王悅 馬旭

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，如何幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念是提高教學(xué)質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)之一. 目前，概念教學(xué)側(cè)重學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，弱化了學(xué)生推導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的過程，忽略了學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，切斷了學(xué)生延伸數(shù)學(xué)概念，阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念背后的數(shù)學(xué)思想和方法. 針對以上概念教學(xué)的弊端，文章基于APOS理論，研究如何有效幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，并提出了優(yōu)化初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略.

［關(guān)鍵詞］ APOS理論；初中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，核心概念和基本思想教學(xué)要貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終［1］. 如何幫助學(xué)生正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念仍是數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的挑戰(zhàn). 當(dāng)前數(shù)學(xué)概念教學(xué)“輕過程+重應(yīng)用+去思維”的現(xiàn)象屢見不鮮，這嚴(yán)重阻礙了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解. 因此，從APOS理論視角審視當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及改進(jìn)教師的教學(xué)方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

APOS理論概述

APOS是20世紀(jì)80年代美國學(xué)者杜賓斯基提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論，主要被運(yùn)用在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，分為操作、過程、對象和圖式四個(gè)階段［2］. 操作階段（Action）：通過從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)模型貫徹?cái)?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)思想，幫助學(xué)生建立便于加工的數(shù)學(xué)對象；過程階段（Process）：以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過一定的抽象得出數(shù)學(xué)概念及性質(zhì)；對象階段（Object）：升華整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，將抽象化的數(shù)學(xué)概念利用符號使其形式化，便于學(xué)生進(jìn)一步分析和使用概念；圖式階段（Scheme）：引導(dǎo)學(xué)生基于對前面階段的理解，從特殊推導(dǎo)一般，對數(shù)學(xué)概念的基本性質(zhì)產(chǎn)生相對清晰的認(rèn)識(shí)，并進(jìn)行進(jìn)一步的理解. APOS理論強(qiáng)調(diào)通過操作、探究生成數(shù)學(xué)概念，并結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)用積極的思維活動(dòng)來獲得數(shù)學(xué)概念，通過對概念進(jìn)行準(zhǔn)確的定義且形成心理圖式，構(gòu)建起自身的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).

剖析當(dāng)前初中數(shù)學(xué)概念課存在? ? 的問題

1. 數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解容易被忽略

符號化是數(shù)學(xué)概念的重要特征. 因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的首要目標(biāo)是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的符號形式. 學(xué)生只有深刻掌握數(shù)學(xué)概念的符號形式，才能更加深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的邏輯形式和數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)含的思想方法［3］. 然而，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多教師，特別是新教師，容易忽略數(shù)學(xué)概念符號化的深層理解，不太注重?cái)?shù)學(xué)概念符號的分析與比較，教學(xué)時(shí)僅僅停留于讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行機(jī)械記憶和背誦，沒有引導(dǎo)學(xué)生在了解概念由來的基礎(chǔ)上對概念進(jìn)行理解，更別說引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法了，這就造成了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的機(jī)械理解.

2. 數(shù)學(xué)概念的前后聯(lián)系容易被切斷

在概念教學(xué)中，如果教師設(shè)計(jì)的教學(xué)問題不連貫，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生無法將新的數(shù)學(xué)概念與已有的數(shù)學(xué)概念串聯(lián)起來. 原因是教師在上課前沒有了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理和已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，加上數(shù)學(xué)是一門知識(shí)體系結(jié)構(gòu)螺旋上升的學(xué)科，需要不斷地同化新知識(shí)與舊知識(shí)，假如學(xué)生無法聯(lián)系新、舊數(shù)學(xué)概念，自然無法順暢理解新概念.

3. 數(shù)學(xué)概念的展示方式過于抽象

初中階段的學(xué)生以形象思維為主，而數(shù)學(xué)概念多是抽象、不具體的，學(xué)生在日常生活中難以接觸到，這就導(dǎo)致學(xué)生難以理解抽象的數(shù)學(xué)概念［4］. 比如，對于函數(shù)概念的教學(xué)，教師如果只是在概念新授時(shí)直接點(diǎn)出自變量和因變量以及它們之間的關(guān)系，那么學(xué)生對函數(shù)概念的理解就僅僅是機(jī)械的記憶，并不能正確地理解函數(shù)的概念，更別說靈活地運(yùn)用函數(shù)的概念了. 很多教師在設(shè)計(jì)概念課教學(xué)時(shí)往往過多地采用“開門見山”的教學(xué)方式，沒有依據(jù)學(xué)情創(chuàng)設(shè)符合該學(xué)段學(xué)生心理特點(diǎn)的教學(xué)情境，導(dǎo)致學(xué)生難以在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上找到新概念的生長點(diǎn)，本就抽象的數(shù)學(xué)概念就變得更加捉摸不透了，這不僅會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)產(chǎn)生排斥心理.

4. 數(shù)學(xué)概念的形成過程被弱化

數(shù)學(xué)概念的形成是掌握數(shù)學(xué)概念的重要階段，是學(xué)生思維從特殊到一般的過程，是概念越來越趨向一般化的思維活動(dòng). 然而，數(shù)學(xué)概念的推導(dǎo)過程往往被教師淡化，學(xué)生對于某一數(shù)學(xué)概念的獲得多數(shù)是通過大量的習(xí)題演算得到的，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念教學(xué)正逐步讓位于習(xí)題式教學(xué)，也就是所謂的“考點(diǎn)或概念知識(shí)習(xí)題化”. 學(xué)生往往只知道這個(gè)數(shù)學(xué)概念是什么，能用在哪種題目上，卻不知道這個(gè)概念的定義過程，更沒有在自主探究中掌握推導(dǎo)此概念所需要的數(shù)學(xué)思想和方法，甚至在需要運(yùn)用到多種數(shù)學(xué)概念的綜合題中不知從何處下手，也沒有相對應(yīng)的數(shù)學(xué)方法可加以運(yùn)用. 這與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的“學(xué)生能通過推導(dǎo)數(shù)學(xué)概念從而掌握數(shù)學(xué)思想方法”的本意背道而馳. 可見，當(dāng)前的概念教學(xué)忽視了概念的形成過程，導(dǎo)致學(xué)生還未完全理解和掌握概念便要學(xué)會(huì)運(yùn)用概念去求解未知的問題.

5. 數(shù)學(xué)概念的例題設(shè)計(jì)被輕視

例題鞏固是學(xué)生學(xué)好新知識(shí)或數(shù)學(xué)概念的重要途徑. 適量的例題講解可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握. 然而在實(shí)際教學(xué)中，許多教師僅在課堂上講解數(shù)學(xué)概念的定義，沒有圍繞該概念布置相應(yīng)的基礎(chǔ)性練習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生沒有得到運(yùn)用概念的機(jī)會(huì)，對概念的認(rèn)知也沒有起到鞏固的效果. 同時(shí)，由于沒有通過相對應(yīng)的課堂測試等活動(dòng)了解學(xué)生對本堂課的接受和理解程度，所以學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解比較模糊，這會(huì)影響學(xué)生對后期概念的學(xué)習(xí)和遷移.

基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)概? ? 念課教學(xué)案例

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

“直線、射線和線段”是七年級的教學(xué)內(nèi)容，屬于初中幾何的入門知識(shí)，是學(xué)生日后學(xué)習(xí)其他幾何知識(shí)的重要基礎(chǔ). 教材是沿著“發(fā)現(xiàn)生活中的三種線（圖形語言）——小組探究三種線的定義（文字語言）——用符號表示三種線（符號語言）——三種線的性質(zhì)”這一主線展開的. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生要掌握圖形概念學(xué)習(xí)的思維模式，并遷移到日后幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，為今后幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)提供知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2. 學(xué)情分析

在小學(xué)階段，學(xué)生對“直線、射線和線段”有一定的感性認(rèn)識(shí)，初中階段的主要任務(wù)是將這種認(rèn)識(shí)提升到理性層面. “如何用數(shù)學(xué)符號對直線、射線和線段進(jìn)行表示”是本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn). 由于學(xué)生只學(xué)過用一個(gè)大寫字母表示點(diǎn)，所以教師要在學(xué)生已有知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo). 因此，本節(jié)課要求學(xué)生能獨(dú)立完成圖形語言、文字語言和符號語言這三種幾何語言之間的相互轉(zhuǎn)換，并掌握“兩點(diǎn)確定一條直線”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”這兩個(gè)基本事實(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用.

3. 教學(xué)流程

（1）操作階段

教師展示“央視激光舞、繃緊的琴弦、孫悟空的金箍棒、延伸的公路”等圖片并進(jìn)行講解，在此基礎(chǔ)上通過問題引發(fā)學(xué)生思考.

問題1？搖 你們能從中找到我們熟悉的直的線嗎？能說說射線和直線的概念嗎？它們能怎樣表示？射線AB和射線BA是同一條線嗎？直線AB和直線BA呢？

設(shè)計(jì)意圖 ？搖在實(shí)際生活中，學(xué)生已經(jīng)接觸過類似的圖形，有趣的圖片能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，從而吸引學(xué)生快速進(jìn)入課堂.

（2）過程階段

問題2？搖 要在墻上固定一根木條（如圖1所示），使它不能轉(zhuǎn)動(dòng)，要求用盡可能少的釘子. （引導(dǎo)學(xué)生思考：最少需要用幾根釘子？一根釘子夠嗎？）

活動(dòng)？搖 學(xué)生先釘一根釘子（如圖2所示），轉(zhuǎn)動(dòng)木條，發(fā)現(xiàn)木條可以輕易地轉(zhuǎn)動(dòng)，這表明過一個(gè)點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線. 學(xué)生在木條上再增加一根釘子（如圖3所示），發(fā)現(xiàn)木條不能轉(zhuǎn)動(dòng)了，說明木條被固定住了，這表明兩點(diǎn)確定一條直線. 通過固定木條的數(shù)學(xué)建模過程，學(xué)生學(xué)習(xí)了基本事實(shí)一“平面內(nèi)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”，即“兩點(diǎn)確定一條直線”.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖通過數(shù)學(xué)建模的方式，學(xué)生理解了基本事實(shí)一，從游戲中學(xué)生明白了數(shù)學(xué)來源于生活，并且服務(wù)于生活.

接下來教師創(chuàng)設(shè)“探討路線怎么走最近”的問題并進(jìn)行講解，即引導(dǎo)學(xué)生掌握基本事實(shí)二“兩點(diǎn)之間，線段最短”. 教學(xué)時(shí)教師可通過問題吸引學(xué)生的注意，再利用幾何畫板軟件測量出曲線和線段的長短，從而得出“兩點(diǎn)之間，線段最短”這一結(jié)論. 接著教師提出問題（即下面的問題3），引導(dǎo)學(xué)生思考.

問題3？搖 距離代表的是什么線？距離的概念是什么？可以怎樣表示？線段AB和線段BA相等嗎？

設(shè)計(jì)意圖 ？搖引導(dǎo)學(xué)生自主探究和動(dòng)手畫出有長度的線段，并與剛剛所學(xué)的直線和射線進(jìn)行類比，從而得出線段的基本概念和性質(zhì)，讓學(xué)生接受新的概念.

（3）對象階段

問題4？搖 給出射線、直線、線段的定義，并說出它們的主要聯(lián)系與區(qū)別. 可以從射線、直線、線段的表示方法、端點(diǎn)個(gè)數(shù)、延伸情況和可否度量等角度來考慮.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)射線、直線、線段的定義，明確它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，突出本節(jié)課的重點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力.

（4）圖式階段

在學(xué)生掌握直線、射線、線段表示方法的基礎(chǔ)上，教師先給一定的時(shí)間讓學(xué)生自主思考，并讓他們通過自己動(dòng)手畫圖，感受射線、直線、線段的變化過程. 接著教師帶領(lǐng)學(xué)生對有遺漏的地方進(jìn)行補(bǔ)充，最后對整節(jié)課進(jìn)行歸納總結(jié). 特別地，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，明確三線之間的區(qū)別和聯(lián)系，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解直線、射線、線段之間的聯(lián)系和區(qū)別.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖引導(dǎo)學(xué)生在比較中及時(shí)復(fù)習(xí)和鞏固新學(xué)到的知識(shí)，并且明確直線、射線和線段之間的區(qū)別，從而提高學(xué)生的辨析能力.

基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)概? ? 念課教學(xué)策略

1. 在教學(xué)設(shè)計(jì)中深化對概念本質(zhì)的理解

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)往往更注重機(jī)械記憶、重復(fù)訓(xùn)練，APOS教學(xué)理論要求教師要引導(dǎo)學(xué)生從主動(dòng)收集和處理信息中獲得概念，并提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力. 因此，教學(xué)時(shí)教師首先要結(jié)合學(xué)情和課程標(biāo)準(zhǔn)提出教學(xué)目標(biāo)，清晰明了地告知學(xué)生哪些知識(shí)是需要被掌握的，同時(shí)在學(xué)生自主探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中強(qiáng)化學(xué)生對概念所涉及的數(shù)學(xué)思想與方法的掌握. 教師在設(shè)計(jì)教案時(shí)應(yīng)注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，應(yīng)著重鉆研數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，并結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和心理特點(diǎn)，將課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求適當(dāng)?shù)芈鋵?shí)到課堂教學(xué)中.

2. 在教學(xué)引入中構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的前后聯(lián)系

APOS理論表明，教學(xué)要根據(jù)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過自主探究等一系列活動(dòng)完成對新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的同化［5］. 因此，教師教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念與學(xué)生生活的聯(lián)系，以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，了解學(xué)生當(dāng)前階段的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理狀態(tài)，知曉不同階段的學(xué)生處于不同的認(rèn)知發(fā)展階段，從而設(shè)計(jì)出既具有引導(dǎo)性又符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展階段的問題，指導(dǎo)學(xué)生在操作探究中對概念之間的關(guān)系有一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)體系，能在新舊概念之間建立起有意義的聯(lián)系，能自覺地從舊概念引申到對新概念的理解.

3. 在教學(xué)展示中優(yōu)化對數(shù)學(xué)概念的抽象理解

數(shù)學(xué)概念往往抽象難懂，與學(xué)生生活相距甚遠(yuǎn). 初中生習(xí)慣用形象思維來理解數(shù)學(xué)，所以對于學(xué)生難以理解的數(shù)學(xué)概念，教師要充分利用信息技術(shù)，將晦澀難懂的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 此外，教師要改變傳統(tǒng)的師生互動(dòng)模式，將課堂還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在互動(dòng)中體會(huì)豐富多彩的數(shù)學(xué)課堂，從而加深對數(shù)學(xué)概念的深刻理解.

4. 在教學(xué)生成中加強(qiáng)對數(shù)學(xué)概念的變式理解

課程改革指出，教師要勇于將課堂歸還給學(xué)生，凸顯學(xué)生在教學(xué)過程中的主體地位，教師要知道學(xué)生是有獨(dú)立思想的個(gè)體，有不同的知識(shí)儲(chǔ)備. 因此，教師不應(yīng)該把課堂當(dāng)成制作“好學(xué)生”的加工廠，而應(yīng)將課堂作為學(xué)生提升知識(shí)與能力、開闊思想與思維的跳板. 所以，在概念課教學(xué)中，教師要樂于將課堂還給學(xué)生，以學(xué)生學(xué)習(xí)引導(dǎo)者的身份，鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考和自主探究過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，感悟數(shù)學(xué)概念背后的思想和方法，并且能夠?qū)⑵溥w移到往后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)思想、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的目的.

5. 在教學(xué)練習(xí)中升華對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)

課堂練習(xí)是課堂教學(xué)的重要組成部分，是鞏固數(shù)學(xué)概念的重要手段，是學(xué)生掌握心智技能和動(dòng)作技能的基本途徑. 所以將高質(zhì)量的例題當(dāng)作學(xué)生的課堂測驗(yàn)，能較好地體現(xiàn)學(xué)生對一堂課的理解程度. 因此，教師進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，要精挑細(xì)選典型例題并進(jìn)行精心講解，確保學(xué)生能通過解答例題理解概念. 需要說明的是，要避免選擇代表性差的例題，以免誤導(dǎo)學(xué)生對概念的理解. 此外，例題數(shù)量過少，不利于學(xué)生從解答過程中歸納出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征；例題數(shù)量過多，又會(huì)因用時(shí)過長而影響課堂效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］濮安山，史寧中. 從APOS理論看高中生對函數(shù)概念的理解［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（02）：48-50.

［3］李昌官. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2021（12）：1-3+34.

［4］丁曉軍. 關(guān)注學(xué)生認(rèn)知過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念建構(gòu)——基于APOS學(xué)習(xí)理論的教學(xué)思考［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（15）：67-68.

［5］蔣網(wǎng)健，周建香. 基于APOS理論視角下初中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)實(shí)踐——以蘇科版“合并同類項(xiàng)”一課為例［J］. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（z1）：52-55.