摘 要：在新時(shí)代的教育改革中，學(xué)校要注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、思維邏輯和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，要深化學(xué)生核心素養(yǎng)能力的發(fā)展，就必須從學(xué)科的內(nèi)核中挖掘教學(xué)途徑與落實(shí)方式.從分類思想的角度來(lái)看待初中數(shù)學(xué)，能夠給予教師更多元化的教學(xué)思路，有利于教師將數(shù)學(xué)思想與教學(xué)內(nèi)容相互滲透與融合，挖掘課堂教學(xué)的深度.

關(guān)鍵詞：分類思想；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)運(yùn)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）05-0005-03

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開思維邏輯的運(yùn)用，因?yàn)樵谒伎?、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，需要學(xué)會(huì)將一個(gè)大問(wèn)題分解成若干個(gè)小問(wèn)題，并選擇最為簡(jiǎn)潔的步驟和路徑進(jìn)行解決.這種總結(jié)、分類能力不僅要求學(xué)生對(duì)不同體系的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)要有一個(gè)準(zhǔn)確且清晰地把控，更要做到不重復(fù)、不遺漏.可以說(shuō)，對(duì)學(xué)生分類思想的訓(xùn)練能夠幫助他們形成更為直觀、實(shí)用的數(shù)學(xué)思維，以提高初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 初中數(shù)學(xué)中分類思想種類概述

1.1 基本概念引申的分類

很多數(shù)學(xué)概念都源自于分類理念，通過(guò)分類進(jìn)行概念區(qū)分.因此教師在講述概念含義的過(guò)程中，可以從分類思想的角度出發(fā)，幫助學(xué)生區(qū)分不同概念之間的差異與聯(lián)系，形成更為立體、直觀的概念認(rèn)知，比如“有理數(shù)”與“無(wú)理數(shù)”，“因數(shù)”與“質(zhì)數(shù)”等.

尤其是在學(xué)習(xí)幾何概念時(shí)，將方位空間概念與分類思想結(jié)合，能夠幫助學(xué)生形成更為立體化的幾何概念，將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái).比如何為“外角”“內(nèi)角”“外角和”“內(nèi)角和”？如何在多邊形中進(jìn)行合理地幾何劃分和計(jì)算？等等，都可以讓學(xué)生通過(guò)分類來(lái)更加清晰地認(rèn)知和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，根據(jù)自變量的取值范圍，可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式的分類，區(qū)分不同函數(shù)的求解方式等等.可以說(shuō)，分類思想是幫助學(xué)生了解、理解概念的一個(gè)重要方式.

1.2 法則性質(zhì)引申的分類

法則與性質(zhì)類的數(shù)學(xué)概念一般需要學(xué)生通過(guò)計(jì)算或推理來(lái)實(shí)現(xiàn).在推理和論證的過(guò)程中，教師可以讓學(xué)生嘗試用“分類”的方法來(lái)整理思路.比如論證“可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的都是有理數(shù)”“過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”“同位角相等，兩直線平行”等等，這些性質(zhì)的論證過(guò)程是學(xué)生鍛煉自我批判思維和探究能力的過(guò)程.只有不斷嘗試不同的方向、思路，才能真正脫離既有結(jié)論和思維定式，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯方面的能力鍛煉和成長(zhǎng).

2 分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 結(jié)合教材內(nèi)容，融合分類思想

新課改教材中融合了很多探究性的教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合生活實(shí)踐給予學(xué)生理論知識(shí)之外的思維引導(dǎo).比如通過(guò)跨海大橋結(jié)構(gòu)來(lái)探究全等三角形的穩(wěn)固性，通過(guò)紫禁城來(lái)認(rèn)知軸對(duì)稱圖形等等.可以說(shuō)從教材出發(fā)進(jìn)行分類思想的教學(xué)，不僅能夠幫助學(xué)生更加清晰地總結(jié)、歸納教材中的內(nèi)容，更將理論知識(shí)與實(shí)踐體驗(yàn)進(jìn)行了細(xì)化和內(nèi)化，將所學(xué)真正融入到自己的思維邏輯架構(gòu)中去.特別是在對(duì)概念性內(nèi)容進(jìn)行講解時(shí)，從分類概念出發(fā)而進(jìn)行的概念認(rèn)知能夠讓學(xué)生系統(tǒng)性地建立知識(shí)架構(gòu)，形成更為完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

比如在學(xué)生最初接觸三角形時(shí)，教師可以給出一組多條線段交疊的幾何畫面，讓學(xué)生從圖片中尋找出盡量多的三角形，并給這些三角形進(jìn)行分類.如果給出其中一個(gè)或幾個(gè)角的度數(shù)，推算出盡量多的角度等等，讓學(xué)生通過(guò)自我探尋發(fā)現(xiàn)三角形的種類、特性.在此基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合教材總結(jié)：三角形分為三邊都不相等的三角形和有兩邊相等的三角形，后者又分為等邊三角形和底邊和腰不相等的等腰三角形.教師提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形的定理、性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意對(duì)比不同類三角形的特性，以此培養(yǎng)學(xué)生隨時(shí)復(fù)核、對(duì)比的思維習(xí)慣，起到溫故知新、推陳出新的教學(xué)效果.

2.2 利用課堂探究，細(xì)化分類思想

利用分類思想進(jìn)行課堂教學(xué)，有利于引導(dǎo)學(xué)生自主探究，培養(yǎng)發(fā)散思維.在教學(xué)中，教師要從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，結(jié)合素質(zhì)教育的分層概念，給予全體學(xué)生均衡的可探究?jī)?nèi)容.從思想觀念角度來(lái)講，分類思想講求系統(tǒng)性和素材的累積，雖然并不能通過(guò)一兩節(jié)課達(dá)到明顯的教學(xué)效果，但卻能夠在日積月累中培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和學(xué)科素養(yǎng)，特別是在自主探究能力和意識(shí)培養(yǎng)方面，起到了舉足輕重的作用.就像驅(qū)策一群小羊進(jìn)入到特定的區(qū)域“進(jìn)食”一樣，利用分類思想來(lái)細(xì)化課堂教學(xué)，就如同給學(xué)生劃分了不同的去往“草場(chǎng)”的道路，讓學(xué)生自己選擇最適合的那條路前往目的地，盡量發(fā)揮學(xué)生自己的選擇權(quán)和支配權(quán)，貼合初中生正處于“叛逆”心理高發(fā)期的客觀情況，給予學(xué)生感受、拒絕、選擇的權(quán)利，往往會(huì)取得比被動(dòng)驅(qū)策更好的教學(xué)效果.

比如在學(xué)習(xí)“有理數(shù)”這一概念時(shí)，教師可以從“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”的分類價(jià)值入手，讓學(xué)生理解這個(gè)概念.比如給出“整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”這句話，讓學(xué)生思考哪些數(shù)不包括在這個(gè)分類里，0.05算不算？0.3無(wú)限循環(huán)算不算？π算不算？學(xué)生在思考的過(guò)程中會(huì)進(jìn)入到很多誤區(qū)，比如將無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)都劃歸到無(wú)理數(shù)中，或者將“π”這個(gè)看似固定的值劃歸到有理數(shù)中.教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類時(shí)，要引入“一切可以換算為分?jǐn)?shù)的數(shù)都是有理數(shù)”這種思路，讓學(xué)生更加清晰地認(rèn)識(shí)到有理數(shù)的意義.比如對(duì)于一些無(wú)限循環(huán)小數(shù)，如3.142857142857……，這個(gè)看似沒(méi)有盡頭的數(shù)卻可以換算為分?jǐn)?shù)22/7的形式.通過(guò)這種思路來(lái)進(jìn)行分類，學(xué)生就能夠更加明確“有理數(shù)”的含義.

其實(shí)，在古代中國(guó)數(shù)學(xué)中，“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”是沒(méi)有進(jìn)行明確區(qū)分的，這兩者是在希臘哲學(xué)家們的研究中被區(qū)分開來(lái)的.可以說(shuō)對(duì)“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”的區(qū)分是一種較為“理論化”的數(shù)學(xué)概念研究形式，能夠幫助人們以更為理性的方式來(lái)看待“數(shù)”的分類，對(duì)學(xué)生分類思想的培養(yǎng)有著指導(dǎo)意義.教師可以將此思路進(jìn)行延伸，鼓勵(lì)學(xué)生尋找數(shù)字之間、題目之間，甚至圖形之間的內(nèi)在區(qū)分，建立自己的邏輯概念.比如通過(guò)分類東、西方數(shù)學(xué)知識(shí)的研究領(lǐng)域，理解數(shù)學(xué)文化背后的深刻歷史含義，加深對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)涵的認(rèn)知；通過(guò)分類幾何圖形在點(diǎn)、線、面等不同方面的概念，將幾何知識(shí)形成一個(gè)有總有分的整體，讓學(xué)生可以靈活提取、巧妙轉(zhuǎn)換，從而突破幾何困境.可以說(shuō)，將分類思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)課堂上，是以理性帶動(dòng)感性的過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)有條理的思維去發(fā)散自由的想象力和創(chuàng)造力，提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用能力.2.3 引導(dǎo)思維認(rèn)知，深化分類思想

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師將數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)依托于試題中，通過(guò)布置大量試題來(lái)鍛煉學(xué)生熟練應(yīng)對(duì)不同類型數(shù)學(xué)題目的能力.在“以一對(duì)多”的戰(zhàn)役中，難免會(huì)出現(xiàn)“打偏”的情況.素質(zhì)教育改革以來(lái)，教育部門推行“分層教學(xué)”，讓教師必須對(duì)不同層面的學(xué)生負(fù)責(zé)，從核心素養(yǎng)出發(fā)，尊重學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，讓學(xué)生能夠在“苦讀書”的時(shí)候有目標(biāo)、有方向，而不是一味地被驅(qū)趕著“跟上隊(duì)伍”，不看前方，只一味地盯著自己面前的一方天地.因此，從思維認(rèn)知的角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類思想的學(xué)習(xí)，是一種可行性較強(qiáng)的“個(gè)性化”課堂指導(dǎo)方向.從初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，學(xué)生在經(jīng)過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，基本具有了自己的學(xué)習(xí)思路，在迎接更為復(fù)雜的高階數(shù)學(xué)概念時(shí)，需要在原有框架的基礎(chǔ)上搭建更為復(fù)雜、立體的思維架構(gòu).

比如小學(xué)階段學(xué)習(xí)了數(shù)字與計(jì)算的聯(lián)系，將數(shù)字分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù).也學(xué)習(xí)了基本的平面幾何知識(shí)，將幾何分為正方形、圓形、三角形的面積計(jì)算以及柱狀體、圓錐體、立方體的體積計(jì)算等等.而到了初中，這些分類都將被重新劃分，之前的數(shù)字需要?jiǎng)澐殖觥坝欣頂?shù)”與“無(wú)理數(shù)”；之前的方程會(huì)在計(jì)算方面細(xì)化，包括多元方程中的合并同類項(xiàng)計(jì)算以及與概率、幾何、速率等應(yīng)用題相結(jié)合的方程計(jì)算等等，都需要學(xué)生將之前的認(rèn)知進(jìn)行重新地分類，這些都十分考驗(yàn)學(xué)生的邏輯思維能力.比如對(duì)于下列題目：“小紙盒的長(zhǎng)為a，寬為b，高是c，大紙盒的長(zhǎng)度是小紙盒的1.5倍，寬和高都是小紙盒的2倍，那么做大紙盒和小紙盒共需要多少平方厘米的料？而大紙盒又需要比小紙盒多用多少料呢？”對(duì)于這個(gè)題目的思考，就需要分為幾何體積計(jì)算和方程計(jì)算兩個(gè)部分，在列出基本的方程之后再進(jìn)行方程的換算，同時(shí)通過(guò)兩種紙箱的用料對(duì)比，也能夠?qū)⒎匠痰膿Q算與應(yīng)用題計(jì)算結(jié)合起來(lái).2.4 鼓勵(lì)實(shí)踐所學(xué)，落實(shí)分類思想

數(shù)學(xué)是一門源自生活的科學(xué)，也是一門用于生活的科學(xué)，它可以是與人們生活息息相關(guān)的小細(xì)節(jié)，也可以是國(guó)家基建與軍事國(guó)防力量的保證.研究數(shù)學(xué)分類就是從根本上理解數(shù)學(xué)存在的意義，讓學(xué)生抓得住重點(diǎn)，理解自己所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)究竟從何而來(lái)？為什么學(xué)？又有何用處？而在不同的分類中研究所學(xué)知識(shí)并與生活實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，能夠幫助學(xué)生更加真切地理解理論知識(shí)，同時(shí)形成更為牢固的理論知識(shí)基礎(chǔ).

以思維導(dǎo)圖的繪制為例，繪制思維導(dǎo)圖和整理錯(cuò)題集一樣，都是幫助學(xué)生回顧所學(xué)、內(nèi)化知識(shí)的重要過(guò)程，是將“學(xué)”與“思”結(jié)合起來(lái)的重要方式.但在這個(gè)過(guò)程中，如果學(xué)生只針對(duì)“錯(cuò)題”去反復(fù)記憶、反思，而不去結(jié)合新的思路進(jìn)行思考和拓展，就喪失了“思”的意義，變成了單純的經(jīng)驗(yàn)積累，最終原地踏步，無(wú)法獲得新的知識(shí)和更多的數(shù)學(xué)價(jià)值認(rèn)知.比如在學(xué)習(xí)《三角函數(shù)》這一章節(jié)時(shí)，思維導(dǎo)圖上就可以結(jié)合古人“以井口半徑推測(cè)水深”的案例來(lái)進(jìn)行實(shí)踐拓展.該案例是古人巧用勾股定理進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐的例子，在沒(méi)有精確測(cè)量?jī)x器的前提下，古人能夠運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)簡(jiǎn)化勞動(dòng)過(guò)程，這便是中華民族對(duì)數(shù)學(xué)思想活學(xué)活用的表現(xiàn).教師可以引導(dǎo)學(xué)生以此為啟發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)原理的分類總結(jié)，結(jié)合所學(xué)到的三角函數(shù)知識(shí)延伸該思路，思考在日常生活中三角函數(shù)還能有哪些應(yīng)用？又比如利用科學(xué)家測(cè)量“金字塔”高度的方式，來(lái)測(cè)量自己家所在樓層的高度等等.這些都能夠幫助學(xué)生豐富自己的“分類思維導(dǎo)圖”，形成一個(gè)個(gè)獨(dú)特的記憶點(diǎn)，為以后的學(xué)習(xí)提供延伸和發(fā)散的新思路.

我們的國(guó)家要實(shí)現(xiàn)數(shù)字技術(shù)的突破和創(chuàng)新，完成技術(shù)強(qiáng)國(guó)的中國(guó)夢(mèng)，絕對(duì)離不開數(shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)新性研究.因此，我國(guó)的數(shù)學(xué)教育更需要大力培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，營(yíng)造更為寬松、和諧的學(xué)術(shù)研究氛圍，讓更多學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想的寶貴、數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力和數(shù)學(xué)精神的內(nèi)核.從數(shù)學(xué)教學(xué)的整體來(lái)看，初中數(shù)學(xué)是重要的“打基礎(chǔ)”階段，這時(shí)的學(xué)生開始有意識(shí)地建立自己的數(shù)學(xué)邏輯架構(gòu).如果在這個(gè)階段讓學(xué)生錯(cuò)失分類、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)解題思考的能力，那么就會(huì)使得更多有資質(zhì)和天賦的學(xué)生喪失數(shù)學(xué)高階研究與創(chuàng)新的能力.因此，在這一階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想，是提高當(dāng)代學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的重要途徑，為未來(lái)社會(huì)培養(yǎng)創(chuàng)新人才打下了基礎(chǔ).

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［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-11-15

作者簡(jiǎn)介：陳新建（1976.1-），男，江蘇省通州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.