【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)缺失是數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)或教學(xué)內(nèi)容不完整，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與素養(yǎng)提升產(chǎn)生不利影響的一種教學(xué)現(xiàn)象.數(shù)學(xué)教學(xué)缺失與數(shù)學(xué)教師“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”有關(guān).其中，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)缺失的主要原因是數(shù)學(xué)教師理解教材的水平偏低.規(guī)避數(shù)學(xué)教學(xué)缺失需要數(shù)學(xué)教師整體把握數(shù)學(xué)教材的邏輯結(jié)構(gòu)，局部研讀數(shù)學(xué)教材的匠心設(shè)計(jì)，不斷提升理解教材的水平、境界與道術(shù).

【關(guān)鍵詞】教學(xué)缺失；理解教材；數(shù)學(xué)教學(xué)

當(dāng)下，如何培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教育界談?wù)摰慕裹c(diǎn).雖然大家的觀點(diǎn)不同，但是不能否認(rèn)的是，數(shù)學(xué)教學(xué)是發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的一條基本途徑.評(píng)判這條途徑是否有效的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.而以賽促教，提升數(shù)學(xué)教師的專業(yè)水平是保證數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的前提條件.

然而，在近期某校舉行的青年教師優(yōu)質(zhì)課比賽活動(dòng)中，數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了不應(yīng)有的“缺失”：節(jié)引言缺失，學(xué)生摸不清研究問(wèn)題的方向，頭腦中形不成研究問(wèn)題的整體框架，只能被老師“牽”著走；承載概念內(nèi)涵的典型事例缺失，學(xué)生不能有效歸納概念的本質(zhì)屬性，導(dǎo)致概念學(xué)習(xí)的先天不足；數(shù)學(xué)規(guī)定合理性的解釋缺失，學(xué)生記住的只是一些冰冷的“告知”，無(wú)法感受“規(guī)定”背后所散發(fā)的“理性”魅力；性質(zhì)拓展的缺失，學(xué)生無(wú)法領(lǐng)會(huì)前后相關(guān)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，造成前后認(rèn)知的割裂等.這些缺失影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育.

本次活動(dòng)采用無(wú)生上課的形式，課題分別為人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“1.2集合間的基本關(guān)系”“2.2基本不等式”“3.3冪函數(shù)”“5.1.1任意角”.結(jié)合以上四個(gè)課題，談?wù)劗a(chǎn)生數(shù)學(xué)教學(xué)缺失的原因.

1剖析教學(xué)缺失之因

章建躍先生指出：“理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提.”[1]數(shù)學(xué)教材包含了課標(biāo)所要求的數(shù)學(xué)知識(shí)，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了基本素材.因此，數(shù)學(xué)教師理解教材的水平不高是產(chǎn)生教學(xué)缺失的首要原因.

1.1節(jié)引言絕非可有可無(wú)的“擺設(shè)”

新教材的節(jié)引言通常位于每節(jié)內(nèi)容的第一段（或前兩段），主要介紹本節(jié)內(nèi)容的邏輯起點(diǎn)、核心問(wèn)題以及研究方法等，起到先行組織者的作用.然而，在本次活動(dòng)上，節(jié)引言并未受到授課教師的重視，要么被直接跳過(guò)，要么雖被提及但也僅僅“點(diǎn)到為止”.那么，節(jié)引言是否真的是一種可有可無(wú)的“擺設(shè)”呢？

案例1理解“基本不等式”的節(jié)引言，需要明白三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1“乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用”體現(xiàn)在哪里？

與利用多項(xiàng)式乘法法則相比，利用乘法公式可以省略多項(xiàng)式展開(kāi)、合并同類項(xiàng)的步驟，起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.

問(wèn)題2“基本不等式在解決不等式問(wèn)題時(shí)的重要作用”體現(xiàn)在哪里？

基本不等式對(duì)具有“特殊結(jié)構(gòu)”的不等式問(wèn)題也有簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.比如當(dāng)x>0時(shí)，求x+1x的最小值.通過(guò)配方，得x+1x=x－1x2+2≥2；若利用基本不等式，則無(wú)需“配方”直接得到結(jié)果.

問(wèn)題3二者有何聯(lián)系？

乘法公式屬于等式范疇，基本不等式屬于不等式范疇.等式與不等式具有諸多相似之處，乘法公式與基本不等式也應(yīng)具有相似之處.因此，類比乘法公式在多項(xiàng)式乘法中的作用，基本不等式在解決不等式問(wèn)題時(shí)也有重要的作用.

因此，該引言絕不是“擺設(shè)”.它可以作為培育學(xué)生“發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題”意識(shí)的素材，也可以作為本節(jié)內(nèi)容的一條暗線，指引學(xué)生思維的方向.

1.2承載概念本質(zhì)屬性的典型事例一個(gè)也不能少

概念是思維的細(xì)胞，……，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，概念不清就無(wú)法進(jìn)一步開(kāi)展其他教學(xué)活動(dòng)[2].數(shù)學(xué)概念需要豐富而典型的事例作為載體.這里的“豐富而典型”滿足三點(diǎn)：一是所舉的事例要兩個(gè)或兩個(gè)以上，二是能涵蓋數(shù)學(xué)（幾何與代數(shù)）、生活等領(lǐng)域，三是能承載概念的本質(zhì)屬性.

案例2“集合間的基本關(guān)系”一課是通過(guò)對(duì)“觀察”欄目中的三個(gè)事例的觀察、分析、比較、歸納等思維活動(dòng)，抽象概括出子集的定義.然而在此次活動(dòng)中，一些教師只利用前兩個(gè)事例就得到子集的定義，是有問(wèn)題的.

首先，三個(gè)事例分別選自代數(shù)、實(shí)際生活以及幾何領(lǐng)域.如果舍棄了事例3，那么就失去了數(shù)學(xué)情境中的幾何情境，事例將不再“豐富而典型”.

其次，子集是“真子集”與“集合相等”的統(tǒng)稱[3].而前兩個(gè)事例的共性是每一個(gè)事例中的前一個(gè)集合中的元素都是后一個(gè)集合的元素，而后一個(gè)集合中的元素不全是前一個(gè)集合的元素.因此，由這兩個(gè)事例得到的是真包含關(guān)系，而不是包含關(guān)系.只有三個(gè)事例共同“作用”，才能得到完整的子集.當(dāng)然，新教材給出子集的Venn圖（教材第7頁(yè)的圖1.21）只有真包含而沒(méi)有相等的情形，也是值得思考的.

對(duì)于新教材中承載概念內(nèi)涵的事例，數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)真揣摩每一個(gè)事例的意義與用途，不能隨意舍棄每一個(gè)事例.

1.3不講“規(guī)定”的理由不是無(wú)知就是“耍無(wú)賴”

數(shù)學(xué)教材中的“規(guī)定”是不可缺少的內(nèi)容，通常有兩種：只能如此，唯一選擇；若干種可能，任選其一．教師在解釋數(shù)學(xué)規(guī)定時(shí)，不僅要講推理更要講道理；倘若教師不講規(guī)定的理由，那不是無(wú)知就是耍無(wú)賴[4].

案例3在本次活動(dòng)中，選擇“課題4”的參賽教師大都是由生活中的“體操名稱”和雙齒輪旋轉(zhuǎn)模型，得出角不僅有旋轉(zhuǎn)量，還有旋轉(zhuǎn)方向，然后“規(guī)定”正角、負(fù)角和零角.然而，通過(guò)這兩個(gè)事例，學(xué)生雖然能感知到存在超出范圍（0°～360°）和不同旋轉(zhuǎn)方向的角，但是不能真切感受到旋轉(zhuǎn)方向?qū)堑囊饬x.如果就此“規(guī)定”角，那么學(xué)生只知其然，卻不知其所以然，從而使“規(guī)定”變成“命令”.這是不是意味著數(shù)學(xué)教師在“耍無(wú)賴”呢？

理解該“規(guī)定”，需要弄清楚三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1為什么要規(guī)定旋轉(zhuǎn)方向？

有兩個(gè)原因，一是生活中存在帶有方向的角；二是推廣角的需要.角的推廣是為了描述作圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的位置，進(jìn)而刻畫圓周運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，從而把握現(xiàn)實(shí)世界中“周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)”的現(xiàn)象.因此，只有把角置于圓周運(yùn)動(dòng)的背景中，學(xué)生才能真正認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)方向?qū)c(diǎn)的位置的影響，才能真正感受到“旋轉(zhuǎn)方向”對(duì)角的意義.比如圓周上的點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)分別做逆時(shí)針、順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)P的位置差別很大.

問(wèn)題2為什么要規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)？

如果規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，那么?huì)有什么問(wèn)題呢？舉兩個(gè)例子，一是三角函數(shù)的定義會(huì)出現(xiàn)矛盾，影響整個(gè)三角函數(shù)概念體系的構(gòu)建.比如圖1，射線OA繞著點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，交單位圓于點(diǎn)A′12，-32，則由三角函數(shù)的定義，得sin60°=－32，這與初中的三角函數(shù)知識(shí)不符；二是給傾斜角的定義帶來(lái)困擾.根據(jù)新教材中傾斜角的定義，如果讓x軸（正向）繞著交點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線l重合，那么得到角的范圍是-180°～0°；順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到角的范圍是180°～360°.無(wú)論把哪種旋轉(zhuǎn)情況作為傾斜角的范圍都會(huì)給直線斜率的學(xué)習(xí)帶來(lái)困擾.

問(wèn)題3如何自然地“規(guī)定”角？

首先舉生活中的事例以及圓周上點(diǎn)的（正反）運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生感受推廣角的必要性；其次，引導(dǎo)學(xué)生回憶初一正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的（數(shù)軸）規(guī)定：數(shù)軸上點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，如果沿著x軸正向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1，那么點(diǎn)P1表示的數(shù)就是正數(shù)；如果沿著x軸反向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P2，那么點(diǎn)P2表示的數(shù)就是負(fù)數(shù)；如果沿著x軸正、反向不運(yùn)動(dòng)，那么該點(diǎn)表示的數(shù)就是零.然后類比正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的規(guī)定，自然地引出正角、負(fù)角和零角的規(guī)定.

因此，教師要具有深入研讀的眼光和仔細(xì)研磨的匠心，挖掘“規(guī)定”背后的理性資源，給學(xué)生一個(gè)合理的解釋，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)“冰冷”面具下的“溫度”.

1.4講解一般冪函數(shù)的單調(diào)性也未嘗不可

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一.掌握了函數(shù)的單調(diào)性也就把握了客觀事物的變化規(guī)律（增減）.

案例4從教材內(nèi)容的編排看，冪函數(shù)是在函數(shù)的概念、表示以及基本性質(zhì)之后，指數(shù)的擴(kuò)充之前.因此，學(xué)生不具備學(xué)習(xí)一般冪函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)儲(chǔ)備（實(shí)數(shù)指數(shù)冪）.從課標(biāo)的內(nèi)容要求看，學(xué)生需要“結(jié)合y=x，y=1x，y=x2，y=x，y=x3的圖象，理解它們的變化規(guī)律，理解冪函數(shù)”.[5]

因此，執(zhí)教本課題的參賽教師只講五個(gè)簡(jiǎn)單冪函數(shù)的單調(diào)性，而不介紹一般冪函數(shù)的單調(diào)性.那么，有沒(méi)有必要講一般冪函數(shù)的單調(diào)性呢？

要回答這個(gè)問(wèn)題，首先要解決兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1沒(méi)有實(shí)數(shù)指數(shù)冪作為學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，講一般冪函數(shù)的單調(diào)性是否合適？

新教材指出“S也可以表示為S12”.在得到冪函數(shù)的概念后，再次指出“冪的指數(shù)除了可以取整數(shù)之外，還可以取其他實(shí)數(shù)，當(dāng)它們?nèi)∑渌麑?shí)數(shù)時(shí)也具有各自的含義，這些會(huì)在后面學(xué).”既然教材已經(jīng)明確指出實(shí)數(shù)指數(shù)冪有意義，那么“順?biāo)浦邸苯榻B一般冪函數(shù)的單調(diào)性也未嘗不可.

問(wèn)題2一般冪函數(shù)的單調(diào)性“超標(biāo)”了，還有沒(méi)有必要講？

首先，北師大數(shù)學(xué)系教授保繼光認(rèn)為，課標(biāo)給出了數(shù)學(xué)教學(xué)的最低標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)高于課標(biāo)要求.人教社李海東老師也認(rèn)為，歸納也是代數(shù)教學(xué)的核心，“歸納地想”“歸納地發(fā)現(xiàn)規(guī)律”做得多了，思想也就體現(xiàn)出來(lái)了[6].由五個(gè)簡(jiǎn)單冪函數(shù)的單調(diào)性歸納猜想出一般冪函數(shù)的單調(diào)性，有助于學(xué)生感悟歸納思想.再次，對(duì)于新教材“4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的課后練習(xí)“比較下列各題中兩個(gè)值的大小：（1）62，72”，“教師教學(xué)用書”指出：“利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，進(jìn)一步熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可結(jié)合例3完成[7].”雖然我們可構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y=6x，y=7x，借助它們的圖象與直線x=2交點(diǎn)的位置關(guān)系解決，但是這種解法并不符合教材的設(shè)計(jì)意圖（利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小）.可構(gòu)造冪函數(shù)y=x2，利用冪函數(shù)的單調(diào)性處理.然后把該解法與“利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小”的方法作比較，能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)差別，從而深化對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解.在這里用到了指數(shù)是無(wú)理數(shù)的冪函數(shù)的單調(diào)性.

因此，無(wú)論是出于學(xué)生發(fā)展的需要，還是出于強(qiáng)化前后知識(shí)相互聯(lián)系的需要，講解一般冪函數(shù)的單調(diào)性都是適宜的.

2提升理解教材之術(shù)

如前所述，數(shù)學(xué)教師對(duì)教材理解的不到位是造成數(shù)學(xué)教學(xué)缺失的首要原因.因此，教師應(yīng)該認(rèn)真鉆研教材，不斷提升理解教材的技術(shù)，這樣才能有效規(guī)避教學(xué)缺失.那么，數(shù)學(xué)教師如何提升理解教材的技術(shù)呢？

2.1整體把握數(shù)學(xué)教材的邏輯結(jié)構(gòu)

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，單元教學(xué)是一條有效途徑.單元教學(xué)注重整體關(guān)聯(lián)性，表現(xiàn)在知識(shí)內(nèi)容的整體性、教學(xué)安排的整體性、對(duì)學(xué)生認(rèn)知把握的整體性[8].教學(xué)中首先應(yīng)是在見(jiàn)樹木更見(jiàn)森林，見(jiàn)森林才見(jiàn)樹木下整體構(gòu)建知識(shí)體系[9].單元教學(xué)的整體性首先要求數(shù)學(xué)教師整體把握數(shù)學(xué)教材的邏輯結(jié)構(gòu)，包括主題與主題之間、主題內(nèi)部的章與章之間、章內(nèi)部的節(jié)與節(jié)之間的邏輯關(guān)系.在整個(gè)邏輯框架下理解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展、地位與作用、課程要求與育人價(jià)值.以任意角的定義為例（如圖2）.

主題之間：主題二是以主題一為基礎(chǔ)，并作為主題三的基礎(chǔ)，是架設(shè)在二者之間的橋梁.主題二內(nèi)部的章與章之間：第三章研究的是一般函數(shù)的概念與基本性質(zhì)，是第四、五章的理論基礎(chǔ)，第四、五章是以第三章為指導(dǎo)，是對(duì)第三章的應(yīng)用與深化，第四章與第五章是介紹三種基本初等函數(shù)，是并列關(guān)系.雖然兩者研究的內(nèi)容與路徑基本一致，但是研究方法差別很大，前者重在研究增減變化規(guī)律，后者主要借助單位圓來(lái)研究周期性變化規(guī)律，并且三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較特殊，無(wú)法借助運(yùn)算來(lái)表征.第五章內(nèi)部的節(jié)與節(jié)之間：角是基于實(shí)際需要而擴(kuò)充到任意角，并作為三角函數(shù)概念體系的構(gòu)建基礎(chǔ).缺少了任意角，就無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)“周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)”的數(shù)學(xué)刻畫.所以，任意角是“三角函數(shù)”一章的基石.

2.2局部研讀數(shù)學(xué)內(nèi)容的“匠心”設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教育專家逐字逐句、反復(fù)打磨而成的，其結(jié)構(gòu)體系、概念與原理、例習(xí)題都是經(jīng)過(guò)精挑細(xì)選與精雕細(xì)琢的，每一個(gè)插圖、每一句提示語(yǔ)、甚至每一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)都有其特定的意義.“細(xì)節(jié)決定成敗”，數(shù)學(xué)教師不僅要整體把握，更要拿著“放大鏡”，仔細(xì)研讀數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)的細(xì)微之處，領(lǐng)會(huì)編者的匠心獨(dú)運(yùn).比如研讀“基本不等式”的引言能發(fā)現(xiàn)：基本不等式不僅是推導(dǎo)其他一些不等式的基礎(chǔ)，其蘊(yùn)含的“簡(jiǎn)化運(yùn)算”思想更是作為一條暗線貫穿本節(jié)的始末.研讀“集合間的基本關(guān)系”的“觀察”能發(fā)現(xiàn)：三個(gè)事例的數(shù)學(xué)價(jià)值不同，不可或缺.研讀“簡(jiǎn)單的冪函數(shù)”中對(duì)“冪的指數(shù)”給出的說(shuō)明，能夠解決學(xué)生心中的困惑（學(xué)生已有的認(rèn)知是冪的指數(shù)只能取整數(shù)），體現(xiàn)教材的細(xì)節(jié)處理.

2.3境界提升教材理解的道術(shù)

數(shù)學(xué)教師要從宏觀與微觀兩種視角理解數(shù)學(xué)教材，既要整體把握數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)體系，也要局部研讀數(shù)學(xué)教材的“細(xì)枝末葉”.教師必須局部與整體兼顧，努力達(dá)到以下四重境界，即要善于在高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)指導(dǎo)下研讀教材;要善于揭示片段知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系;要善于在知識(shí)演化過(guò)程中理解片段內(nèi)容;善于挖掘片段知識(shí)所蘊(yùn)含的文化價(jià)值[10].提升境界，磨礪理解教材的眼光，領(lǐng)悟理解教材的內(nèi)核，提升理解教材的道術(shù).

3結(jié)束語(yǔ)

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教材發(fā)生了很大變革，情境現(xiàn)實(shí)化、知識(shí)問(wèn)題化、結(jié)構(gòu)邏輯化都對(duì)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提出了更高的要求.數(shù)學(xué)教師要努力豐富“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”，促進(jìn)個(gè)人專業(yè)化成長(zhǎng)，提升理解教材的水平、境界和道術(shù)，為更好地教數(shù)學(xué)而理解，為數(shù)學(xué)更好地育人而理解.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介

安振亞（1981—），男，安徽臨泉人，中學(xué)高級(jí)教師;阜陽(yáng)市骨干教師，臨泉縣學(xué)科帶頭人;主要研究數(shù)學(xué)教育教學(xué)與信息技術(shù)應(yīng)用；發(fā)表文章20余篇，其中有兩篇被人大復(fù)印資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.