李佳

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)是用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界. 生長型專題微課能幫助學(xué)生完善知識網(wǎng)絡(luò)，能促進(jìn)學(xué)生理解知識，能提升學(xué)生運用知識的能力，所以生長型專題微課是學(xué)生實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的有效載體，對學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展起著至關(guān)重要的作用.

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；經(jīng)驗遷移；培育素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，全身心地參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程. 自2018年9月起，杭州市便開展了學(xué)生自主制作微課活動，旨在借微課制作之道，落深度學(xué)習(xí)之實. 教師指導(dǎo)學(xué)生制作專題微課，深化和落實了“學(xué)為中心”“以生為本”的教學(xué)理念. 自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式；技術(shù)賦能，能幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，能幫助教師精準(zhǔn)助學(xué)，能優(yōu)化教師的教學(xué)方式；培養(yǎng)學(xué)生高學(xué)習(xí)力、高理解力、高表達(dá)力、高創(chuàng)造力等核心素養(yǎng)，則讓學(xué)生的內(nèi)隱知識外顯化，從而實現(xiàn)了思維的進(jìn)階. 基于深度學(xué)習(xí)的生長型專題復(fù)習(xí)，以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以聚焦核心知識為起點，以探究核心問題為載體，能達(dá)到提升學(xué)生思維層級的目的.

理解學(xué)生掌握學(xué)情，把握學(xué)習(xí)? ? 廣度

折疊是日常生活中常見的現(xiàn)象，是數(shù)學(xué)中的常見素材，其呈現(xiàn)背景可以是三角形、四邊形、圓等多種幾何圖形，折疊的本質(zhì)是圖形變換中的軸對稱. 學(xué)生解決圖形的折疊問題時，常常出現(xiàn)如下情況：①審題時，無法順利地畫出圖形；②解題時，沒有清晰的解題思路；③識圖時，無法構(gòu)造出基本圖形. 改變這種現(xiàn)狀的關(guān)鍵在于要多進(jìn)行實踐操作，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并遷移應(yīng)用活動經(jīng)驗，以達(dá)到“學(xué)一法、會一類、通一片”的效果，最終將抽象的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化.

理解數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)，凸顯學(xué)習(xí)? ? 深度

針對以上學(xué)情，教師可圍繞下面幾個問題進(jìn)行“矩形的折疊”教學(xué)：①折疊后折痕兩側(cè)的圖形之間有怎樣的關(guān)系？有哪些重要的結(jié)論？②能否運用這些結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化成基本模型？③能否利用模型，通過方程、相似、銳角三角函數(shù)等知識解決問題？

基于上述對教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的理解，教師教學(xué)時可確定如下教學(xué)環(huán)節(jié).

1. 環(huán)節(jié)一：呈現(xiàn)基本問題，提煉核心思想

（PPT呈現(xiàn)）一張矩形紙片ABCD如圖1所示，已知AB=3，BC=2，E為線段AB上的一個動點，把△BCE沿直線CE折疊后得到△B′CE.

問題：以圖1為背景，請同學(xué)們聯(lián)想一下，隨著點E的運動，點B′會落到哪些特殊的位置. 請同學(xué)們先按下暫停鍵，畫出相應(yīng)的圖形.

學(xué)生獨立思考完后按下了播放鍵，PPT陸續(xù)呈現(xiàn)了圖2、圖3、圖4，其中圖2中的點B′落在了DC邊上，圖3中的點B′落在了對角線BD上，圖4中的點B′落在了對角線AC上.

追問1：當(dāng)點B′落在DC邊上時，如圖2所示，在畫圖的過程中，如何確定點E和點B′的位置？并求出此時AE的長.

給出“追問1”后，學(xué)生按下暫停鍵，思考完成后學(xué)生再按播放鍵. 此時PPT呈現(xiàn)了如下四種畫圖方法：①利用折疊時對應(yīng)角相等、折痕為角平分線來確定點E和點B′的位置. 可以先畫∠BCD的平分線來確定點E的位置，即∠BCD的平分線與AB的交點即為點E，接著畫EB′⊥DC交DC于點B′，從而確定點B′的位置. ②利用折疊時對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等來確定點E和點B′的位置. 可以先畫∠BCD的平分線來確定點E的位置，即∠BCD的平分線與AB的交點即為點E. 又因為CB=CB′，于是在DC邊上截取CB′=CB來確定點B′的位置. ③利用折疊時對應(yīng)邊相等和對應(yīng)角相等可證得四邊形BCB′E是正方形，于是可在DC邊上截取CB′=CB來確定點B′的位置，在AB上截取BE=BC來確定點E的位置. ④利用折疊時對應(yīng)邊相等、折痕垂直平分兩對稱點的連線段來確定點E和點B′的位置. 先在DC邊上截取CB′=CB來確定點B′的位置，接著作線段BB′的中垂線交AB于點E，以確定點E的位置.

（容易求得圖2中的AE=3-2=1）

評析？搖 教師設(shè)計折疊后讓點B′落到特殊位置上這一問題，是為了讓學(xué)生感受點E在運動過程中的一些特殊位置，感悟從一般到特殊的思想. 在“追問1”之下，學(xué)生給出了4種畫圖的方法，這能讓學(xué)生體會到精準(zhǔn)畫圖的過程中需要用到折疊的性質(zhì)，而折疊的本質(zhì)是軸對稱，對稱軸為對應(yīng)點連線段的中垂線或?qū)?yīng)線段所夾角的平分線所在的直線. 上述過程能培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、操作能力，能為后續(xù)問題的解決做鋪墊.

追問2：同學(xué)們會用尺規(guī)作圖法畫出圖3、圖4嗎？并求出相應(yīng)圖形中AE的長.

有了畫圖2的活動經(jīng)驗，學(xué)生經(jīng)過獨立思考，獲得了如下結(jié)論：①通法，折疊后的對應(yīng)邊相等（CB′=CB），因此以點C為圓心、CB的長為半徑畫圓，與對角線的交點即為點B′. 又由對稱軸垂直平分兩個對稱點的連線段（CE垂直平分BB′），可確定點E的位置，即作BB′的中垂線與邊AB的交點即為點E. ②特法，鑒于圖3特有的條件，可作過點C且垂直于BD的直線，所作直線與AB邊的交點即為點E. 鑒于圖4特有的條件，可作∠BCA的平分線，所作平分線與AB的交點即為點E. 圖3和圖4中點B′的畫法同①.

評析？搖 當(dāng)點B′恰好落在邊CD上時，要求AE的長，首先要畫出相應(yīng)的圖形. 畫圖時，先以點F為圓心、FB的長為半徑畫弧與邊DC相交于點B′，接著作BB′的中垂線交邊AB于點E，然后過點B′作B′E的垂線，與以點F為圓心、CF的長為半徑的圓相交于點C′，最后順次連接FC′，C′B′，B′E，EF，如圖11所示. 求點E從點A運動到點B的過程中B′C′掃過的面積，本質(zhì)是求B，C兩點的對應(yīng)點B′，C′在折疊過程中的運動路徑. 由“追問3”的活動經(jīng)驗可知，兩個點的運動軌跡都是弧，只要分別畫出以直線AF，BF為對稱軸的對稱點即可，如圖12所示.

從折疊三角形到折疊四邊形，通過對問題的探究，學(xué)生感悟到了：不變的是，畫圖時，用對稱抓住不動的點，即圓心的位置；變化的是，當(dāng)點E運動時，“問題”是一個對應(yīng)點的變化，而“變式4”出現(xiàn)了兩個對應(yīng)點的變化，因此圖12出現(xiàn)了兩條弧. 在圖11的求解過程中，可結(jié)合矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)探究折疊后新生成的“雙平等腰模型”，進(jìn)一步建立模型觀念.

3. 環(huán)節(jié)三：自主梳理歸納，構(gòu)建思維模型

教師教學(xué)時可引導(dǎo)學(xué)生以圖形折疊為載體，梳理解決問題的方法、策略、經(jīng)驗，并以思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行小結(jié).

理解教學(xué)感悟反思，聚焦學(xué)習(xí)? ? 亮度

1. 關(guān)注實踐操作，積累活動經(jīng)驗

學(xué)習(xí)是經(jīng)歷各種各樣的活動，掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，感悟思想的過程. 在專題復(fù)習(xí)課中，對于綜合性較強(qiáng)的題目，教師應(yīng)針對學(xué)生的疑點、難點進(jìn)行有效剖析，設(shè)計有層次的關(guān)聯(lián)問題來激發(fā)學(xué)生對相關(guān)知識的回顧，并讓學(xué)生通過自身的實踐操作來達(dá)到對知識的有效建構(gòu)，從而積累活動經(jīng)驗. 本文通過設(shè)計開放型含有動點的矩形折疊問題，讓學(xué)生參與到“探、畫、解、思”的過程中，感知折疊問題畫圖、計算的依據(jù)均來源于對折疊本質(zhì)（軸對稱變換）的理解與應(yīng)用.

2. 設(shè)置問題驅(qū)動，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

著名教育家陶行知先生認(rèn)為，“創(chuàng)造始于問題，有了問題才會思考，有了思考，才有解決問題的方法，才有找到獨立思路的可能”. “環(huán)節(jié)一”設(shè)計了一個開放型問題，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下學(xué)會獨立思考、主動探究，在探究中嘗試尋求解決問題的具體策略，總結(jié)出折疊問題中畫圖和計算的通性通法與數(shù)學(xué)思想. “環(huán)節(jié)二”引出了基于“環(huán)節(jié)一”的4道變式題，教師讓學(xué)生在經(jīng)歷了矩形背景下三角形的折疊及折疊中隱含的數(shù)學(xué)模型后，繼續(xù)探究矩形背景下折疊后點落在矩形內(nèi)部、兩次折疊問題，以及四邊形的折疊，再一次激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生在已有的經(jīng)驗指導(dǎo)下不斷深入探究. 除了矩形背景下的折疊有“不變”的規(guī)律外，平行四邊形的折疊和圓的折疊同樣有這樣的“不變”性.

如圖13所示，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)兩點分別在邊AB，CD上，將四邊形BCFE沿EF折疊后得到四邊形GHFE. 若點G恰好為△ADE的重心，則的值為________.

如圖15所示，以半圓O的一條弦AB（非直徑）為對稱軸翻折后與直徑BC交于點D. 我們不難發(fā)現(xiàn)，利用圓的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可以生成等腰三角形ACD. 若兩次折疊，即在圖15的基礎(chǔ)上，再翻折交AB于點E，如圖16所示，不難得到等腰三角形ACD，等腰三角形ADE，等腰三角形DEB，且AC=AD=DE=EB.

3. 善用一題多變，感悟本質(zhì)思想

研究的對象在變，但研究的套路不變，思想方法不變，這就是數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗的力量. “環(huán)節(jié)一”設(shè)計了一題多問，“環(huán)節(jié)二”設(shè)計了一題多變，教師通過問題，引導(dǎo)學(xué)生在“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)“變”的規(guī)律. 如“環(huán)節(jié)一”通過設(shè)計特殊位置上的折疊情形，讓學(xué)生在畫圖中感悟到“變”的是對應(yīng)點的位置，“不變”的是畫圖的方法與依據(jù)；“環(huán)節(jié)二”則通過設(shè)計一題多變，讓學(xué)生在解決問題的過程中總結(jié)出折疊問題“變”的規(guī)律，即“雙平等腰模型”，通過經(jīng)驗感悟，幫助學(xué)生解決折疊綜合問題.

4. 注重方法內(nèi)化，培育核心素養(yǎng)

“常規(guī)課育樹，復(fù)習(xí)課育林.”生長型專題復(fù)習(xí)是圍繞某個核心知識點（重點、難點、疑點）或某個問題（基本問題、基本圖形、基本思想、基本方法），運用變式、拓展、延伸等方法產(chǎn)生知識、方法、思維、經(jīng)驗生長鏈，形成核心知識間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，揭示解決問題的規(guī)律和方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

本文開展“矩形折疊”生長型專題復(fù)習(xí)，找準(zhǔn)了生長源，形成了生長鏈，不僅促進(jìn)了學(xué)生“四基”的落實和發(fā)展，還培育了他們的核心素養(yǎng). 學(xué)生在微課制作中體驗制作過程并多渠道分享學(xué)習(xí)，屬于個性化學(xué)習(xí)的“做中學(xué)”，這對提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)科知識、動手實踐能力、信息技術(shù)應(yīng)用能力、組織策劃能力等大有裨益，能助力他們核心素養(yǎng)更好地落地生根.