李晨

【摘要】數(shù)學解題能力集中體現(xiàn)了學生的數(shù)學綜合能力，是數(shù)學基礎知識、數(shù)學思維、數(shù)學能力的濃縮.培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力，是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的關鍵.文章以此為切入點，以相似三角形中常見題目出發(fā)，從審題、解題等方面展開詳細探究，旨在強化學生數(shù)學解題能力，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的“落地生根”.

【關鍵詞】初中數(shù)學；核心素養(yǎng)；解題能力；相似三角形

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中，明確了“數(shù)學核心素養(yǎng)”的教學目標，旨在促進學生的全面發(fā)展.解題能力作為初中數(shù)學教學的重要內容，不僅反映了學生的數(shù)學知識掌握情況，也反映了數(shù)學知識的遷移與應用、數(shù)學思維發(fā)展，以及學生的知識應用能力水平等情況.可以說，從學生的數(shù)學解題水平即可窺見學生的數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.在初中數(shù)學幾何教學體系中，相似三角形尤為重要，也是考查的重點知識，對學生的數(shù)學核心素養(yǎng)提出了更高的要求.鑒于此，加強相似三角形解題教學，培養(yǎng)學生解題能力，是提升學生成績、發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要渠道.

一、制約初中生解題能力發(fā)展的主要因素分析

第一，審題能力低下，無法精準理解題目含義.審題是解題的第一個環(huán)節(jié)，學生唯有認真審題，理清題目中已知條件和所求結論的關系，才能形成明確的解題思路.但在實踐中，由于一些學生缺乏教師的正確引導，致使他們缺乏審題技巧，常常誤認為審題等同于閱讀題目，也有部分學生受態(tài)度的影響，審題中常常出現(xiàn)斷章取義、草草了事等現(xiàn)象.

第二，思維能力薄弱.許多學生關于“相似三角形”的學習依然停留在表層階段，僅僅掌握了基本的性質與定理，至于知識之間的邏輯關系、聯(lián)系等依然處于混沌的狀態(tài).這就嚴重束縛了學生的數(shù)學思維，既無法發(fā)揮思維的靈活性，又制約了思維的深度.在這種情況下，學生的解題思維也會更加狹窄，難以應對靈活多變的數(shù)學題目.

第三，運算能力弱，難以精準解答問題.計算是數(shù)學解題中的重要組成，尤其是在“相似三角形”問題中，存在一定的計算量，部分學生在解題時，由于運算能力弱、粗心等，容易出現(xiàn)錯誤，進而影響解題正確率.

二、核心素養(yǎng)下初中生“相似三角形”解題能力培養(yǎng)路徑

（一）明確題目要求

數(shù)學解題建立在審題基礎之上，學生重視審題、掌握必備的審題技巧，才能通過科學審題，抓住題目關鍵點、深挖題目中隱含條件、理清數(shù)量關系，并由此形成明確的解題思路.鑒于此，面對數(shù)學核心素養(yǎng)下的要求，依托“相似三角形”培養(yǎng)學生解題能力應從正確審題開始.這就要求教師應引導學生認真閱讀題目，并融入一定的數(shù)學思想，將繁雜的問題明朗化、清晰化，以便于學生在審題中找到解題的切入點.

例1 如圖1，點G在平行四邊形ABCD的DC延長線上，連接AG交BC，BD于E，F(xiàn)兩點，求△AGD∽（ ）∽（ ）.

解析 在審本題時，學生不僅要分析題目中的已知條件，還應關注公共角∠G，并挖掘其中“邊邊平行”的隱含條件，分析出圖形中的公共角、對頂角，以及平行線所產生的角關系：如圖1，因為BC∥AD，由此得出∠1=∠2，結合公共角∠G，根據(jù)相似三角形判定定理得出△AGD∽△EGC；同時，結合題目分析，根據(jù)對頂角相等，得出∠1=∠3，又因為AB∥DG，即可得出∠4=∠G，由此根據(jù)相似三角形判定定理得出△EGC∽△EAB，所以△AGD∽△EAB.可以說，本題目難度系數(shù)比較低，學生認真審題，深層次挖掘題目中隱含的條件，探尋圖形之間的關系，即可運用相似三角形判定定理進行解答.

（二）理清解題思路

在解答“相似三角形”問題時，當完成審題之后，學生還應基于題目中已知條件和結論之間的關系展開分析，并據(jù)此形成明確的解題思路.在實際解題中，由于一些題目難度系數(shù)高，已知條件和結論聯(lián)系比較隱蔽，需要經過深入分析方能形成題目的解題思路，并在明確解題思路的引導下，將原本復雜的題目進行分解，使其分解為幾個簡單的目標，最終通過小目標的逐漸靠攏，完成最終的解答.

（三）多維度分析、靈活解題

1.基于輔助線解答問題

在解答“相似三角形”問題時，學生常常會遇見條件不夠的現(xiàn)象，致使解題逐漸陷入困境中.這時，即可構建輔助線，在原有條件的基礎上構建新的條件，以滿足解題需求.

例3 如圖3，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑，求證：AB·AC=AD·AE.

解析 在本題目中，單純依靠題目中現(xiàn)有的條件是遠遠不夠的，唯有構建輔助線，構建出兩個相似的三角形，以此找到解題的“突破口”：

如圖3，連接BE.

根據(jù)圓周角定理，得∠E=∠ACB.

又AD⊥BC，所以∠ADC=∠ABE=90°，

即△ABE∽△ADC，

所以AD∶AB=AC∶AE，AB·AC=AD·AE.

可見，本題構建出一個與已知三角形相似的新三角形后，借助相似三角形的性質，構建其邊與邊之間的關系，最終完成題目的解答.經實踐證明，在解答相似三角形問題時，學生可以靈活構建輔助線，構建出一種全新的相似關系，旨在簡化解題步驟，提高解題效率.

2.基于“A”字模型解題

“A”字模型是解決相似三角形的基礎模型，主要包含“A”字模型和反“A”型兩種.尤其是在A字模型中，常常需要借助平行線進行解題，如果題目中沒有給出，則需要借助輔助線達成這一條件.

所以∠EAF=∠MAC，

則∠MAC=∠ABE.

又AB=AC，

則△ABE≌△CAM，即CM∶AB=1∶2，

根據(jù)“X”模型，得△ABD∽△MCD，

則有BD∶DC=2∶1，即BD=2DC.

本題解答思路與例4相同，都是通過添加必要的輔助線，構建出一個全新的模型，構建出相似三角形這一基本條件.不同的是，在本題目中“兩條相交直線被兩條互相平行直線相截”，即可聯(lián)想到“X”字模型，進而運用相似三角形的性質解答問題.另外，在實際解題中，針對一些復雜的問題，“X”字模型也逐漸變得復雜，常常出現(xiàn)“A+X”型、“X+X”型等，學生必須要結合實際情況進行針對性的分析，才能高效解答題目.

4.基于射影定理解題

在解答相似三角形相關問題時，如果所求的問題是“一條線段長的平方等于另外兩條線段長的積”時，即可選擇射影定理的角度進行解答，尤其是當三線共線的情況下，應優(yōu)先考慮利用了射影定理，將原本毫無聯(lián)系的幾條線段聯(lián)系起來，并借助相似三角形的相關知識進行問題解答.

在初中平面幾何中，射影定理尤為重要，雖然并未列入教材中，但卻在幾何證明題、計算中得到了廣泛的應用，尤其是在解答相似三角形問題時，當學生面臨直角三角形時，應首先聯(lián)想到攝影定理，并基于題目中已知條件進行靈活解題.

5.基于共邊共角模型解題

共邊共角模型在相似三角形解題中尤為常見，常常是兩個三角形存在一個公共角、一條公共邊，還存在一對相等的角，由此即可判定出兩個三角形相似.在面對一些復雜問題時，共邊共角模型常常是解題的“鑰匙”.

本題中借助“共邊共角”模型，迅速打開了解題思維.在初中幾何相似三角形解題中，“共邊共角”模型常常被應用到綜合性題目中，尤其是在壓軸題目，出現(xiàn)頻率相對比較高.學生唯有熟悉該解題模型，并結合題目中所給出的三角形邊乘積關系、比例關系，迅速構建模型，找到題目中相似三角形，并由此形成明確的解題思路.

結 語

綜上所述，解題能力是數(shù)學教學的重要構成，也是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的精準體現(xiàn).因此，初中數(shù)學教師不僅要重視解題教學，還應根據(jù)不同的知識點，精心挑選高質量的例題，引導學生經歷審題、構思解題思路、多角度解題等過程中，逐漸形成更加嚴謹、完善的解題思路，提高學生的數(shù)學解題能力，真正達成數(shù)學核心素養(yǎng)下的教學目標.

【參考文獻】

[1]劉曉玲.構造相似三角形解題例談[J].數(shù)理天地（初中版），2022（20）：16-17.

[2]蘇玲玲.初中數(shù)學相似三角形的解題策略[J].現(xiàn)代中學生（初中版），2021（18）：21-22.

[3]吉婷.心中有型，釜底抽薪———利用模型探究相似三角形中的問題[J].初中生世界，2021（Z3）：57-59.