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        優(yōu)化解題方法,培養(yǎng)理性思維

        2023-06-16 05:08:55陳國祥
        關(guān)鍵詞:理性思維一題多解解題方法

        陳國祥

        [摘? 要] 數(shù)學(xué)理性思維的發(fā)展是提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ),理性思維水平體現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維的靈活性、目標(biāo)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性等數(shù)學(xué)品質(zhì). 初中數(shù)學(xué)教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、提升學(xué)生的思維品質(zhì)為目標(biāo). 文章提出,通過一題多解的習(xí)題訓(xùn)練,比較不同的解題思路,優(yōu)化解題方法,能提升學(xué)生的思維能力.

        [關(guān)鍵詞] 一題多解;解題方法;理性思維;思維品質(zhì)

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是思維能力的培養(yǎng). 學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識,來提升思維能力,培養(yǎng)思維品質(zhì).一題多解的試題訓(xùn)練,不僅能鍛煉學(xué)生思維的靈活性,還能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

        本文選取了通過典型試題引導(dǎo)學(xué)生嘗試多種解法的教學(xué)實踐,與各位同行分享,供大家分析和研究.

        呈現(xiàn)典型試題

        如圖1所示,⊙O為△ABC的外接圓,∠CAB=30°,∠CBA=45°,過點C作CD⊥AB,垂足為D. 若⊙O的半徑為2,求CD的長.

        本題融合了圓與特殊直角三角形的相關(guān)知識,雖然比較簡單,但蘊含的知識豐富,解題方法多樣,是一道非常典型的一題多解試題,具有研究和探討的價值. 教學(xué)時教師可以引導(dǎo)學(xué)生開展問題探究,通過不同解法的比較,探討和優(yōu)化解題方法,使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的簡潔思維,提升思維能力,培養(yǎng)思維品質(zhì),落實核心素養(yǎng).

        探討多種解法

        解法1? 如圖2所示,連接CO并延長交⊙O于點E,連接AE,則可得∠E=∠B=45°. 因為CE是⊙O的直徑,所以∠CAE=90°. 又⊙O的半徑為2,所以AC=2. 因為∠CAB=30°,CD⊥AB,所以CD=AC=.

        解法說明? 解法1通過作輔助線,得到⊙O的一條直徑(即CE),并構(gòu)造了等腰直角三角形(即△CAE),于是運用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓的知識獲得了試題的答案.

        解法2? 如圖3所示,連接CO并延長,與⊙O相交于點E,連接BE,則∠E=∠A=30°. 因為CE為⊙O的直徑,所以∠CBE=90°. 所以BC=CE=2. 因為CD⊥AB,∠CBD=45°,所以CD=BC=.

        解法說明? 解法2的解題思路與解法1相同,都是通過構(gòu)造直角三角形來解題. 解法2通過作輔助線,構(gòu)造了含30°角的直角三角形,從而求得BC的長,接著在等腰直角三角形CDB中求得CD的長.

        解法3? 如圖4所示,連接OA,OC,則∠AOC=2∠B=90°. 又因為OA=OC=2,所以AC=2. 因為CD⊥AB,∠CAD=30°,所以CD=AC=.

        解法說明? 解法3通過連接OA,OC,構(gòu)造了等腰三角形AOC,并利用相同的弧所對的圓心角是圓周角的2倍,得到△AOC為等腰直角三角形,最后結(jié)合題干條件求解. 解法3同樣是添加輔助線,但與解法1和解法2相比,涉及的知識點更少,因此解題步驟更簡捷.

        解法4? 如圖5所示,連接OC,OB,則∠COB=2∠A=60°. 又OC=OB,所以△OCB為等邊三角形. 所以O(shè)C=BC=2. 因為CD⊥AB,∠CBD=45°,所以CD=BC=.

        解法說明? 解法4與解法3的思路和方法相同,但解法4利用學(xué)生最為熟悉的等邊三角形知識,且直接應(yīng)用了原題中的等腰直角三角形,因此解法4比解法3更加簡捷.

        合作探究

        引導(dǎo)學(xué)生探究出多種解題方法并不是教學(xué)的終點,教師還要在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將試題的不同解法進(jìn)行比較與研究,指導(dǎo)學(xué)生在尋求最優(yōu)解法的實踐體驗過程中實現(xiàn)思維的進(jìn)階,從一題多解過渡到一題優(yōu)解,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

        師:請大家以小組為單位,結(jié)合表1比較這四種解法的區(qū)別和聯(lián)系.

        第一小組:解法1和解法2具有相同的解題思路,都是通過添加輔助線構(gòu)造直徑,從而形成特殊的直角三角形后求解.

        第二小組:解法3和解法4的解題思路是相同的,都是連半徑,形成特殊的三角形后求解.

        第三小組:解法4在構(gòu)造三角形時選擇了等邊三角形,于是可以直接利用題干中已知的圓的半徑得到BC的長度為2,進(jìn)而通過原題中的等腰直角三角形BDC獲得答案.

        師:大家分析得非常好,經(jīng)過比較,我們發(fā)現(xiàn)解法4的解題過程最為簡捷,屬于最優(yōu)解法.

        教學(xué)啟示

        學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要對數(shù)學(xué)的本質(zhì)進(jìn)行探索和理解. 學(xué)會解決數(shù)學(xué)問題并不等同于解數(shù)學(xué)題,數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的本源問題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,使學(xué)生能夠從知識的源頭深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),不僅知其然,更知其所以然.

        1. 開展解題反思,比較不同解法

        解題練習(xí)不僅要關(guān)注如何獲得解題思路和答案,還要在解題后進(jìn)行反思,回顧解題的過程,思考解題過程中那些煩冗復(fù)雜的部分能否變得更加簡單,并嘗試將較為復(fù)雜的部分變得更為簡捷,試著通過直接的觀察就知道整個解題過程. 在學(xué)生獨立思考求解和開展多種解題方法交流的基礎(chǔ)上,教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧獲取解題思路的過程,梳理解題過程中添加的輔助線,并且總結(jié)在解題過程中運用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和解題活動經(jīng)驗,從而有效地比較不同解題方法之間的本質(zhì)區(qū)別. 這一過程旨在培養(yǎng)學(xué)生的深度思維,提升學(xué)生的思維能力.

        2. 加強思維鍛煉,引導(dǎo)探究學(xué)習(xí)

        教師要引導(dǎo)學(xué)生開展自主探究活動,按照學(xué)生的認(rèn)知水平將學(xué)生分成若干研究小組,指導(dǎo)學(xué)生從不同的角度圍繞學(xué)習(xí)任務(wù)展開探究,并進(jìn)行研究成果的交流和展示. 教師還要在學(xué)生合作探究的過程中進(jìn)行指導(dǎo),使學(xué)生能夠有條理地對數(shù)學(xué)問題展開研究和分析,學(xué)會從不同的視角理解試題,掌握如何進(jìn)行不同解法的比較,明晰不同解法之間的優(yōu)劣,從而為學(xué)生開展進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 研究任務(wù)的創(chuàng)建為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自主學(xué)習(xí)和交流學(xué)習(xí)的平臺,營造了輕松愉悅的學(xué)習(xí)環(huán)境,使學(xué)生在合作探究中培養(yǎng)了思維品質(zhì),提升了合作能力.

        3. 開展深度學(xué)習(xí),轉(zhuǎn)變教學(xué)方式

        隨著課程改革的進(jìn)行,數(shù)學(xué)試題不僅關(guān)注知識的考查,還關(guān)注問題的創(chuàng)新,它們以學(xué)生的思維品質(zhì)為考查目標(biāo),突出考查學(xué)生思維的靈活性、深刻性和批判性. 因此,教師要主動改革與創(chuàng)新教學(xué)方式,擺脫單純的題海戰(zhàn)術(shù)、機(jī)械練習(xí)的教學(xué)方式,通過一題多解,引導(dǎo)學(xué)生開展合作學(xué)習(xí),探討最優(yōu)解法,學(xué)會比較不同的解題方法,鍛煉學(xué)生的思維,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生進(jìn)行深度思考和深度學(xué)習(xí). 本例中,教師引導(dǎo)學(xué)生合作探究,使他們在交流中迸發(fā)出思維的火花,出現(xiàn)不同的解法,并讓他們在相互探討中得到啟發(fā),發(fā)現(xiàn)不同解題思路之間的相同之處,從而抓住數(shù)學(xué)本質(zhì),讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生,使思維真正參與其中.

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