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        基于問題驅(qū)動(dòng)的單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)

        2023-06-09 09:43:22卓忠越高菲
        關(guān)鍵詞:問題驅(qū)動(dòng)

        卓忠越 高菲

        摘? 要:以問題驅(qū)動(dòng)為主要策略,預(yù)設(shè)問題主線,通過對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的分析構(gòu)建研究隨機(jī)現(xiàn)象的路徑并抽象概率研究的對(duì)象. 通過復(fù)習(xí)初中知識(shí),發(fā)現(xiàn)重構(gòu)隨機(jī)事件概念的必要性. 圍繞抽象核心概念隨機(jī)事件,通過系列探究對(duì)比活動(dòng),鞏固有限樣本空間在整個(gè)概率單元學(xué)習(xí)中的重要地位.

        關(guān)鍵詞:有限樣本空間;隨機(jī)事件;問題驅(qū)動(dòng)

        本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)(以下統(tǒng)稱“教材”)第十章“概率”單元的起始課,遵循學(xué)生的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律,著眼于整體大單元教學(xué)目標(biāo),采用基于情境和問題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式和探究式課堂教學(xué)方式,通過獨(dú)立思考、自主探究與合作交流相結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生理性思考、敢于質(zhì)疑、把握本質(zhì)的學(xué)習(xí)習(xí)慣,滲透歸納類比、數(shù)學(xué)抽象、模型轉(zhuǎn)化等思想方法,逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

        一、教學(xué)內(nèi)容解析

        概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支,為人們提供了從不確定角度認(rèn)識(shí)客觀世界的思維模式和解決問題的方法. 概率與統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的四大主線之一,概率課程承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力. 根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》和人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》,基于概率板塊的內(nèi)容,明確本章的知識(shí)主線如圖1所示.

        “概率”內(nèi)容的教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的主數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 本節(jié)課是“概率”單元的起始課,立足單元整體教學(xué)的需要. 一是需要通過帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象,明確通過隨機(jī)試驗(yàn)將研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件的技術(shù)路線;二是重視核心概念“隨機(jī)事件”的數(shù)學(xué)抽象和“樣本空間”的基礎(chǔ)地位,如果核心概念理解不深刻,樣本空間寫不準(zhǔn)確,將影響整個(gè)單元的學(xué)習(xí).

        基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn):樣本點(diǎn)、有限樣本空間、隨機(jī)事件等概念及相互關(guān)系;寫出恰當(dāng)?shù)臉颖究臻g并表示隨機(jī)事件.

        二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

        1. 教學(xué)目標(biāo)

        本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

        (1)通過觀察不同的隨機(jī)現(xiàn)象,了解隨機(jī)現(xiàn)象的共同特征,發(fā)展抽象概括能力.

        (2)經(jīng)歷樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件概念的生成過程,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)和有限樣本空間的關(guān)系,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

        (3)通過探究對(duì)比,能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示不同試驗(yàn)的樣本空間和隨機(jī)事件,體會(huì)數(shù)學(xué)抽象、模型轉(zhuǎn)化、歸納類比的數(shù)學(xué)思想.

        2. 目標(biāo)解析

        達(dá)成目標(biāo)(1)的標(biāo)志:結(jié)合初中所學(xué),能舉出生活中概率研究對(duì)象的例子;結(jié)合兩個(gè)情境,抽象隨機(jī)現(xiàn)象的共同特征,體會(huì)隨機(jī)思想,明確研究對(duì)象.

        達(dá)成目標(biāo)(2)的標(biāo)志:經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)初中對(duì)隨機(jī)事件刻畫局限性的過程,理解用集合語(yǔ)言描述隨機(jī)事件的合理性和必要性. 結(jié)合具體實(shí)例和自主閱讀教材,獲得樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件的準(zhǔn)確概念,繪制反映三者關(guān)系的Venn圖,認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)和有限樣本空間的結(jié)構(gòu)關(guān)系.

        達(dá)成目標(biāo)(3)的標(biāo)志:經(jīng)歷對(duì)不同情境的樣本空間和隨機(jī)事件進(jìn)行準(zhǔn)確表達(dá)的探究過程,體會(huì)從實(shí)物到數(shù)字化的逐級(jí)數(shù)學(xué)抽象過程,能夠結(jié)合樹狀圖分析樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),能夠用恰當(dāng)?shù)募险Z(yǔ)言準(zhǔn)確表示常見的樣本空間和隨機(jī)事件.

        三、學(xué)生學(xué)情分析

        在本節(jié)課的內(nèi)容之前,學(xué)生已經(jīng)在初中階段學(xué)習(xí)了“概率初步”內(nèi)容. 課前對(duì)授課學(xué)生進(jìn)行了一次初中概率知識(shí)學(xué)情調(diào)查. 從調(diào)查結(jié)果來看,近三分之一的學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件和概率的概念敘述不準(zhǔn)確,但是對(duì)相關(guān)概念的直觀判斷和簡(jiǎn)單古典概率的計(jì)算,正確率在90%以上. 結(jié)果表明:學(xué)生在經(jīng)歷初中階段的學(xué)習(xí)后,對(duì)隨機(jī)事件和概率的認(rèn)識(shí)是感性的直觀描述,能較好地運(yùn)用樹狀圖求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率. 而高中階段要對(duì)隨機(jī)事件和概率進(jìn)行理性的數(shù)學(xué)刻畫.

        本節(jié)課將用集合語(yǔ)言對(duì)“隨機(jī)事件”的概念進(jìn)行重構(gòu),是學(xué)生首次接觸. 在這樣一個(gè)精確化的過程中,學(xué)生的主要疑問可能是:為什么要引入集合語(yǔ)言來表示?可能面臨的主要困難是:如何用集合語(yǔ)言來恰當(dāng)表示實(shí)際問題?對(duì)此,教師需要精心設(shè)計(jì)問題串驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考,合理搭設(shè)探究階梯和路徑,采用獨(dú)立思考與交流分享、探究與互動(dòng)并用的教學(xué)方式,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題直至解決問題.

        基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn):幫助學(xué)生用適當(dāng)?shù)姆?hào)和形式,恰當(dāng)書寫試驗(yàn)的樣本空間和表示隨機(jī)事件.

        四、教學(xué)策略分析

        1.“先行組織者”策略

        在課前主要設(shè)計(jì)兩個(gè)環(huán)節(jié):一是借助學(xué)情調(diào)查問卷,讓學(xué)生鞏固初中所學(xué)概率知識(shí),充當(dāng)后續(xù)學(xué)習(xí)的比較性組織者;二是課前給學(xué)生推送單元導(dǎo)學(xué)材料,讓學(xué)生了解概率的發(fā)展歷史和生活中的概率案例等,幫助學(xué)生感受概率研究的有趣和有用,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

        2.“問題驅(qū)動(dòng)”策略

        本節(jié)課以“研究什么—用什么刻畫—如何刻畫”為主線設(shè)置四個(gè)主線問題,結(jié)合不同實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問題并解決問題.

        3.“最近發(fā)展區(qū)”策略

        選擇學(xué)生初中接觸過的問題切入,立足初中的概率知識(shí),貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū);通過創(chuàng)設(shè)合適的探究過程和遞進(jìn)的啟發(fā)性問題,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到引入集合語(yǔ)言刻畫隨機(jī)事件的合理性和必要性,并逐步獲得“用適當(dāng)?shù)姆?hào)和形式恰當(dāng)書寫試驗(yàn)的樣本空間和表示隨機(jī)事件”的方法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

        4.“跨學(xué)科融合”策略

        設(shè)計(jì)“知識(shí)鞏固”“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”“跨學(xué)科應(yīng)用”三級(jí)課后作業(yè),確保學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),能運(yùn)用所學(xué)探求現(xiàn)象背后的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神. 同時(shí),幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科融合,運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題.

        五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

        1. 創(chuàng)設(shè)情境,引入課題

        問題1:概率論的研究對(duì)象有什么共同特征?

        師:結(jié)合課前的導(dǎo)學(xué)材料和初中知識(shí),概率的研究對(duì)象是什么?

        師生活動(dòng):師生共同列舉生活中常見的、豐富的概率問題實(shí)例,并歸納它們的共同特征.

        【設(shè)計(jì)意圖】回顧初中所學(xué)概率知識(shí),感受概率研究源于生活,引導(dǎo)學(xué)生思考現(xiàn)象背后的共同特征,把握事物的本質(zhì).

        師:拋一次硬幣,朝上的面的結(jié)果有幾種可能?結(jié)果確定嗎?如果重復(fù)拋100次,并統(tǒng)計(jì)硬幣朝上的面的結(jié)果,又會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象?

        師生活動(dòng):教師播放一段由GeoGebra軟件編程制作的拋硬幣100次模擬試驗(yàn)動(dòng)畫(如圖2),學(xué)生從中體會(huì)“一次試驗(yàn)結(jié)果具有偶然性”“多次重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的頻率具有穩(wěn)定性”.

        師:我們?cè)賮砜匆粋€(gè)更為有趣的情境.

        師生活動(dòng):教師介紹隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)點(diǎn)構(gòu)建的規(guī)則,并引導(dǎo)學(xué)生思考單個(gè)點(diǎn)的產(chǎn)生是否具有隨機(jī)性以及大量點(diǎn)的分布是否具有規(guī)律性. 教師播放一段由Matlab軟件編程制作的3 000余個(gè)隨機(jī)點(diǎn)分布規(guī)律的視頻,其中隨機(jī)點(diǎn)的分布具有明顯的規(guī)律性,呈著名的謝爾賓斯基三角形的形狀(如圖3). 引導(dǎo)學(xué)生共同歸納、總結(jié)以上現(xiàn)象的共同特征:就一次觀測(cè)而言出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性,但是在大量重復(fù)觀測(cè)下各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性,我們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象.

        師:概率是一門非常年輕的學(xué)科,通過閱讀課前導(dǎo)學(xué)資料,我們大致了解了概率的發(fā)展歷史,感受到初中階段我們對(duì)隨機(jī)事件的認(rèn)識(shí)更多的是一些感性認(rèn)識(shí). 高中階段,我們將結(jié)合實(shí)例,從理性的角度準(zhǔn)確刻畫和研究隨機(jī)現(xiàn)象.

        教師引出本節(jié)課的課題——有限樣本空間與隨機(jī)事件.

        【設(shè)計(jì)意圖】分別選擇經(jīng)典和有趣的情境,引導(dǎo)學(xué)生通過歸納獲得隨機(jī)現(xiàn)象的共同特征,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究隨機(jī)現(xiàn)象的好奇心,幫助學(xué)生體會(huì)隨機(jī)思想,明確研究對(duì)象.

        2. 發(fā)現(xiàn)問題,引出集合

        問題2:為什么要引入集合來描述隨機(jī)事件?

        師:隨機(jī)現(xiàn)象的頻率穩(wěn)定性需要基于大量重復(fù)觀測(cè),所以對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)和觀察是必需的. 因此我們定義隨機(jī)試驗(yàn)的概念:為研究某種隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律,我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和同時(shí)對(duì)它的觀察,稱為隨機(jī)試驗(yàn).

        師生活動(dòng):結(jié)合實(shí)例,對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行解析,明確試驗(yàn)分為現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和結(jié)果的觀察兩個(gè)步驟.

        【設(shè)計(jì)意圖】通過隨機(jī)試驗(yàn)內(nèi)涵的解釋將研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為試驗(yàn)結(jié)果.

        師:完成一個(gè)試驗(yàn)后,最關(guān)心的是試驗(yàn)結(jié)果. 不妨來看對(duì)學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)過的一個(gè)例子的改編.

        例? 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù). 擲一次骰子,觀察骰子向上的一面. 思考以下問題:

        (1)可能出現(xiàn)哪些點(diǎn)數(shù)?

        (2)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是奇數(shù)嗎?

        (3)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是3的倍數(shù)嗎?

        (4)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是3嗎?

        (5)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)大于0嗎?

        (6)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是7嗎?

        師生活動(dòng):教師讓學(xué)生回答以上問題,并根據(jù)事件發(fā)生的可能性,分別標(biāo)記為隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件.

        【設(shè)計(jì)意圖】從初中學(xué)習(xí)過的問題切入,讓學(xué)生回顧初中的概率知識(shí),貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū),層層遞進(jìn).

        追問1:能否用一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式,更加簡(jiǎn)潔地把以上事件表示出來?不妨以“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是奇數(shù)嗎?”為例,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)包含哪些結(jié)果?

        師生活動(dòng):學(xué)生可以逐一寫出問題(1) ~ (5)對(duì)應(yīng)事件包含的結(jié)果情況,但寫不出問題(6)對(duì)應(yīng)事件包含的結(jié)果情況.

        追問2:沒有結(jié)果,如何表示?

        師生活動(dòng):學(xué)生自然想到用空集[?]來表示,并將以上結(jié)果都統(tǒng)一為集合的形式,實(shí)現(xiàn)將每個(gè)事件都與一個(gè)集合對(duì)應(yīng)起來.

        【設(shè)計(jì)意圖】以表示每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的結(jié)果為契機(jī),誘發(fā)“沒有結(jié)果如何表示”的困惑. 借助用空集表示“沒有結(jié)果”自然引出統(tǒng)一用集合形式來表示每個(gè)事件,讓學(xué)生充分感受引入集合表示隨機(jī)事件的合理性和必要性.

        3. 依托實(shí)例,建構(gòu)概念

        問題3:如何用集合定義隨機(jī)事件?

        追問1:集合都以什么對(duì)象作為元素?把所有可能的元素放一起構(gòu)成的全集是什么?

        師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生抽象出集合以每次試驗(yàn)的結(jié)果作為元素,把所有可能的結(jié)果放一起構(gòu)成的全集是整個(gè)事件. 并結(jié)合該實(shí)例,分別定義試驗(yàn)的樣本點(diǎn)ω和樣本空間 Ω 的概念.

        追問2:?jiǎn)栴}(1) ~ (6)中的每個(gè)事件分別對(duì)應(yīng)一個(gè)集合,它們與全集的關(guān)系是什么?

        師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生把必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形,從而獲得“所有隨機(jī)事件都是樣本空間 Ω 的一個(gè)子集”的認(rèn)知.

        【設(shè)計(jì)意圖】以實(shí)例為載體,分別引入樣本點(diǎn)、樣本空間和隨機(jī)事件的集合化概念,避免概念過于抽象,便于學(xué)生理解和厘清關(guān)系.

        4. 研讀教材,建構(gòu)關(guān)系

        問題4:樣本點(diǎn)、樣本空間與隨機(jī)事件之間有何關(guān)系?

        師:將以上概念推廣到一般,為加深理解,厘清它們之間的關(guān)系,請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才的實(shí)例,自主研讀教材第228 ~ 230頁(yè)的內(nèi)容,提取“樣本點(diǎn)、樣本空間、有限樣本空間、隨機(jī)事件、事件發(fā)生、基本事件、必然事件、不可能事件”等概念集合化的準(zhǔn)確定義,并用Venn圖將樣本點(diǎn)、樣本空間與隨機(jī)事件、基本事件等的關(guān)系表示出來.

        師生活動(dòng):學(xué)生自主研讀,獲取相關(guān)概念的準(zhǔn)確定義,并依據(jù)對(duì)概念的理解在課堂任務(wù)單上用Venn圖表示它們之間的關(guān)系. 教師進(jìn)行巡視和指導(dǎo),并引導(dǎo)學(xué)生共同完成不同概念間相互關(guān)系的建構(gòu),如圖4所示.

        【設(shè)計(jì)意圖】合理使用教材,自主研讀,培養(yǎng)學(xué)生通過自主閱讀獲取信息的能力. 同時(shí),把教學(xué)的重心置于引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)概念的理解和準(zhǔn)確辨析概念之間的關(guān)系.

        5. 探究對(duì)比,準(zhǔn)確表示

        問題5:如何恰當(dāng)?shù)乇硎倦S機(jī)試驗(yàn)的樣本空間和隨機(jī)事件?

        探究1:對(duì)比分析,不同的試驗(yàn)背景為什么對(duì)應(yīng)相同的樣本空間?

        試驗(yàn)1:足球比賽的開球權(quán)是由主裁判“拋硬幣”決定的. 在一場(chǎng)足球比賽開賽前,主裁判拋擲一枚專用的硬幣,觀察它落地時(shí)朝上的面的情況,寫出試驗(yàn)的樣本空間.

        師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生分析這個(gè)試驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)和結(jié)果,思考如何表示樣本空間. 學(xué)生獨(dú)立思考,教師巡視指導(dǎo),并挑選不同的寫法代表進(jìn)行展示,引導(dǎo)學(xué)生分享交流. 在大部分學(xué)生用文字進(jìn)行抽象表示的基礎(chǔ)上,教師啟發(fā)學(xué)生思考是否可以將其進(jìn)一步抽象為更簡(jiǎn)潔的形式.

        師生活動(dòng):學(xué)生提出還可以用字母、數(shù)字、符號(hào)等形式來進(jìn)行抽象表示. 教師指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書寫,并特別強(qiáng)調(diào)在用字母和數(shù)字形式表示時(shí)要交代字母和數(shù)字的含義. 教師總結(jié)并提供四種不同抽象程度的寫法,引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)由實(shí)物逐步文字化、字母化和數(shù)字化的數(shù)學(xué)抽象過程,并特別強(qiáng)調(diào)數(shù)字化表示的重要性和實(shí)用性.

        方法1:Ω1用圖片表示,Ω1={正面的圖片,反面的圖片}

        方法2:Ω1={正面,反面}.

        方法3:設(shè)用z表示“正面”,用 f 表示“反面”,則Ω1={z,f}.

        方法4:設(shè)用1表示“正面”,用0表示“反面”,則Ω1={1,0}.

        【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生獨(dú)立完成與交流分享相結(jié)合的方式,培養(yǎng)學(xué)生冷靜思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣,并及時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià)反饋. 通過逐步文字化、符號(hào)化和數(shù)字化表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的過程,培養(yǎng)學(xué)生的理性精神,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

        試驗(yàn)2:小明正在做一項(xiàng)“生男生女是否真的等可能”的統(tǒng)計(jì)調(diào)查,他隨機(jī)選擇一個(gè)獨(dú)生子女家庭,觀察其孩子的性別,試寫出該試驗(yàn)的樣本空間.

        師:這個(gè)試驗(yàn)是否也可以用數(shù)字0,1來寫出其樣本空間?如果可以,在任務(wù)單上寫出來.

        師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考后,表示可以寫出與Ω1={1,0}完全相同的樣本空間,教師巡視并進(jìn)行評(píng)價(jià)反饋.

        追問1:不同的試驗(yàn)背景,為什么能寫出相同的樣本空間?

        師生活動(dòng):師生共同探討,總結(jié)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果個(gè)數(shù)相同,都只有兩個(gè)結(jié)果.

        追問2:你還能舉出生活中可以用0,1來表示的隨機(jī)試驗(yàn)的例子嗎?

        師生活動(dòng):學(xué)生通過大量舉例,真切感受不同的試驗(yàn)背景,經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)抽象,樣本空間都可以用0,1來表示,就可以把它們轉(zhuǎn)化為相同的試驗(yàn)?zāi)P蛠斫鉀Q問題.

        【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)比不同的隨機(jī)試驗(yàn)背景卻可以寫出相同的樣本空間建立相同的試驗(yàn)?zāi)P?,滲透模型轉(zhuǎn)化的思想方法.

        探究2:對(duì)比分析,相同的試驗(yàn)背景為什么可以寫出不同的樣本空間?

        試驗(yàn)1:拋擲兩枚硬幣,觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況,寫出試驗(yàn)的樣本空間.

        師:分析試驗(yàn),有多少種可能的基本結(jié)果?可以用什么樣的形式來表示兩枚硬幣的結(jié)果?

        師生活動(dòng):學(xué)生結(jié)合樹狀圖、列表等方式分析試驗(yàn)的基本結(jié)果,并采用適當(dāng)?shù)男问綄懗鰳颖究臻g. 教師巡視并指導(dǎo),挑選不同的寫法代表進(jìn)行展示,引導(dǎo)學(xué)生分享交流.

        預(yù)設(shè)學(xué)生主要有兩種不同的表示方法:第一種,把拋擲兩枚硬幣看成先拋一枚再拋第二枚,并用1表示“正面”,0表示“反面”,樣本空間為Ω1={1,1, 1,0, 0,1, 0,0};第二種,不區(qū)分硬幣,以觀察落地時(shí)朝上的面的情況為目的,樣本空間為Ω2={正正,正反,反反}.

        師:在第一種表示中,為表示兩枚硬幣的結(jié)果,我們可以用坐標(biāo)形式的有序數(shù)對(duì)x1,x2來表示. 依此類推,要表示n枚硬幣的結(jié)果,我們可以用n維坐標(biāo)形式的有序數(shù)對(duì)x1,x2,…,xn來表示.

        追問1:第二種表示方法可以嗎?如果可以,為什么相同的試驗(yàn)卻寫出了不同的樣本空間?

        師生活動(dòng):引發(fā)學(xué)生思考,發(fā)現(xiàn)因?yàn)橛^察角度和目的不同導(dǎo)致寫出了不同的樣本空間.

        【設(shè)計(jì)意圖】通過增加硬幣枚數(shù),引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合樹狀圖、列表等方式分析復(fù)雜的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果,并用n維坐標(biāo)形式的有序數(shù)對(duì)來表示n維樣本點(diǎn);通過分享交流不同的樣本空間,發(fā)現(xiàn)明確試驗(yàn)的觀察角度和目的,對(duì)寫出準(zhǔn)確的樣本空間至關(guān)重要.

        試驗(yàn)2:拋擲兩枚硬幣,觀察它們落地時(shí)朝上的面為正面的枚數(shù),寫出試驗(yàn)的樣本空間.

        師:兩個(gè)試驗(yàn)背景相同,但觀察的角度和目的不相同.

        師生活動(dòng):學(xué)生在試驗(yàn)1的基礎(chǔ)上,容易寫出樣本空間Ω3={2,1,0}.

        追問2:相同的試驗(yàn)背景,為什么寫出不同的樣本空間?

        師生活動(dòng):通過對(duì)比、分析,師生共同總結(jié)出對(duì)于相同的試驗(yàn)背景,基于不同的觀察目的,可能寫出不同的樣本空間.

        【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)比試驗(yàn),強(qiáng)調(diào)明確試驗(yàn)的觀察角度和目的,對(duì)寫出準(zhǔn)確的樣本空間至關(guān)重要.

        6. 應(yīng)用鞏固,引出路線

        問題6:是否可以類比集合的關(guān)系和運(yùn)算來明確研究隨機(jī)事件的學(xué)習(xí)路線?

        練習(xí):如圖5,一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電路元件,每個(gè)元件可能正常,也可能失效. 把這個(gè)電路是否為通路看成一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象,對(duì)整個(gè)電路進(jìn)行一次檢查,觀察各元件是否正常.

        師:寫出試驗(yàn)的樣本空間并用集合表示事件“恰好兩個(gè)元件正?!薄半娐肥峭贰薄半娐肥菙嗦贰?

        師生活動(dòng):利用前面兩個(gè)探究得到的成果,解決更復(fù)雜的實(shí)際問題. 教師引導(dǎo)學(xué)生分析試驗(yàn)的所有可能結(jié)果,選擇合適的符號(hào)形式,按要求規(guī)范地寫出樣本空間;引導(dǎo)學(xué)生分析隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,并用集合表示出來.

        追問:對(duì)比分析事件“電路是通路”與事件“電路是斷路”,兩者有何關(guān)系?

        師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生分別從生活角度和集合角度分析這兩個(gè)事件的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)在生活中是相對(duì)的,從集合的角度是互補(bǔ)的,從而引出“互補(bǔ)的兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)兩個(gè)相互對(duì)立的事件”的猜想,由此引出下節(jié)課將通過研究集合的運(yùn)算來研究事件之間的關(guān)系.

        【設(shè)計(jì)意圖】通過較復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境鞏固所學(xué),檢測(cè)學(xué)生能否準(zhǔn)確寫出試驗(yàn)的樣本空間和隨機(jī)事件,同時(shí)借助分析事件關(guān)系與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系,引出后續(xù)研究?jī)?nèi)容,明晰整體單元學(xué)習(xí)主線.

        7. 回顧總結(jié),素養(yǎng)提升

        (1)知識(shí)路徑回顧.

        教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)獲得的路徑,再次明確知識(shí)生成的主線,明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 具體知識(shí)路徑為“隨機(jī)現(xiàn)象—隨機(jī)試驗(yàn)—試驗(yàn)結(jié)果—集合表示(樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件、事件發(fā)生、事件關(guān)系等)—正確表示試驗(yàn)的樣本空間、隨機(jī)事件”.

        (2)思想方法總結(jié).

        教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課主要用到如下數(shù)學(xué)思想方法:由特殊到一般的歸納、轉(zhuǎn)化思想;由生活化到符號(hào)化、數(shù)字化的數(shù)學(xué)抽象思想;由一個(gè)問題到一類問題的模型轉(zhuǎn)化思想.

        (3)素養(yǎng)能力提升.

        教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn),通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考實(shí)際問題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)生活現(xiàn)象的過程,不僅收獲了數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,更獲得了解決生活實(shí)際問題的能力.

        【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)知識(shí)、方法、技能進(jìn)行總結(jié)、反思和升華,促進(jìn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)內(nèi)容和思想方法的理解與認(rèn)識(shí).

        8. 分級(jí)作業(yè),學(xué)以致用

        (1)知識(shí)鞏固.

        任務(wù):完成教材第231頁(yè)練習(xí)的第1 ~ 3題.

        目的:練習(xí)準(zhǔn)確書寫隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間,并用集合準(zhǔn)確表示隨機(jī)事件.

        (2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

        任務(wù):用拋骰子的方式完成謝爾賓斯基三角形的產(chǎn)生.

        目的:討論分析其規(guī)律性產(chǎn)生的原因.

        (3)跨學(xué)科應(yīng)用.

        任務(wù):查閱資料或走訪氣象局專家.

        目的:深入了解天氣預(yù)報(bào)中“明天下雨的概率為70%”的預(yù)報(bào)原理和意義.

        【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)三級(jí)課后作業(yè),確保學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),能運(yùn)用所學(xué)探求現(xiàn)象背后的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生理性的科學(xué)精神;能跨學(xué)科融合,運(yùn)用所學(xué)解決生活實(shí)際問題.

        六、課堂板書設(shè)計(jì)

        基于本節(jié)課的實(shí)際,采用提綱式與對(duì)比式相結(jié)合的形式進(jìn)行板書設(shè)計(jì)(如圖6). 既有利于呈現(xiàn)核心概念,又有利于呈現(xiàn)初中階段和高中階段所學(xué)隨機(jī)事件概念的區(qū)別與聯(lián)系.

        參考文獻(xiàn):

        [1]中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

        [2]史寧中,王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》解讀[M]. 北京:高等教育出版社,2020.

        [3]程??陆ㄜS. 用樣本空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象定義隨機(jī)事件的概率發(fā)展學(xué)生的隨機(jī)觀念[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2021,60(5):1-9,17.

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