張麗珊

【摘要】“雙減”政策下，如何在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到高效的教學(xué)，對(duì)教師而言是新的挑戰(zhàn).要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，以學(xué)為中心的單元教學(xué)是有效的途徑之一.筆者以“一元二次方程”為例，以學(xué)為中心嘗試探究新知建構(gòu)類單元教學(xué)活動(dòng).

【關(guān)鍵詞】以學(xué)為中心；初中數(shù)學(xué)；單元教學(xué)

以學(xué)為中心起源于建構(gòu)主義理論，是在以學(xué)生的發(fā)展和主動(dòng)學(xué)習(xí)過程中，在教師的幫助下，學(xué)生完成新知識(shí)和能力的建構(gòu)［1］.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解”［2］.單元教學(xué)恰好能實(shí)現(xiàn)課標(biāo)精神，使學(xué)生感悟知識(shí)體系，從整體角度更好地理解知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián).筆者以“人教版第21章一元二次方程第一課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，嘗試探究新知建構(gòu)類單元教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

1 以學(xué)為中心的單元教學(xué)設(shè)計(jì)思路

課程內(nèi)容要素→課程目標(biāo)的設(shè)定→課程教學(xué)資源→課程教學(xué)過程→課程教學(xué)反饋→反思感悟.

以學(xué)為中心，逐步推進(jìn).

2 構(gòu)建方程的單元教學(xué)

2.1 基于單元教學(xué)的文本建構(gòu)

人教版第21章“一元二次方程”屬于“方程與函數(shù)”領(lǐng)域，學(xué)生已學(xué)習(xí)了“一元一次方程”與“二元一次方程（組）”，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行研究學(xué)習(xí)一元二次方程，以類比、創(chuàng)設(shè)情境方法探究一元二次方程的概念及一元二次方程的根（解）的含義.本節(jié)課重點(diǎn)是理解一元二次方程概念及其有關(guān)概念，難點(diǎn)在于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.用單元教學(xué)理念讓學(xué)生初步體會(huì)從整體角度看待整章單元的知識(shí)，以學(xué)為中心建構(gòu)體系，滲透研究方程的通用方法，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.

2.2 基于單元教學(xué)的目標(biāo)建構(gòu)

（1）知識(shí)技能：①理解一元二次方程的概念，會(huì)把一元二次方程化成一般形式；②理解一元二次方程的根（解）的含義.

（2）數(shù)學(xué)思想：由特殊到一般、分類思想、類比歸納思想、轉(zhuǎn)化思想等.

（3）核心素養(yǎng)：模型思想、應(yīng)用意識(shí).

2.3 基于單元教學(xué)理念的活動(dòng)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一 回顧舊知，創(chuàng)設(shè)情境引入（預(yù)習(xí)任務(wù)清單）

1-1 回憶一元一次方程、二元一次方程（組）及方程（組）的解等相關(guān)知識(shí).

1-2 對(duì)比下列方程說出它們的區(qū)別和聯(lián)系：

（1）x－2=0;（2）x=4;（3）x=0;

（4）x=－4;（5）x+2x－24=0．

1-3 要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每兩支隊(duì)之間都要比賽一場（單循環(huán)賽），

（1）若有3支球隊(duì)參賽，則全部比賽的場數(shù)是____；若有4支球隊(duì)參賽，則全部比賽的場數(shù)是____；有x2－4x－5支球隊(duì)參加邀請(qǐng)賽，則全部比賽的場數(shù)是____；（2）根據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少支隊(duì)參賽？若設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)x支隊(duì)參賽，則可列方程____．［3］

思考 （1）上述所列的方程的左右兩邊是怎樣的代數(shù)式？（2）所列的方程含幾個(gè)未知數(shù)？（3）請(qǐng)把所列方程按下列要求化簡：①等式的右邊為零；②等式的左邊的整式按未知數(shù)字母降冪排列.

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考，與所學(xué)方程知識(shí)類比，如何定義這個(gè)方程？方程的解是什么？如何求解？

設(shè)計(jì)理念分析 1-1是為引入一元二次方程做準(zhǔn)備，幫助學(xué)生回憶方程的定義及解法；1-2通過與一元一次方程比較，滲透分類思想及為一元二次方程求解（本質(zhì)是降次）做鋪墊，蘊(yùn)含對(duì)根的判別式的分類；1-3結(jié)合教材內(nèi)容，從特殊到一般，找出規(guī)律列出方程，進(jìn)而求解，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題抽象出方程模型意識(shí)的能力；歸納總結(jié)一元二次方程的一般形式及其有關(guān)的概念.通過設(shè)計(jì)活動(dòng)一的幾個(gè)問題，構(gòu)建了本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，有利于知識(shí)的整體架構(gòu)及學(xué)習(xí)方法的探究.通過預(yù)習(xí)任務(wù)清單讓學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)學(xué)習(xí)、以數(shù)學(xué)的眼光觀察思考社會(huì)問題.

活動(dòng)二 探究新知，建構(gòu)體系

2-1 將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：

（1）3xx－1=5x+2；

（2）4x=49；

（3）x（x－1）=56.

小結(jié)：怎樣把一元二次方程化為一般形式？說出解題步驟！

2-2 判斷x=－7和8是否為方程x2－x=56的根.

2-3 根據(jù)下列問題列方程，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：

（1）正方形的面積是25，求正方形的邊長x；

（2）參加一次聚會(huì)的每兩人都握一次手，所有人共握10次，有多少人參加聚會(huì)？

2-4 解方程：

（1）y=25； （2）（x+1）=25；

（3）x+2x+1=25； （4）xx+2=24.

你能用幾何圖形如矩形的面積來表示（4）的解法嗎？

師生活動(dòng) 學(xué)生先獨(dú)立思考，再與小組成員交流，最后教師巡視，根據(jù)學(xué)生反饋情況給予適當(dāng)點(diǎn)撥，建構(gòu)本章的知識(shí)體系.

設(shè)計(jì)理念分析 2-1幫助學(xué)生對(duì)一元二次方程一般形式的理解，其中（2）和（3）是為了后續(xù)求方程的根做準(zhǔn)備；2-2承接2-1中的（3），理解一元二次方程的根可能不止一個(gè)，也是活動(dòng)一中的部分解答，再根據(jù)實(shí)際意義做出判斷；2-3結(jié)合實(shí)際問題展開，培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)，其中的（1）是為了后續(xù)用幾何圖示表示解法提供參考，（2）類比活動(dòng)一中單循環(huán)比賽問題，加深對(duì)實(shí)際問題的理解，感悟類比思想，轉(zhuǎn)化思想；2-4中4個(gè)小題既可以用直接開平方法也可以用因式分解法，解上述方程的本質(zhì)是降次為兩個(gè)一元一次方程，而（4）由（3）類比遷移用配方法及借鑒蘇科版“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”板塊中介紹配方的幾何表示，如圖1所示，幫助學(xué)生以拼圖視角看配方法［4］.并介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史.數(shù)形結(jié)合，理解解法的幾何意義，體會(huì)從不同的角度思考解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，感悟從整體的角度學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的高階思維能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

通過活動(dòng)二，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)點(diǎn)→解法→數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步建構(gòu)體系，將知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，完成了一元二次方程與一元一次方程的體系建構(gòu)，達(dá)到知識(shí)的“生長點(diǎn)”.

活動(dòng)三 總結(jié)提升

歸納總結(jié)，以知識(shí)結(jié)構(gòu)圖促進(jìn)學(xué)生對(duì)整節(jié)課教學(xué)脈絡(luò)的理解，體會(huì)研究方程的一般思路：建立方程模型解決實(shí)際生活中遇到的問題，求解的基本思想是“降次”，感悟數(shù)學(xué)思想.

活動(dòng)四 拓展延伸

4-1 關(guān)于c的一元二次方程x2－c=0一定有解嗎？說明理由．

4-2 參加一次聚會(huì)的每兩人都握一次手，張強(qiáng)同學(xué)說：“所有人共握手16次”，張強(qiáng)同學(xué)的統(tǒng)計(jì)是否正確？說明理由．

4-3 閱讀材料：一般來說，如果一個(gè)數(shù)代入方程左邊得到的值為負(fù)，把另一個(gè)數(shù)代入得到的值為正，則在這兩個(gè)數(shù)之間有可能有方程的解.例：

由表可知方程x2－2=0的解在1與2之間．根據(jù)這個(gè)原理估計(jì)方程x2－2x－13=0的解（精確到個(gè)位），并判斷是否有一個(gè)根大于4.5？

師生活動(dòng) 讓學(xué)生有充分的時(shí)間考慮，邀請(qǐng)學(xué)有余力的孩子分享不同的解法，如：方法一：當(dāng)x=4時(shí)，x－2x－13=－5；當(dāng)x=5時(shí)x－2x－13=2 ；方法二：當(dāng)x=4時(shí)，x－2x=8＜13；當(dāng)x=5時(shí)，x－2x=15＞13.以此類推，方程x－2x－13=0的解在4與5之間或者－3與－2之間．

設(shè)計(jì)理念分析 4-1與1-2相呼應(yīng)，對(duì)c進(jìn)行分類，感悟特殊到一般的思想；4-2與1-3單循環(huán)賽問題相似，體會(huì)建模思想列方程，求解過程中可通過代入數(shù)值盤點(diǎn)方程的解為4-3提供參考；4-3此題改編自2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》例52，用二分法估計(jì)方程的解，初步感悟通過代入數(shù)值計(jì)算也是求方程解的有效途徑.在教學(xué)中滲透函數(shù)思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)鋪墊，感悟蘊(yùn)含不同角度的解題思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).循序漸進(jìn)，用聯(lián)系的、整體的觀點(diǎn)組織教學(xué)內(nèi)容，即單元教學(xué)，最終實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

通過活動(dòng)三和四，進(jìn)一步建構(gòu)體系：從學(xué)法（猜想、驗(yàn)證、小結(jié)、反思、遷移、應(yīng)用等）→素養(yǎng)（建模、創(chuàng)新、辯證等綜合能力）；整合單元知識(shí)，完成對(duì)知識(shí)點(diǎn)→解法→數(shù)學(xué)思想→學(xué)法→素養(yǎng)的體系建構(gòu)，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的方法、批判辯證思維及創(chuàng)新意識(shí)，有利于發(fā)展學(xué)生的高階思維及構(gòu)建能力.

活動(dòng)五 課后作業(yè)，有效反饋

5-1 根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：

（1）把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x；

（2）圓的面積為2πm2，求圓的半徑x．

5-2 按要求寫出相應(yīng)的一元二次方程：二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為2，－1和3．

5-3 下列哪些數(shù)是方程n的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

5-4 對(duì)于一元二次方程，我國及其他一些國家的古代數(shù)學(xué)家曾研究過其幾何解法，以方程x2+2x-35＝0為例，公元9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米采用的方法是：將原方程變形為（x+1）2＝35+1，然后構(gòu)造圖形求解，一方面，正方形的面積為（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一個(gè)根x＝5，請(qǐng)根據(jù)阿爾·花拉子米的思路，畫出解方程x2-4x-21＝0時(shí)構(gòu)造的圖形.

5-5 解方程：

（1）4x=25； （2）（x+2）=49；

（3）x+2x+1=9.

設(shè)計(jì)理念分析：適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)有利于鞏固對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，有效反饋便于教師輔導(dǎo)有需要幫助的學(xué)生，5-1至5-3屬于基礎(chǔ)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)自信心，可以網(wǎng)絡(luò)答題直接反饋，反饋方式多樣化，結(jié)合線上線下提升反饋的有效性及趣味性；5-4屬于數(shù)學(xué)史的延伸，為發(fā)展學(xué)生研究素養(yǎng)，自我反思，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)與建構(gòu)體系的能力.

3 構(gòu)建“以學(xué)為中心”單元教學(xué)設(shè)計(jì)的感悟

3.1 有利于章節(jié)的整體把握及框架的建構(gòu)

（1）由于學(xué)生的局限性，若只側(cè)重單一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，那么學(xué)生多數(shù)僅能模仿且形成低階思維；而通過以學(xué)為中心的大單元教學(xué)，學(xué)生獲得了章節(jié)知識(shí)的研究方法，以整體視角來審視章節(jié)中的知識(shí)點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的研究素養(yǎng)及整體把握，通過對(duì)數(shù)學(xué)史的介紹，鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成閱讀的習(xí)慣，查閱相關(guān)學(xué)習(xí)資源，實(shí)現(xiàn)從不同方式獲取學(xué)習(xí)資源，形成主動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，對(duì)于數(shù)學(xué)原理的來龍去脈更有感悟，利于將來向有序深入學(xué)習(xí).（2）有利于知識(shí)框架的建構(gòu)，比如函數(shù)領(lǐng)域，學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，類比一次函數(shù)的研究方法（如作圖時(shí)k，b對(duì)圖象的影響），研究學(xué)習(xí)k對(duì)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的影響，進(jìn)而歸納出函數(shù)中不同參數(shù)對(duì)圖象及性質(zhì)的影響，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題，使學(xué)生在將來學(xué)習(xí)其他函數(shù)時(shí)形成研究框架與思路，促成高階思維、深度學(xué)習(xí)的能力.

3.2 有利于達(dá)到知識(shí)的貫通

新知建構(gòu)類單元教學(xué)需要對(duì)教材進(jìn)行整合、理解，關(guān)注知識(shí)的自然生成及蘊(yùn)含思想，找尋其內(nèi)在關(guān)聯(lián).從不同的維度、整體的觀點(diǎn)構(gòu)建知識(shí)體系，從不同層面、多渠道引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生在解決問題的過程中形成獨(dú)立意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，如在拼圖解釋配方法及介紹數(shù)學(xué)史中，課堂教學(xué)活動(dòng)的處理可以更加大膽與開放，讓學(xué)生的思維碰撞出火花，感受數(shù)學(xué)的神奇魅力［5］.

3.3 以學(xué)為中心的教學(xué)應(yīng)注意的問題

教師自身需隨著時(shí)代的發(fā)展更新教育理念、提升自己的個(gè)人專業(yè)素養(yǎng)；教學(xué)設(shè)計(jì)需加強(qiáng)對(duì)學(xué)情的了解，目標(biāo)有不同的層次，多鼓勵(lì)學(xué)生參與意識(shí)；教學(xué)方式多樣化，選擇有利于學(xué)生發(fā)展及目標(biāo)達(dá)成的方式；反饋評(píng)價(jià)多維化，注重對(duì)學(xué)習(xí)過程的評(píng)價(jià)，淡化對(duì)分?jǐn)?shù)的過度關(guān)注，促進(jìn)學(xué)生探索適合自己的學(xué)習(xí)方法.

【基金項(xiàng)目：此文作為核心成員參與周卓主持的廈門市湖里區(qū)2021年度區(qū)級(jí)課題《“以學(xué)為中心”的初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課程的教學(xué)策略研究》（課題批準(zhǔn)號(hào)：2021029）的研究成果】

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