李娜娜　陳昕

摘? 要：“有限樣本空間與隨機事件”是一節(jié)較為經(jīng)典的數(shù)學概念課. 這節(jié)課的教學設(shè)計和實施較好地遵循了數(shù)學概念獲得的一般流程. 作為高中“概率”單元的起始課，這節(jié)課著眼于大單元教學目標，采用基于情境和問題導向的課堂教學方式，從學生初中階段的學習認知出發(fā)，逐步形成以集合論為基礎(chǔ)的數(shù)學觀，建立在集合基礎(chǔ)上的樣本空間與隨機事件的概念. 在教師的引導下，數(shù)學探究學習貫穿了整堂課教與學的過程，幫助學生獲得“四基”，提高“四能”，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：概念課；集合思想；問題導向；數(shù)學探究

“有限樣本空間與隨機事件”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第二冊第十章“概率”第一節(jié)“隨機事件與概率”第1課時的內(nèi)容，主要內(nèi)容是以經(jīng)典問題和情境為載體，建立在集合基礎(chǔ)上的樣本空間與隨機事件的概念，為后續(xù)概率內(nèi)容的學習打下堅實的基礎(chǔ).

樣本空間與隨機事件等概念的探究過程滲透歸納類比、數(shù)學抽象、模型轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，關(guān)注數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

數(shù)學課型按教學內(nèi)容和形式分類，可以分為概念課、規(guī)則課、解題課和復習課等.“有限樣本空間與隨機事件”是一節(jié)典型的概念課，具有很強的代表性. 下面就從執(zhí)教教師對本節(jié)課的教學定位、樣本空間和隨機事件概念的抽象、本節(jié)課的教學設(shè)計與實施三個角度談談筆者的看法.

一、關(guān)于本節(jié)課的教學定位

1. 課程標準的要求

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）對“有限樣本空間與隨機事件”的要求是“結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系”. 在學習本節(jié)課之前，學生在初中階段已經(jīng)形成了對隨機現(xiàn)象、隨機事件描述性的感性認識，但不能用數(shù)學語言準確刻畫隨機事件，導致不能準確地理解隨機現(xiàn)象與隨機事件的關(guān)系，不能表達事件與事件的關(guān)系，進而不能解決生活中更為復雜的概率問題. 因此，教師需要結(jié)合大量實例情境，搭設(shè)合適的探究過程和遞進的啟發(fā)問題，使學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，讓學生理解引入集合語言對隨機事件進行刻畫的合理性和必要性.

作為高中“概率”單元的起始課，基于整體單元化教學的需要，本節(jié)課兼具知識預備和單元導引的雙重價值——架起學生認知結(jié)構(gòu)中新、舊知識之間的橋梁，引導學生了解概率的研究對象、研究方法和研究路徑. 主要任務是抽象概率的研究對象，重點是抽象出有限樣本空間和隨機事件的概念. 在初中描述性定義的基礎(chǔ)上，通過不同實例抽象出概念，進一步用集合工具對有限樣本空間、樣本點、隨機事件等核心概念用數(shù)學語言進行精確、簡潔地表達.

2. 為什么要引入樣本空間

集合是現(xiàn)代數(shù)學中重要的數(shù)學思想方法和語言，幾乎所有的數(shù)學過程都從構(gòu)造集合開始，概率論也不例外. 用集合語言重構(gòu)相關(guān)概念有以下幾點優(yōu)勢：將實際問題數(shù)學化，用數(shù)學方法與思想研究數(shù)學問題；符號化語言描述概率問題更加簡練、準確；把隨機事件看成樣本空間的子集，揭示了隨機事件的本質(zhì)；類比集合的關(guān)系與運算，更好地理解事件的關(guān)系和運算的意義；有利于揭示隨機變量的本質(zhì)（樣本空間到實數(shù)集的映射）.

3. 教學問題診斷及突破策略

經(jīng)過初中階段的學習，加之直覺生活經(jīng)驗，學生對隨機現(xiàn)象和隨機事件有了初步的感性認識. 本節(jié)課用集合語言對“隨機事件”的概念進行重構(gòu)，是學生首次接觸. 選擇集合語言表示樣本空間，是概率建模的關(guān)鍵一步，但面對隨機試驗可能出現(xiàn)的不同結(jié)果，學生首先想到的是用“自然語言”表達，缺乏用適當集合語言構(gòu)建樣本空間的程序與技巧. 因此，自然語言和集合語言之間的相互轉(zhuǎn)換是學習的一個難點.

為了突破這一難點，執(zhí)教教師從學生熟知的拋擲骰子試驗入手，通過問題串引導學生自主探究、交流分享，并及時進行評價反饋. 以“隨機現(xiàn)象數(shù)學化”為導向，以“不同語言的相互轉(zhuǎn)換”為手段，針對樣本點、樣本空間、隨機事件及其關(guān)系等提出一系列問題，層層遞進，貼近學生思維的最近發(fā)展區(qū).

二、關(guān)于樣本空間和隨機事件的概念抽象

本節(jié)課最關(guān)鍵的內(nèi)容為樣本空間和隨機事件概念的抽象. 執(zhí)教教師對這兩個概念抽象的流程非常清晰.

樣本空間的概念抽象過程：提供具體的隨機試驗—分析試驗的可能結(jié)果—語言描述—符號表示—樣本點—集合表示所有樣本點—樣本空間—有限樣本空間.

隨機事件的概念抽象過程：描述性定義—明確事件發(fā)生的意義—逐步將隨機事件抽象為樣本空間的子集.

在概念的抽象過程中，執(zhí)教教師通過設(shè)計問題串，給予學生充分探究與展示交流的機會，特別重視訓練學生自然語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化.

三、關(guān)于本節(jié)課的教學設(shè)計與實施

1. 設(shè)置感性情境，抽象理性概念

首先，執(zhí)教教師將數(shù)學課堂與信息技術(shù)相融合，選擇學生熟悉的拋硬幣試驗與有趣的謝爾賓斯基三角形試驗創(chuàng)設(shè)情境，運用GeoGebra軟件和Matlab軟件編程，制作重復試驗動畫，使學生通過觀察發(fā)現(xiàn)：一次拋硬幣試驗具有“偶然性”，但大量重復試驗之后，結(jié)果會呈現(xiàn)“穩(wěn)定性”（如圖1）；一開始點的產(chǎn)生具有隨機性，呈“散亂”狀態(tài)，當大量點（3 000余個）出現(xiàn)的時候，結(jié)果也呈“穩(wěn)定”狀態(tài)（如圖2）. 這種感性的情境激發(fā)了學生的好奇心，也引發(fā)了學生的理性思考. 從“偶然性”到“穩(wěn)定性”，從“散亂”到“穩(wěn)定”，激發(fā)了學生學習概率的興趣.

接下來，為引入集合語言，執(zhí)教教師選擇了學生非常熟悉的拋擲骰子試驗作為情境，并針對試驗結(jié)果提出六個問題：可能出現(xiàn)哪些點數(shù)？出現(xiàn)的點數(shù)會是奇數(shù)嗎？出現(xiàn)的點數(shù)會是3的倍數(shù)嗎？出現(xiàn)的點數(shù)會是3嗎？出現(xiàn)的點數(shù)會大于0嗎？出現(xiàn)的點數(shù)會是7嗎？前五個問題較容易回答，第六個問題學生能自然想到用空集[?]來表示.

執(zhí)教教師趁勢引導，與學生充分互動、交流，將六個問題的結(jié)果都統(tǒng)一為集合的形式，實現(xiàn)將每個事件都跟集合對應起來. 這是實現(xiàn)理性抽象，用集合語言精準表達的過程. 圖表的呈現(xiàn)，更加直觀地展示了樣本點、樣本空間與隨機事件、基本事件等的關(guān)系，如圖3所示.

2. 設(shè)計探究問題，提升能力素養(yǎng)

探究1：足球比賽的開球權(quán)是由主裁判“拋硬幣”決定的. 在一場足球比賽開賽前，主裁判拋擲一枚專用的硬幣，觀察它落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.

方法1：Ω₁用圖片表示，Ω₁={正面的圖片，反面的圖片}.

方法2：Ω=正面，反面.

方法3：設(shè)用z表示“正面”，用 f 表示“反面”，則Ω₁={z，f}.

方法4：設(shè)用1表示“正面”，用0表示“反面”，則Ω₁={1，0}.

學生口頭回答，執(zhí)教教師引導啟發(fā)，總結(jié)提供以上四種不同抽象程度的寫法，經(jīng)歷“實物—文字—字母—數(shù)字”的數(shù)學抽象過程. 執(zhí)教教師特別強調(diào)了數(shù)字化表示形式的重要性和實用性，為學生后續(xù)概率的學習打下基礎(chǔ).

探究2：（1）拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.

（2）拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面為正面的枚數(shù)，寫出試驗的樣本空間.

對于第（1）小題，學生結(jié)合樹狀圖、列表等方式分析試驗的基本結(jié)果，并采用適當?shù)男问綄懗鰳颖究臻g. 教師巡視并指導，挑選不同的寫法代表進行展示，引導學生分享交流. 對于第（2）小題，對比第（1）小題，兩個試驗背景相同，但觀察的角度和目的不相同. 據(jù)此，教師引導學生歸納總結(jié)：相同的試驗背景，基于不同的觀察目的，可能寫出不同的樣本空間.在這個過程中，執(zhí)教教師通過提出問題，遞進探究，培養(yǎng)學生的理性思維能力. 整個教學過程按照教師的預設(shè)來推進，學生知識的生成水到渠成.

探究3：如圖4，一個電路中有A，B，C三個電路元件，每個元件可能正常，也可能失效. 把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，對整個電路進行一次檢查，觀察各元件是否正常.

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）用集合表示事件“恰好兩個元件正?！薄半娐肥峭贰薄半娐肥菙嗦贰?

該探究是一個較復雜的電路問題. 第（1）小題要求學生用集合語言表示樣本空間，鞏固前面所學. 第（2）小題為后續(xù)古典概型的學習作準備. 整個探究過程，先分析試驗結(jié)果，用符號表示樣本空間，接下來分析隨機事件，能夠?qū)懗鰧臉颖军c. 通過綜合分析解決問題，提升學生的數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng).

3. 瞄準兩個理解，精準實施教學

（1）理解數(shù)學.

從理解數(shù)學的角度來看，理解《標準》，尊重教材，所有的問題情境幾乎都來源于教材. 執(zhí)教教師對教材的設(shè)計意圖理解到位，主線清晰（如圖5），重點突出. 概念抽象的過程比較充分.

（2）理解教學.

問題的設(shè)計能激發(fā)學生的積極思考，數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程合理. 問題的挑戰(zhàn)性激發(fā)了學生思維的不斷深入，學生思維過程合理.

四、小結(jié)

1. 聚焦單元主題

作為“概率”起始課，注重從整體教學入手，聚焦大單元主題——集合思想的統(tǒng)領(lǐng). 核心概念串珠成線，織線成網(wǎng)，形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).

2. 提煉思想方法

從對隨機事件的感性認識到用集合工具進行精準定義，不同試驗得到相同的樣本空間，從不同的觀察角度準確表達相應的樣本空間，都提煉了抽象、建模、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法和學科關(guān)鍵能力.

3. 示范引領(lǐng)教學

作為概念課型，經(jīng)歷了由回顧以往認知到引發(fā)認知沖突，從抽象概念到釋義與辨析、應用概念深化認知等過程，逐步形成以集合論為基礎(chǔ)的數(shù)學觀，較好地示范了數(shù)學概念課型的教學過程，有效展示了數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑，充分體現(xiàn)新課改的課堂教學方向.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］王姍，程?？? 有限樣本空間和隨機事件教學設(shè)計、教學反思與點評（續(xù)）［J］. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2021（9）：14-16.