摘? 要：發(fā)展高階能力的關(guān)鍵是設(shè)置挑戰(zhàn)性任務(wù). 在數(shù)學教學中，根據(jù)教學內(nèi)容制訂層次性目標，通過變換任務(wù)空間、變換任務(wù)的結(jié)構(gòu)序列和變換任務(wù)生成的主體使設(shè)計的任務(wù)具有挑戰(zhàn)性，通過布置選擇性作業(yè)，激發(fā)學生生成課堂所要探究的內(nèi)容和方法，發(fā)展學生的高階能力.

關(guān)鍵詞：高階能力；數(shù)學教學；教學設(shè)計

高階能力是以高階思維為核心解決復雜任務(wù)的心理特征. 數(shù)學教學中發(fā)展高階能力主要是運用數(shù)學概念、原理和學生元認知，通過抽象、推理、建模、批判、問題解決與決策、自我調(diào)節(jié)等技能，達到理解應用、分析評價、創(chuàng)造等水平的高層次能力. 通過分析數(shù)學內(nèi)容的思維層次和學生思維的落腳點，制訂層次性目標，設(shè)計挑戰(zhàn)性任務(wù)，并布置選擇性作業(yè)，引發(fā)學生思考，從而發(fā)展學生的高階能力.

下面以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）中的“4.5 三角形的中位線”為例，談?wù)勅绾卧O(shè)計教學安排，實現(xiàn)學生高階能力的發(fā)展.

一、制訂層次性目標

數(shù)學課程目標包括“了解”“理解”“掌握”“運用”等表述結(jié)果目標的行為動詞和“經(jīng)歷”“體驗”“感悟”“探索”等表述過程目標的行為動詞. 通過細化目標層次，導向?qū)W生高階能力的發(fā)展.

1. 教學目標體現(xiàn)思維層級

以知識、技能為載體的數(shù)學教學目標中蘊含的主線是發(fā)展學生思維能力的層級.

在三角形的中位線定理的證明中，目標1是能分析三角形的中位線定理的組成要素、結(jié)構(gòu)（要素組成關(guān)系）等. 目標2是綜合、選擇和關(guān)聯(lián)各要素，尋找策略，屬于比較、綜合的思維層次. 如圖1，DE是△ABC的中位線，證明DE平行且等于1/2BC. 那么，什么知識涉及線段平行呢？可關(guān)聯(lián)到平行四邊形的知識（對邊平行且相等）. 圖1中DE明顯不等于BC，結(jié)合題目要求證明“DE等于1/2BC”，想到延長DE，構(gòu)造平行四邊形. 這是在尋找模型的過程，進一步反思條件和結(jié)論，對照平行四邊形的模型特征“對邊平行且相等”，聯(lián)通條件與結(jié)論，得到解決途徑. 目標3是通過比較尋求合適的操作辦法. 有多種方法可以得到平行四邊形，如通過中心對稱、延長法、截短法、同一法等. 比較不同的作法，抓住平行的本質(zhì)特征，經(jīng)過比較、反思、決策得到最優(yōu)方案. 目標4是回顧、提煉與拓展，體現(xiàn)創(chuàng)造性思維水平. 例如，思考：當D，E是三等分點、n等分點時，還能得到相關(guān)結(jié)論嗎？當倍半關(guān)系變成線段比值為k時，條件需要怎么變化？當將三角形的兩邊中點拓展成四邊形的兩邊中點、多邊形的兩邊中點時，又能得到什么結(jié)論呢？這些任務(wù)指令促進學生進行方法遷移和拓展.

2.“探索”目標對應高階思維能力

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中，表述過程目標的行為動詞刻畫了學生數(shù)學活動的能力水平.“探索”目標所描述的數(shù)學內(nèi)容的學習特征與反映高階思維能力的活動完全一致，如表1所示.

落實“探索”目標，可以有效促進學生高階思維的參與. 例如，《標準》要求探索并證明三角形的中位線定理. 學生想要探索三角形的中位線的性質(zhì)，就要分析：三角形的中位線與原三角形有什么關(guān)系？三角形的中位線與什么元素有關(guān)系？它們之間是什么關(guān)系？用什么樣的方式得到關(guān)系？教師通過讓學生嘗試猜測并驗證得到結(jié)論，而不是讓學生“測量”，暗示線段之間的數(shù)量關(guān)系. 探索任務(wù)啟發(fā)學生形成思考途徑. 第一步，確定研究對象是三角形的中位線，是一條線段. 第二步，考慮這條線段與相關(guān)線段（如三角形的三邊，包括與之相交的兩邊及第三邊）的關(guān)系，涉及數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系. 第三步，得到三角形的中位線與相交的兩邊的關(guān)系. 學生在猜測三角形的中位線與第三邊的關(guān)系時會有一定難度，因此可以從特殊三角形（已有經(jīng)驗）入手. 根據(jù)對等邊三角形和直角三角形的分析（如圖2），由學生猜測一般三角形的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半. 第四步，由學生畫圖，寫出已知、求證，并證明. 第五步，學生用自己的語言歸納和概括得到三角形的中位線定理. 第六步，得到概念后進一步辨析、應用和拓展，對概念的基本要素進一步收斂和發(fā)散.

知識探究過程，也是思維序化的過程. 外在知識與學生經(jīng)驗之間互相轉(zhuǎn)化，通過調(diào)動學生以往的經(jīng)驗來參與當下的學習，同時將當下的學習內(nèi)容與已有的經(jīng)驗建立起結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián)，發(fā)展學生的關(guān)聯(lián)能力及系統(tǒng)化自主建構(gòu)能力，從而指向高階能力的發(fā)展.

3. 思維行為顯化高階能力

課堂中，由學生推斷、說理，概括、歸納思維路徑，并對思維過程進行評價、反思、遷移和創(chuàng)造，形成探究幾何圖形的一般能力和學習的關(guān)鍵能力.

解決問題只是完成任務(wù)的一部分，進一步要求學生“表述思維路徑”及回答“遇到什么挫折，怎么解決所碰到的挫折，提出了什么疑問”是對思維的評價、反思、自我調(diào)適；“找到更好的方法”則驅(qū)動比較評價和發(fā)散的思維；“歸納和提煉方法、主動應用、拓展變式”是系列化、創(chuàng)造的過程；“遷移到學習新知識甚至其他學科”是學習方式的升華，具有方法論的意義，如表2所示.

通過數(shù)學問題的解決，讓學生得到問題研究的一般方法和思考、探究的能力.

二、設(shè)計挑戰(zhàn)性任務(wù)

引發(fā)學生高階能力的關(guān)鍵是要有挑戰(zhàn)性的任務(wù). 通過設(shè)計目標指導下的課程內(nèi)容，使之具有挑戰(zhàn)性，激發(fā)學生應用、創(chuàng)造等高層次思維的參與，實現(xiàn)高階能力的發(fā)展.

1. 變換任務(wù)空間

將封閉性任務(wù)變成開放性任務(wù)，減少對學生思維的限制，增加學生思維的空間．任務(wù)設(shè)置越開放，學生解決問題的方法就越多樣，參與活動的技能就越多元，就越能發(fā)展學生的高階能力．

例如，設(shè)置任務(wù)：如圖1，△ABC是銳角三角形，AB > AC，點D是邊AB的中點，點E在邊AC上. ① 如果DE∥BC，那么DE =1/2BC. ② 如果DE =1/2BC，那么DE∥BC. 上述兩個命題是否成立？若成立，說明理由；若不成立，舉出反例．

解決這個問題，學生需要比較、反思、尋找策略，涉及建模和批判性思維.

再如，得到三角形的中位線定理后，讓學生思考：三角形的中位線描述了哪些量之間的關(guān)系？這些量可能得到什么關(guān)系？學生思考圖1三角形的中位線涉及五個要素：① 點D是邊AB的中點；② 點E是邊AC的中點；③ DE是△ABC的中位線；④ DE∥BC；⑤[DE=1/2BC. 將五個要素中的任意兩個（如①②，①③，①④，①⑤；②③，②④，②⑤；③④，③⑤；④⑤）組成命題的條件，由其余的三個要素作為結(jié)論，得到多個命題，再通過學生證明，列舉反例判定得到真命題和假命題.

進一步思考：三角形的中位線定理反映了圖形中元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系（邊的比例），可以將其進一步推廣得到什么結(jié)論？（為學習平行線分線段成比例定理進而到相似三角形判定作鋪墊.）

在解決問題時，初始認知狀態(tài)和目標認知狀態(tài)之間存在著大量的備選路徑，這些可能存在的狀態(tài)和路徑就構(gòu)成了整個問題空間. 增大問題空間，學生進行問題解決的策略和思考路徑會更擴散，學生創(chuàng)造的機會就更多.

2. 變換任務(wù)序列

將綜合問題分解成基本要素是分析性思維；反過來，將基本要素編制成數(shù)學題，就涉及創(chuàng)造性思維. 變換任務(wù)序列，有利于學生開展逆向思維、審辯式思維，促進高階能力訓練.

（1）分解要素.

一個綜合的數(shù)學題好比復雜的機器，它的基本組成零件是數(shù)學知識要素. 學生解決問題時把綜合問題分解成基本要素，再根據(jù)每個基本要素對應的基本圖形解決問題．

（2）補全要素.

將綜合圖形問題分解成基本圖形，當發(fā)現(xiàn)基本圖形不完整時，把它補完整就需要添加輔助線. 例如，如圖3，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點. 求證：四邊形EFGH是平行四邊形. 條件中有三角形的中位線（如EH）而無三角形，所以要添加輔助線（連接BD）構(gòu)造△ABD. 有關(guān)線段倍半關(guān)系：如圖4，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AF為∠BAC的平分線，交BD于點E，交BC于點F. 求證：OE =1/2FC. 所求的結(jié)論OE =1/2FC涉及線段的倍半關(guān)系，而點O是線段AC，BD的中點，所以考慮三角形的中位線的知識. 根據(jù)三角形的中位線的基本圖形，OE是半線段，看作基本圖形的中位線，缺少中位線基本圖形中三角形的底邊，所以過點C作CG∥OB，交AF的延長線于點G，從而將△ACG這個基本圖形補充完整.

（3）重組、拓展要素.

通過基本要素重組、變換條件、變換結(jié)論、改變圖形的位置、特殊條件一般化等方式，讓學生進行問題的變式和拓展，體驗問題結(jié)構(gòu)和變式本質(zhì). 進一步，由學生根據(jù)基本要素自己編制數(shù)學題，考查學生將零件組成成品的能力，有利于學生體驗數(shù)學概念的本質(zhì)和由基本要素組成圖形結(jié)構(gòu)的過程，有利于激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣. 例如，學生學習了三角形的中位線的性質(zhì)，可以編制有關(guān)“三角形三條中位線的關(guān)系”“四邊形的對邊中點連線、鄰邊中點連線的性質(zhì)”等問題，將中點、平行、線段倍半關(guān)系與其他知識點結(jié)合也可以得到許多數(shù)學題.

3. 變換任務(wù)主體

傳統(tǒng)課堂常用PPT呈現(xiàn)知識，用解題代替數(shù)學教學，學生的自主性和創(chuàng)造性受到限制. 改變?nèi)蝿?wù)設(shè)計的主體時，課堂教學中不由教師預先設(shè)定所要探究的具體內(nèi)容，而是由學生根據(jù)已有知識的邏輯結(jié)構(gòu)生成所要探究的任務(wù). 課堂中的題目由學生根據(jù)數(shù)學知識和情境自己編制出來，學生親歷任務(wù)的產(chǎn)生和解決過程.

由學生自發(fā)得到探究內(nèi)容. 例如，三角形的中位線有什么性質(zhì)？怎么研究？學生知道要研究三角形的中位線的性質(zhì)，所以要思考研究性質(zhì)要從哪些角度入手，要確定這條中位線與原有三角形的要素（邊、角、三線）的關(guān)系，從而確定研究對象，進一步思考它們之間存在的數(shù)量關(guān)系或者位置關(guān)系. 學生探究得到三角形的中位線定理后，思考它適用于解決什么類型的問題，有哪些涉及三角形的中位線的數(shù)學題. 因此，學生要分析三角形的中位線相關(guān)要素之間的關(guān)系. 學生自主探究時，聚焦了學生感興趣的內(nèi)容，是自我探索的開端，屬于自我調(diào)整策略系統(tǒng)，同時需要啟動已有知識和策略，有利于更大程度地促進學生創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

由學生進行群組互動并反饋探究任務(wù)得到的思維成果和經(jīng)驗. ① 反饋各自的觀點. ② 反饋有創(chuàng)造性的想法，包括有創(chuàng)造性但沒有形成結(jié)論的想法和有創(chuàng)造性但形成的結(jié)論是錯誤的想法. ③ 反饋多種不同的想法，許多學生想到一種證明方法后，往往就不再思考其他策略，所以應該培養(yǎng)學生養(yǎng)成追蹤問題的本質(zhì)的習慣，證明三角形的中位線定理的關(guān)鍵是將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，由平行四邊形的判定方法可以得到多種思考方法. ④ 反饋思維路徑及其發(fā)現(xiàn)過程，包括中間遇到的挫折，許多學生對圖1有中心對稱的意識，但是想不到作中心對稱的對象是△ADE，相反情況是學生知道要改變△ADE的位置，但不會用中心對稱說明，習慣用全等來解釋（這也說明學生對中心對稱的相應內(nèi)容沒有具體化）. ⑤ 反饋學生還有什么疑問或產(chǎn)生了什么新問題，如有的學生提出疑問：為什么要把三角形的內(nèi)容安排在平行四邊形的學習框架中，這說明學生是結(jié)構(gòu)化、整體性地思考問題，把學習內(nèi)容不斷地納入自我的知識系統(tǒng). ⑥ 學生不僅反饋編制的數(shù)學題，還反饋問題編制的策略和路徑及所編問題的創(chuàng)新點. 在數(shù)學推理和交流中，學生經(jīng)歷比較、批判、決策等過程，發(fā)展了分析、評價、創(chuàng)造等高階能力.

三、布置選擇性作業(yè)

一般一堂新課涉及5個知識點，每個知識點設(shè)置3個層次的練習題，遵循學生的思維特征與知識點之間的邏輯聯(lián)系，以知識模塊為中心，編排一定秩序的序列作業(yè)題，那么每天的數(shù)學作業(yè)量約是15道數(shù)學題.

1. 作業(yè)選擇

對于“三角形的中位線”這節(jié)課，教材上有9道數(shù)學題（教材第99頁的課內(nèi)練習有2道題，第100頁的作業(yè)題有5道題，第107頁的目標與評定有2道題），加上作業(yè)本中的7道題，共16道數(shù)學題，可以供學生進行如下選擇.

（1）由學生選擇其中涉及不同知識點或不同層次的9道數(shù)學題. 這個作業(yè)比讓學生完成全部作業(yè)要求更高，因為它要求學生區(qū)分題目所考查的具體知識要素和思維層次.

（2）由學生選做其中涉及不同知識點的6道題，并分解每道題中的基本要素和基本圖形. 要求學生厘清要素，體現(xiàn)分析、綜合、解決問題的能力.

（3）由學生選做其中涉及不同知識點的3道題，同時由學生根據(jù)知識要素自主編題. 選出學生編的好題，以學生姓名命名向全班張貼展示，其他學生若有更好的解答，則姓名會被相繼替換. 這種作業(yè)可以體現(xiàn)學生的創(chuàng)造能力和比較反思能力.

2. 作業(yè)交互

每周末學生輪當“小老師”向全班反饋編題意圖及關(guān)鍵點、解法優(yōu)越性及突破點、不同解法比較和改進策略. 這個環(huán)節(jié)給學生提供思維碰撞、創(chuàng)造的平臺，學生以題目原創(chuàng)新穎、思維含量高、解法多樣為評價標準，掀起討論數(shù)學、研究數(shù)學的熱情. 學生在實際交互中發(fā)展評價、反思、創(chuàng)造等高階能力.

為了實現(xiàn)作業(yè)探究實踐、學生團隊合作，得到學習創(chuàng)造性成果，可以把作業(yè)前置，使學生有充足的時間和空間保障.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］張娟萍. 高階思維：初中數(shù)學教學變革的新視角［M］. 杭州：浙江大學出版社，2017.