［摘? 要］ 實踐證明，新穎的教育理念，扎實的文化底蘊，多元化的教學(xué)手段，先進(jìn)的運算思想等，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的重要因素. 文章從“親歷過程，感知運算意義”“注重策略，優(yōu)化運算過程”“加強反思，形成良好習(xí)慣”三方面展開闡述.

［關(guān)鍵詞］ 運算能力；策略；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

作者簡介：李春陽（1974—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

運算能力是我國基礎(chǔ)教育的主要內(nèi)容之一，體現(xiàn)著學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng). 一直以來，教師都很重視對學(xué)生運算能力的培養(yǎng)，但因運算問題導(dǎo)致的失分現(xiàn)象還是屢見不鮮. 其主要原因在于學(xué)生對運算的重視程度不夠或理解不夠精準(zhǔn)，只是將目光集中在運算法則的記憶上，而后憑借經(jīng)驗進(jìn)行模仿解題，因?qū)\算的意義缺乏理解，而導(dǎo)致失誤的產(chǎn)生［1］.

本文通過對數(shù)學(xué)運算教學(xué)進(jìn)行分析，并結(jié)合學(xué)生認(rèn)知特點等，談?wù)勗诮虒W(xué)中提高學(xué)生運算能力的具體措施，以期引起各位同行的關(guān)注與思考.

親歷過程，感知運算意義

隨著時代的發(fā)展，繁雜的運算都可以借助先進(jìn)的工具去解決，因而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）對學(xué)生運算的要求并沒有在原來的基礎(chǔ)上提高. 但這并不代表我們可以放寬對運算的要求，降低對學(xué)生運算能力培養(yǎng)的要求. 而應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實際情況與運算的內(nèi)涵，及時調(diào)整教學(xué)手段，尤其要轉(zhuǎn)變只注重計算技巧與熟練度的思想，要將目光轉(zhuǎn)移到對運算意義的理解上.

案例1? “平方差公式”的教學(xué)

“平方差公式”是學(xué)生步入初中階段后遇到的第一個重要的乘法公式，是學(xué)生整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中的重要基礎(chǔ)，也是恒等式變形的主要依據(jù). 這是一個具有特殊形式的乘法，是從一般到特殊的典范，因此教師可將“平方差公式”的運算教學(xué)過程定位成一個模板，供學(xué)生后期學(xué)習(xí)其他內(nèi)容作參考.

教學(xué)時，教師可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷該公式的形成過程，透徹理解該公式的結(jié)構(gòu)特征與意義，為實際運算應(yīng)用夯實基礎(chǔ). 實踐表明，學(xué)生在運用該公式進(jìn)行運算時，常出現(xiàn)的錯誤類型有：①符號錯誤，如（2m-5n）·（-2m-5n）=4m2-25n2；②系數(shù)忘記進(jìn)行平方，如（2m-5n）（-2m-5n）= -2m2+5n2.

之所以會出現(xiàn)以上錯誤，是因為學(xué)生沒有徹底弄清楚該公式的結(jié)構(gòu)特征和意義. 因此，教師在教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)從多角度進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生親歷該公式的形成過程，深刻理解其意義. 筆者在執(zhí)教本節(jié)課時，采用了如下教學(xué)流程.

1. 情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)探究興趣

問題情境：一位狡猾的農(nóng)場主，將一塊正方形的土地租給一位租客作養(yǎng)殖場. 一年后，該農(nóng)場主跟這位租客協(xié)商，說我將這塊地的一邊收回4 m，另一邊給你增加4 m，租金不發(fā)生變化. 這位租客覺得土地面積和原來一樣，就悅?cè)煌饬? 你們覺得土地面積和原來一樣嗎？

面對這個情境，學(xué)生眾說紛紜，有學(xué)生認(rèn)為一樣，有學(xué)生覺得農(nóng)場主應(yīng)該會選擇利于自己的租賃方案等. 學(xué)生的積極性都被這個情境調(diào)動了起來，一個個都表現(xiàn)出濃郁的探究欲.

2. 數(shù)形結(jié)合，引發(fā)探究行為

方法1：

如圖1，在一個邊長為a的正方形的左下角剪掉一個邊長為b的小正方形，剩下部分的面積為a2-b2. 如圖2，將陰影部分沿著虛線剪開重新拼接，所得的長方形面積為（a+b）（a-b）.

方法2：

如圖3，在邊長為a的正方形中間剪下一個邊長為b的小正方形，此時陰影部分的面積是a2-b2. 如圖4，將圖3中的陰影部分，分解成四個小長方形并拼接，可構(gòu)造一個新的長方形，此長方形面積為（a+b）（a-b）.

方法3：構(gòu)造梯形

在一個邊長為a的正方形左下角剪掉一個邊長為b的小正方形，剩下圖形的面積為a2-b2. 如圖6，剪開陰影部分拼接，構(gòu)造一個梯形，所得梯形面積為（a+b）（a-b）.

通過以上3種方法，都能直觀地看出a2-b2=（a+b）（a-b），當(dāng)然，除了這幾種方法，還可以通過構(gòu)造三角形、平行四邊形等方式來證明此公式成立.

3. 多元表征，深化理解

認(rèn)知心理學(xué)提出，表征是指在對象不顯現(xiàn)下，用符號或符號集來替代該對象，一般以語言、圖形、文字、符號等方式呈現(xiàn). 統(tǒng)一學(xué)習(xí)對象，并用多種形式描繪與表征，能深化學(xué)生對知識的理解.

平方差公式的表征可有：①語言表征，鼓勵學(xué)生通過對公式解讀，用口頭語言表達(dá)，以加強學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；②符號表征，即用a2-b2=（a+b）（a-b）這個等式進(jìn)行表征；③操作表征，即用取值的方法分別計算（a+b）（a-b）與a2-b2的值，通過列表分析，并在結(jié)果對比中進(jìn)行猜想，最后證明它們之間存在怎樣的代數(shù)式關(guān)系；④模型表征，用□與○代表數(shù)、單項式或多項式，讓學(xué)生深層次理解a，b的實際意義，從而深化對公式的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識，如（□+○）（□-○）=□2-○2.

學(xué)生通過實踐探索與多元表征對“平方差公式”不僅僅有了表面的認(rèn)識，還對該公式的來龍去脈都有著深刻理解. 因親歷了概念的形成與發(fā)展過程，學(xué)生對此概念產(chǎn)生了更加形象、直觀、深刻的認(rèn)識，為后期的學(xué)習(xí)夯實了基礎(chǔ).

注重策略，優(yōu)化運算過程

運算過程是指根據(jù)運算法則，從已知的對象中推導(dǎo)出結(jié)論的過程，其實質(zhì)為一個推理的過程. 如高斯定理，當(dāng)遇到1+2+3+…+99+100的計算時，高斯考慮到100+1=99+2=98+3=…=51+50=101，因此，該計算的結(jié)論為50×101=5050. 這種記載是否為他當(dāng)時的計算策略，如今雖無法考證，但此結(jié)論的獲得必然經(jīng)歷了一個運算推理的過程.

運算策略的滲透，可簡化運算，優(yōu)化解題過程.

遇到計算求解的問題，一般學(xué)生都會首先結(jié)合自身的生活經(jīng)驗，提取自己熟悉的運算方式. 傳統(tǒng)的運算策略傳授，一般就是直接介紹運算法則與通用通法，而忽略了學(xué)生的具體認(rèn)知水平. 隨著新課改的推進(jìn)，如今的運算策略滲透是結(jié)合了學(xué)生最近發(fā)展區(qū)而設(shè)計的，使學(xué)生在潛移默化中掌握一定的運算技巧.

中學(xué)階段的學(xué)生擁有較強的思維能力，有些學(xué)生甚至能歸納出自己獨有的計算策略，這種自主產(chǎn)生的能力，可解決遇到的多種問題. 因此，筆者認(rèn)為在課堂教學(xué)中，教育者應(yīng)注重對問題中所存在的數(shù)量關(guān)系的分析，借助圖形、表格等，幫助學(xué)生獲得數(shù)量關(guān)系中的實質(zhì)聯(lián)系，并以檢驗的方式來確定式子的合理性.

同時，師生之間和諧的交流，也能讓學(xué)生猜想、嘗試更多，并在驗證中獲得答案. 或許有人會提出疑問：直接將計算方式告訴學(xué)生不就行了，為什么還要花費那么多時間引導(dǎo)學(xué)生感知其過程呢？

其實這是一個價值取向的問題，直接告訴學(xué)生運算規(guī)則，容易讓學(xué)生形成一種思維定式，遇到問題時就習(xí)慣性地用一種方式去解決. 長此以往，思維就產(chǎn)生惰性，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)變得一成不變，毫無創(chuàng)新可言.

教師應(yīng)善于捕捉學(xué)生的思維生長點，及時激發(fā)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，讓學(xué)生在運算能力上有所突破. 若教師一味地打壓學(xué)生的積極性，只允許學(xué)生用循規(guī)蹈矩的方式解決問題，不僅會影響學(xué)生運算能力的形成與發(fā)展，還會將學(xué)生的創(chuàng)新意識扼殺在搖籃中.

案例2? “一元一次方程”的教學(xué)

解方程：x+=x+1.

不少學(xué)生拿到此方程，都是按照常規(guī)運算方式，在等號的兩邊同時乘3，可得式子3x+1=x+3，通過移項合并同類項后，得2x=2，在此等式兩邊同時除以2，獲得x=1的結(jié)論；也有部分學(xué)生采取先移項合并同類項，然后將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化成1；還有學(xué)生提出：是否可以將x和1，x和放在一起考慮，即將“x-1”視為一個整體，這樣就能快速獲得x=1的結(jié)論了.

按部就班的思維方式在運算過程中，能呈現(xiàn)出積極、有利的一面，但也存在負(fù)面影響. 學(xué)生常常用慣性思維去思考問題，長此以往就容易出現(xiàn)思維定式，從而影響運算效率，出現(xiàn)運算過程冗長、繁雜的現(xiàn)象，而思維也會處于僵化的狀態(tài)，難以呈現(xiàn)出思維的創(chuàng)造性與靈活性特征，從而阻礙了學(xué)生創(chuàng)新意識的形成與發(fā)展［2］.

上題中，第3種解題方法，運用整體思想，將“x-1”視為一個整體進(jìn)行運算. 這種方法打破了學(xué)生的思維定式，使得解題過程變得輕松、簡便、快捷. 這種方法的應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法在計算中的重要性，還彰顯了思維的靈活性與創(chuàng)新性，這也是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的基礎(chǔ).

加強反思，形成良好習(xí)慣

弗賴登塔爾提出，反思是思維活動的核心與基本動力，缺乏反思，學(xué)生的思維就無法上升到更高的階層. 《課標(biāo)》提出，人們用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，會經(jīng)歷感知、感悟、建構(gòu)與反思等思維過程，這能幫助學(xué)習(xí)者對客觀事物中的數(shù)學(xué)模式做出準(zhǔn)確的判斷. 由此可見，反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性. 學(xué)會自我反思是師生獲得成長的基本途徑，也是提升教學(xué)效率的根本.

運算過程中，養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，能幫助學(xué)生突破思維的障礙，讓學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)錯誤的癥結(jié)，另辟蹊徑，獲得更好的解題方法. 初中運算過程中的反思類型，主要有以下幾種.

1. 對錯誤的成因反思

學(xué)生在運算時，難免會出現(xiàn)各種錯誤. 出現(xiàn)錯誤并不可怕，應(yīng)對錯誤的方式彌足重要. 學(xué)生出現(xiàn)運算錯誤的原因多種多樣，常見的錯誤主要表現(xiàn)在新舊知識更替時，對概念、命題、符號間的關(guān)系理解得不清楚，出現(xiàn)認(rèn)知上的編碼錯誤，或認(rèn)知上的負(fù)遷移等.

案例3? “分式”的教學(xué)

課堂中，學(xué)生遇到了這樣一道計算題：+-.

巡視過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有學(xué)生的解題過程如下：

原式=5（x+2）-4（x+3）+2（x-2）=3x-6.

很顯然，這個結(jié)論是錯誤的，然而出現(xiàn)這種錯誤的根源是什么呢？為了從根本上杜絕此類錯誤的再次發(fā)生，筆者引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析錯誤原因，以期找出問題的癥結(jié). 通過教師的引導(dǎo)與學(xué)生的自主探究，在分析后，該生終于發(fā)現(xiàn)自己出現(xiàn)錯誤的原因在于將分式方程的去分母環(huán)節(jié)遷移到分式計算上了，這是典型的知識負(fù)遷移引起的錯誤.

一旦找到錯誤的根源，問題就好解決了. 此時，筆者因勢利導(dǎo)地提出：“這種解題方法顯然行不通，那是否可以從分式方程的角度來解決本題呢？”隨著此問的提出，學(xué)生自主進(jìn)入合作交流的狀態(tài)，經(jīng)討論分析，學(xué)生展示出了新的解題方法：

設(shè)+-=A，

去分母可得：

5（x+2）-4（x+3）+2（x-2）=（x+3）·（x+2）（x-2）A，

整理得：

3x-6=（x+3）（x+2）（x-2）A.

此時可順利得出結(jié)論.

從此過程來看，將錯誤當(dāng)成一種教學(xué)資源，充分發(fā)揮其教學(xué)意義，即能幫助學(xué)生尋找出錯誤成因，又能啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生領(lǐng)悟知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從而厘清運算間的關(guān)系，提升運算能力.

2. 對運算過程的反思

教師不僅僅要關(guān)注學(xué)生的運算錯誤，還要重點關(guān)注學(xué)生的運算過程，看學(xué)生是否能規(guī)范、科學(xué)地應(yīng)用運算法則進(jìn)行運算，觀察學(xué)生是否能結(jié)合問題條件，探尋到科學(xué)、合理、便捷的運算方式［3］. 規(guī)范的運算過程，充分體現(xiàn)了學(xué)生的運算能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例4? “圖形推理”的計算

如圖7，在△ABC中，∠ACB為直角，已知AB=5，BC=12，CO⊥AB，點D為線段BO上的一點，且AC∥ED，DE=2，∠ADE<90°，分別連結(jié)CD，BE，若點P，O分別為BE，CD的中點. （1）分別求AO，PQ的長度，（2）若AB，PQ相交于點M，請寫出PM-MQ的值.

第（1）問，用射影定理或等面積法容易解得AO=. 求PQ的長，是用勾股定理（構(gòu)造直角三角形），還是利用中位線（點P，Q分別為BE，CD的中點）定理呢？

BE，CD這兩條線段并不在一個三角形中，因此無法直接引用中位線定理來解決問題. 根據(jù)AC∥ED這個條件，可延長ED與BC相交于點F，可知∠CFD=∠BFE，且均為直角. 在直角三角形BEF中，點P為BE邊的中點，作PH與EF平行，且分別交AB，BC 邊于點R，H，那么PR=DE=1，RH=DF. 在直角三角形DFC中，作QG平行于DF， 與BC邊相交于點G，可知QG=FD. 再連結(jié)QR，容易證得四邊形GHRQ是一個矩 形，由此可知△PRQ為一個直角三角形，∠QRP=90°. 經(jīng)推理可得PQ=.

第（2）問，從第（1）問可知PQ=，只要知道PM ∶ MQ的值，即可獲得問題的結(jié)論（過程略）.

從本題的解題過程來看，計算與圖形相關(guān)的線段長度，可以應(yīng)用推理法來獲得結(jié)論. 學(xué)生在推理過程中，對照自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思考所采用的計算策略是否合理，從而有效地提升自身的運算能力，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

總之，運算能力是制約學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的一個重要因素，教師應(yīng)在教學(xué)中精心設(shè)計教學(xué)過程，讓學(xué)生親歷定理、公式或法則的形成與發(fā)展過程，從內(nèi)心深處感知運算的實際意義. 同時還要注重運算策略的點撥，鼓勵學(xué)生加強反思，以便優(yōu)化運算過程，為形成良好的運算習(xí)慣奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］曹才翰，章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

［2］劉善娜，宋煜陽. 幾何直觀：運算概念教學(xué)的有效通道［J］. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013 （04）：7-10.

［3］崔志榮. 解幾運算教學(xué)，讓學(xué)生吃點“虧”也好［J］. 數(shù)學(xué)通報，2018，57（09）：60-62，66.