圍.初中生只要將幾何推理學(xué)好就行.而高中數(shù)學(xué)教師認(rèn)為初中階段對(duì)學(xué)生的代數(shù)推理滲透較少，導(dǎo)致學(xué)生的代數(shù)推理能力較弱，使得初高中代數(shù)推理銜接不良.

這其實(shí)都是片面的認(rèn)識(shí).事實(shí)上，初中階段，學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維過渡的階段，他們的認(rèn)知能力正處于由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)發(fā)展的階段.他們已具備一定的抽象思維能力，可以感悟推理的邏輯性.要做好初高中代數(shù)推理的銜接的教學(xué)，作為初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分認(rèn)識(shí)代數(shù)推理對(duì)發(fā)展學(xué)生思維、推理等能力及提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價(jià)值，有意識(shí)地在教學(xué)過程中滲透代數(shù)推理.

1.3 簡(jiǎn)略運(yùn)算“取代”推理過程

運(yùn)算的應(yīng)用環(huán)節(jié)是代數(shù)學(xué)習(xí)中十分重要的環(huán)節(jié)，也是代數(shù)演繹推理過程的主要體現(xiàn)形式.但初中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生并未感受到完整的演繹推理過程.究其原因，一方面是由于師生大多將運(yùn)算過程簡(jiǎn)單地等同于代入公式或利用法則運(yùn)算，并沒有把其視為演繹推理的過程.另一方面是由于教材設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施過程中，幾乎都采用了簡(jiǎn)化的過程，代數(shù)推理的過程展開不夠.而且教材中很少有例習(xí)題專門訓(xùn)練或考查學(xué)生的推理能力，這樣師生就很難體會(huì)到其中的演繹推理過程.

2 代數(shù)推理

2.1 代數(shù)推理與推理的關(guān)系

代數(shù)推理是推理的一種類型，初中代數(shù)推理是將代數(shù)式（或關(guān)系）變形為特定的目標(biāo)結(jié)構(gòu)（或關(guān)系），或用代數(shù)方法證明（或說理）.從知識(shí)上說，代數(shù)推理“涵蓋初中數(shù)學(xué)中代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容，有時(shí)還涉及圖形與證明問題”；從策略方法上說，有轉(zhuǎn)化、模型、特殊到一般、類比、歸納、演繹、消元、降次、整體等.

代數(shù)推理是從條件出發(fā)，由代數(shù)定義、代數(shù)公式、運(yùn)算法則和運(yùn)算律得到結(jié)論（特定的目標(biāo)結(jié)構(gòu)或關(guān)系）的一種交形與轉(zhuǎn)化.因此，代數(shù)推理符合一般推理的特點(diǎn).代數(shù)推理也分兩種方式，一種是從特殊到一般的歸納推理，另一種是從一般到特殊的演繹推理.一個(gè)嚴(yán)格的推理過程，一般應(yīng)包括從合情推理到演繹推理的全過程.從歸納、類比得到相關(guān)法則、規(guī)律之后，要進(jìn)行較為嚴(yán)格的演繹推理.要讓學(xué)生感受到這一完整的推理體驗(yàn)，豐富學(xué)生對(duì)于代數(shù)推理的經(jīng)驗(yàn).并引導(dǎo)學(xué)生開展相關(guān)的推理活動(dòng).

2.2 代數(shù)推理與幾何推理的關(guān)系

代數(shù)推理與幾何推理都具有歸納和演繹的特點(diǎn)，都有邏輯性、形式化特征.代數(shù)推理側(cè)重“數(shù)”與“式”的變形與轉(zhuǎn)化，具有一定的抽象性；幾何推理側(cè)重于圖形的位置與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，具有一定的直觀性.在一定條件下代數(shù)推理與幾何推理可以互相轉(zhuǎn)化，幾何推理的方法可以運(yùn)用于代數(shù)推理，“數(shù)”或“式”的問題可以轉(zhuǎn)化為“形”的問題，“形”的問題可轉(zhuǎn)化為“數(shù)”或“式”的問題.初中階段很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取和認(rèn)識(shí)是通過圖象獲得的，例如函數(shù)單元.如果能夠通過代數(shù)推理讓學(xué)生以數(shù)推形，理解數(shù)與形的一致性，不僅發(fā)展代數(shù)推理能力，還有助于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)理解更加全面、立體，達(dá)到真正的“數(shù)形結(jié)合”.教會(huì)學(xué)生有效推理，使不同層次的學(xué)生獲得不同層次的發(fā)展.

2.3 代數(shù)推理與代數(shù)運(yùn)算的關(guān)系

代數(shù)運(yùn)算的目標(biāo)是“最簡(jiǎn)”，根據(jù)公式和運(yùn)算法則進(jìn)行的演算活動(dòng).代數(shù)推理以代數(shù)運(yùn)算為基礎(chǔ)，既具有推理的特征，也具有運(yùn)算的特征.從某種意義說，代數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上也是演繹推理.代數(shù)演繹推理過程是三段論的推理模式，即大前提，小前提，小結(jié)論.大前提一般是指推理的依據(jù)的原理、公理、定理等.如果所有的代數(shù)運(yùn)算中都完整地展示，過程較為拖沓，師生難免厭煩，而且算式也不連貫，所以教材做了簡(jiǎn)化.隨著學(xué)習(xí)的深入，大前提已經(jīng)完全掌握，要求學(xué)生每次都要寫，難免會(huì)產(chǎn)生厭煩情緒，而且易于形成思維的阻礙，因此將大前提放在括號(hào)中，為后續(xù)刪減提供了便利.等學(xué)生熟悉之后，不再作出此類要求.這樣做，不僅減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，而且可以將重心放在幫助學(xué)生理解和盡快熟悉新學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)上.讓學(xué)生充分感受到代數(shù)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成學(xué)生言之有據(jù)的習(xí)慣.

3 代數(shù)推理能力培養(yǎng)策略

3.1 推理過程外顯完整化

3.1.1 演繹推理完整化

要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和探索熱情，就要求教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，回歸學(xué)生的認(rèn)知，回到數(shù)學(xué)的知識(shí)本位.關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入程度與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與整體性，對(duì)學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)尤為重要.

在浙教版七上《2.3有理數(shù)的乘法》這節(jié)由“位于三峽白鶴梁的用做水位測(cè)量標(biāo)志的線刻石魚”的實(shí)際情境導(dǎo)入，學(xué)生很順利能夠完成“兩個(gè)正數(shù)相乘”和“一正一負(fù)相乘”的情況.但學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法法則時(shí)最大的難點(diǎn)在于“兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘”的情況.實(shí)際上，“負(fù)負(fù)得正”并非緣于現(xiàn)實(shí)情境，所以繼續(xù)用實(shí)際情境提問就不符合實(shí)際情況，學(xué)生難以理解.教師這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演繹推理，提出將負(fù)數(shù)拆成兩個(gè)正數(shù)相減的方式，滿足分配律推理可以得到結(jié)果.然后總結(jié)兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的規(guī)律.從特殊到一般，這樣的引導(dǎo)是建立在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)上，幫助學(xué)生建立了新知識(shí)與已有知識(shí)的自然聯(lián)系，教學(xué)效果明顯優(yōu)于現(xiàn)實(shí)情境的直接導(dǎo)入所有內(nèi)容.演繹推理的深入引入給出了充分的探析過程，讓學(xué)生充分開展演繹推理活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力.

3.1.2 加強(qiáng)合情推理與演繹推理的融合

在教材設(shè)計(jì)的運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律、公式的探究環(huán)節(jié)中，大部分都是合情推理.而一個(gè)嚴(yán)格的推理過程，一般應(yīng)包括從合情到演繹的全過程.但在實(shí)際教學(xué)過程中，教師往往在歸納、類比得到有關(guān)法則、規(guī)律之后便沒有進(jìn)行較為嚴(yán)格的演繹推理.因此很多法則、規(guī)律及公式的探究?jī)H僅停留在合情推理的層面.例如在浙教版八下《1.2二次根式的性質(zhì)（2）》中學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)時(shí)，教材設(shè)計(jì)以下問題：

下面我們繼續(xù)探索二次根式的性質(zhì).

填空（可用計(jì)算器計(jì)算）：

先讓學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算四組具體數(shù)的運(yùn)算，然后讓學(xué)生猜想規(guī)律，這是一個(gè)合情推理的過程.但教材沒有再進(jìn)行后續(xù)的演繹推理.實(shí)際上這個(gè)二次根式性質(zhì)的證明可以根據(jù)算術(shù)平方根的概念和記法給出證明.這樣就能實(shí)現(xiàn)合情推理到演繹推理的完整過程.當(dāng)然，這是在學(xué)生學(xué)有余力的情況下，讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)閉環(huán)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.讓學(xué)生對(duì)于代數(shù)推理有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，而非只停留在合情推理，更有利于培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理的能力.即使有時(shí)學(xué)生能力不允許進(jìn)行嚴(yán)格證明，也可以通過舉例或?qū)ζ渌R(shí)的適度類比等方式對(duì)合情推理的結(jié)論予以進(jìn)一步解釋，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

3.2 加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合

3.2.1 化“形”為“數(shù)與式”

代數(shù)推理可以運(yùn)用幾何推理的方法，“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”與“式”的問題.代數(shù)推理側(cè)重“數(shù)”與“式”的轉(zhuǎn)化，具有一定的抽象性.教學(xué)中應(yīng)關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)推理達(dá)到真正的“數(shù)形結(jié)合”.

教材基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，沒有相關(guān)的例題做示范來刻意發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力.考慮到“人人都獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一理念.教師可以對(duì)教材中的內(nèi)容做適度拓展，讓能力較強(qiáng)的學(xué)生得到提升.在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)后，可以讓學(xué)生繼續(xù)通過代數(shù)推理的方法研究二次函數(shù)的形狀、對(duì)稱性、增減性和最值等性質(zhì).提出二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，為什么不是一條直線.讓學(xué)生嘗試說明理由，如果學(xué)生覺得困難，提醒學(xué)生從最特殊、最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x²開始進(jìn)行說理.學(xué)生第一反應(yīng)就是畫圖，在函數(shù)圖象上取三個(gè)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)這三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上.提醒學(xué)生這還是從“形”的角度觀察發(fā)現(xiàn)的，能不能從“數(shù)”的角度進(jìn)行說理.學(xué)生想到可以三個(gè)點(diǎn)中取兩個(gè)點(diǎn)求出直線解析式，發(fā)現(xiàn)兩條直線不一樣，說明三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上.學(xué)生經(jīng)過多種方法從“數(shù)”的角度進(jìn)行思考解決說理，理解了函數(shù)圖象與函數(shù)關(guān)系式的聯(lián)系，從而更加深刻地理解函數(shù)的基本性質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的代數(shù)推理能力.

3.2.2 化“數(shù)與式”為“形”

代數(shù)推理的抽象性決定了其教學(xué)的困難性.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境和教學(xué)活動(dòng)，將代數(shù)問題通過圖形直觀加深理解.

在浙教版七下《3.3多項(xiàng)式的乘法》中，學(xué)生學(xué)習(xí)多項(xiàng)式相乘的法則時(shí)，先創(chuàng)設(shè)問題情境，一間廚房的平面布局如圖，我們可以用下面幾種方法表示廚房的總面積？

說明多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘出于解決實(shí)際問題的需要，并說明法則的合理性.通過用不同方法計(jì)算同一矩形的面積，所得結(jié)果相同，（a+n）（b+m）=a（b+m）+n（b+m）=m（a+n）+b（a+n）=ab+am+bn+mn.這樣的結(jié)論通過圖形直觀加以解釋，然后用分配律來進(jìn)行代數(shù)推理得到結(jié)果，加深學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式相乘法則的理解.

3.3 在運(yùn)算中夯實(shí)代數(shù)推理之基

3.3.1 恢復(fù)被簡(jiǎn)化的演繹推理過程

代數(shù)領(lǐng)域中的演繹推理主要體現(xiàn)在運(yùn)算的應(yīng)用環(huán)節(jié)，但實(shí)際上在學(xué)習(xí)過程中師生并未感受到其中豐富的演繹推理.由于教材設(shè)計(jì)和教學(xué)推理過程中，運(yùn)算過程全部被簡(jiǎn)化，所以大部分師生將運(yùn)算過程簡(jiǎn)單地等同于代入公式或利用法則進(jìn)行運(yùn)算，并沒有把它視為演繹推理的過程.教師需要把這些被簡(jiǎn)化的推理過程恢復(fù)，讓學(xué)生充分感悟代數(shù)推理.

在浙教版《等式的基本性質(zhì)》中解一元一次方程教材例題分析5x=50+4x.教材解答：方程兩邊都減去4x，得5x-4x=50+4x-4x，合并同類項(xiàng)，得x=50.這個(gè)求解過程體現(xiàn)演繹推理，即大前提是等式的基本性質(zhì)，小前提是5x=50+4x是一個(gè)等式；結(jié)論是在等式5x=50+4x的兩邊都減去4x，5x-4x與50+4x-4x仍然相等，得到5x-4x=50+4x-4x.但是像這樣表述略顯啰嗦，所以教材呈現(xiàn)的是簡(jiǎn)化后的形式.教材把大前提（依據(jù)）寫在小括號(hào)里跟在每步過程的后面其實(shí)就是強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理都是步步有據(jù).等到后面熟練后可以改為常態(tài)形式，不用再寫大前提（見圖）.外顯推理過程，讓推理的過程看得見，讓學(xué)生充分感受到代數(shù)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力.

3.3.2 自我糾錯(cuò)思辨，理清代數(shù)推理依據(jù)

為了讓學(xué)生理清代數(shù)推理的依據(jù)，我們可以利用學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)中的一些典型錯(cuò)題，對(duì)這些錯(cuò)題進(jìn)行分析思辨，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生的代數(shù)推理能力.例如浙教版七下《第五章分式的加減》這一節(jié)教材中有一道作業(yè)題，先化簡(jiǎn)，再求值：x²x-1+11-x，其中x=-32.有學(xué)生第一步就是同乘以（x-1），去分母化成整式進(jìn)行運(yùn)算.這個(gè)錯(cuò)誤就是學(xué)生把分式化簡(jiǎn)與等式變形兩種類型的題目搞混了.通過糾錯(cuò)思辨使學(xué)生明白分式化簡(jiǎn)的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，而等式變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì).在這樣糾錯(cuò)的活動(dòng)中理清代數(shù)推理的依據(jù)，提高代數(shù)推理的能力.

總之，在初中階段加強(qiáng)代數(shù)推理能力是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必然要求.作為教師最重要的是給學(xué)生種下代數(shù)推理的種子，讓其自然萌發(fā)，為學(xué)生在今后的代數(shù)推理能力的發(fā)展上打下基礎(chǔ).培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力，不僅需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期螺旋式滲透教學(xué)，更需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)充滿熱情，勇于去感悟和嘗試.通過數(shù)學(xué)教育能讓學(xué)生獲得核心素養(yǎng)，就是我們的終極目標(biāo).

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