梁濃慶

摘 要：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要數(shù)學(xué)思想。為了讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考，文章主要從“以形輔數(shù)，以數(shù)解形，數(shù)形互變”三個方面來闡述數(shù)形結(jié)合思想方法在初中數(shù)學(xué)討論含絕對值的式子的最值、平面直角坐標(biāo)系及數(shù)與式的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“數(shù)缺形欠直觀，形缺數(shù)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形，數(shù)形互變”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合。下面筆者就談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

一、以形輔數(shù)，凸顯“圖解法”

一般來說，代數(shù)問題不依賴于幾何都是可以解決的，然而由于代數(shù)關(guān)系比較抽象，因此，若能結(jié)合問題將代數(shù)關(guān)系賦予幾何意義，那么往往就能借助直觀形象對問題做出透徹分析，從而探求出解決問題的途徑。許多應(yīng)用性問題的分析，如果有圖形輔助便可使隱含問題直觀化，如含絕對值式子的最值問題，函數(shù)應(yīng)用題等更需要圖解幫助，從而達到優(yōu)化解題的效果。

例1：求[x-7+x-8+x-9]的最小值。

在七年級上冊學(xué)習(xí)絕對值這部分內(nèi)容中，常常出現(xiàn)以上求含絕對值式子的最值問題，討論含絕對值式子的最值一般有兩種方法，一是根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，用零點分段法討論；二是根據(jù)絕對值的幾何意義，用數(shù)形結(jié)合法分析。

解法一：利用絕對值的代數(shù)意義，用零點分段法討論：

設(shè)[y=x-7+x-8+x-9]

①當(dāng)x≤7時

y＝7－x＋8－x＋9－x

＝-3x＋24

∵-3＜0

∴y隨x的增大而減小

∴此時，當(dāng)x＝7時，y有最小值，最小值為3。

②當(dāng)7＜x≤8時

y＝x－7＋8－x＋9－x

＝-x＋10

∵-1＜0

∴y隨x的增大而減小

∴此時，當(dāng)x＝8時，y有最小值，最小值為2。

③當(dāng)8≤x＜9時

y＝x－7＋x－8＋9－x

＝x－6

∵1＞0

∴y隨x的增大而增大

∴此時，當(dāng)x＝8時，y有最小值，最小值為2。

④當(dāng)x≥9時

y＝x－7＋x－8＋x－9

＝3x－24

∵3＞0

∴y隨x的增大而增大

∴此時，當(dāng)x＝9時，y有最小值，最小值為3。

綜上所述，當(dāng)x＝8時，y有最小值，最小值為2。

解法二：根據(jù)絕對值的幾何意義，用數(shù)形結(jié)合分析法：

[x-7+x-8+x-9]表示數(shù)軸上表示x的數(shù)所在的點到7和8及9的距離和，又因為兩點之間線段最短，所以表示x的點在數(shù)軸上表示8的位置。如圖：

即當(dāng)x＝8時，[x-7+x-8+x-9]的最小值為2。以上的解法一中，應(yīng)用絕對值的代數(shù)意義，將問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的單調(diào)性來解決，這對于初一的學(xué)生來說有相當(dāng)?shù)碾y度，但解法二中，利用絕對值的幾何意義的同時，再通過數(shù)形結(jié)合的思想，將問題轉(zhuǎn)化為我們的數(shù)學(xué)公理：兩點之間線段最短。顯然，解法二的求解來得簡單、直觀，學(xué)生更容易理解和接受。

本題解題借助圖形，通過“以形助數(shù)”方法，將形象思維與抽象思維相結(jié)合，借助于“形”的幾何直觀性來闡明“數(shù)”的大小關(guān)系，思維碰撞，更好地幫助學(xué)生理解題意，讓學(xué)生看圖便知道了答案。

用一種直觀而有效的策略、簡化易懂的方法，找到了問題的結(jié)論，學(xué)生耳目一新，激發(fā)了興趣，幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系。體驗“數(shù)形結(jié)合”在解決問題中的使用價值，讓學(xué)生清晰而明確認(rèn)識“數(shù)形結(jié)合”的妙處，感知數(shù)學(xué)思想之妙用。

二、以數(shù)解形，精化解題方法

在平面直角坐標(biāo)系這一部分，經(jīng)常會遇到一些探索規(guī)律題，在教學(xué)中圖形規(guī)律題的探索也是常見一種形式，遇到這一類問題，我們必須學(xué)會分析圖形位置序號與圖形本身的一種聯(lián)系，將幾何圖形變化情況進行數(shù)字化、代數(shù)化，這就是“以數(shù)解形”。

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點P（0，-2）處開始依次關(guān)于點A（-1，-1），B（1，2），C（2，1）對稱作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點P關(guān)于點A的對稱點M處，接著跳到點M關(guān)于點B的對稱點N處，第三次再跳到點N關(guān)于點C的對稱點處……如此下去，則經(jīng)過第2022次跳動后，棋子落點的坐標(biāo)為______。

本題是一道探究規(guī)律的題目，確定出點P跳動前三次的軌跡是解答本題的關(guān)鍵。根據(jù)對稱的性質(zhì)，利用中點坐標(biāo)的計算方法，先求出點M和點N的坐標(biāo)，進而得到棋子跳動3次后又回到了點P，從而得到點P的跳動每3次一個循環(huán)，用2022除以3，結(jié)合余數(shù)即可找出第2022次跳動后的位置為（0，-2）。

近年的中考壓軸填空題大多是探索幾何圖形（或幾何圖案）的數(shù)量關(guān)系，教師指導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)式表示幾何圖形（或幾何圖案）的數(shù)量關(guān)系，教師若注重了數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，會使學(xué)生很快領(lǐng)悟幾何圖形（或幾何圖案）的規(guī)律，從而找出其中的數(shù)量關(guān)系。

圖形規(guī)律探索題，重在考查學(xué)生的觀察、分析、歸納的能力，要使學(xué)生具備這些能力，需要教師在平常教學(xué)中多引導(dǎo)，懂得將圖形變化情況數(shù)字化，找到數(shù)字與序號間一種隱性關(guān)系，從而將一個在不斷變化中的幾何圖形代數(shù)化，達到精化解題目的。

三、數(shù)形互變，優(yōu)化解題方法

就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立又統(tǒng)一的特性，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并揭示隱含的數(shù)量關(guān)系。

數(shù)形結(jié)合的基本思想方法，就是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。

例3：試求[12+14+18+…+1210]的值。

分析：如果直接求出[12+14+18+…+1210]的值，對于初中學(xué)生來說還是非常難的。為了解決上面的問題，我們可以用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系同幾何圖形結(jié)合起來，最終解決問題。

如圖所示，用剪刀去剪這個正方形紙片，第一次剪去正方形紙片的一半，正方形剩余面積是[12]，第二次剪去剩余圖形的一半，得到的圖形面積是[14]，第三次剪去第二次剪剩的圖形的一半，得到的圖形面積是[18]，即每次剪去前一次剩余圖形面積的一半……那么當(dāng)?shù)?0次剪后得到的圖形面積是（[12]）10，把每次剪下來的圖形面積相加，即得到[12+14+18+…+1210=1-1210]。

總而言之，“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微?！边\用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題。通過數(shù)與形緊密結(jié)合，學(xué)生的思維完成從“形象”到“抽象”的歸納，從“抽象”到“形象”的反映。

數(shù)形結(jié)合既是重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本解題技能，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的紐帶，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)化。因此教師要注意積累有關(guān)的素材，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和應(yīng)用，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想方法的意識，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。

參考文獻：

［1］楊鋒潑.初中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的探究［J］.讀與寫（教育教學(xué)刊），2010（07）.

［2］羅洪信.在初中數(shù)學(xué)中蘊藏著的數(shù)形結(jié)合思想［J］.桂林市教育學(xué)院學(xué)報（綜合版），2001（02）.