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        高中數(shù)學(xué)建模中問題的作用及發(fā)揮機制

        2023-04-15 21:02:26許正川
        關(guān)鍵詞:問題解決數(shù)學(xué)建模問題情境

        許正川

        [摘? 要] 要想讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)真正落地,教師必須研究數(shù)學(xué)知識是如何發(fā)生的,必須思考在學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識的時候,有哪些關(guān)鍵環(huán)節(jié)和關(guān)鍵要素. 通過分析可以發(fā)現(xiàn),“問題”就是一個關(guān)鍵要素,問題的提出、分析與解決就是教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié),其不僅影響著學(xué)生的知識建構(gòu)過程,也影響著學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程. 研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識能在問題情境中萌芽,數(shù)學(xué)建模能力能在問題解決中培養(yǎng),數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)能在問題反思中形成.

        [關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;問題情境;問題解決;問題反思

        根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中的定義,數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的六個要素. 相對于其他的要素而言,數(shù)學(xué)建模有著獨特的重要性,其原因就在于數(shù)學(xué)建模的綜合性較強——要完成數(shù)學(xué)建模,必定涉及數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理,以及直觀想象、數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析. 只有經(jīng)歷了這些過程,學(xué)生最終才會用數(shù)學(xué)語言來描述自己的學(xué)習(xí)結(jié)果,而這也正是數(shù)學(xué)模型的誕生. 但與此同時又應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到,一個數(shù)學(xué)模型的建立,又與具體的知識學(xué)習(xí)與運用過程有關(guān),離開了數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程,也談不上數(shù)學(xué)建模,所以要想讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)真正落地,教師還必須研究數(shù)學(xué)知識是如何形成的.

        談及這個問題,就必須思考在學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識的時候,有哪些關(guān)鍵環(huán)節(jié)和關(guān)鍵要素. 通過分析可以發(fā)現(xiàn),“問題”就是一個關(guān)鍵要素,問題的提出、分析與解決就是教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié),其不僅影響著學(xué)生的知識建構(gòu)過程,也影響著學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程. 本文就從教學(xué)實踐的角度來談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)建模中問題的作用以及作用發(fā)揮的機制.

        數(shù)學(xué)建模意識在問題情境中萌芽

        一個有意思的情形是,絕大多數(shù)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中并沒有明顯的數(shù)學(xué)建模意識,他們也不認(rèn)為自己學(xué)到了什么數(shù)學(xué)模型. 出現(xiàn)這種情形有其必然性,畢竟在應(yīng)試導(dǎo)向的背景下,作為對自身成長目的有著明確認(rèn)識的高中生,他們已經(jīng)能夠清晰地將學(xué)習(xí)目標(biāo)鎖定在考試上,因此專注于自身的解題能力,可以說是每一個高中生下意識的選擇. 在這樣的現(xiàn)實背景下,高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng),面臨著一個重要的“破題”任務(wù),而數(shù)學(xué)建模作為綜合性最強的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素,首先應(yīng)當(dāng)受到關(guān)注.

        有研究認(rèn)為,數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)課程改革的重點內(nèi)容,而問題情境是數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的主要載體[1]. 對于學(xué)生而言,數(shù)學(xué)建模的第一步是數(shù)學(xué)建模意識的萌芽. 從當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實際情況來看,這樣一個數(shù)學(xué)建模意識萌芽的過程,更多具有隱性特征. 也就是說,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),并不追求讓學(xué)生從理論角度形成關(guān)于數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)認(rèn)識,其所追求的,應(yīng)當(dāng)是學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在需要,以及對數(shù)學(xué)建模過程的充分體驗. 當(dāng)然,萌發(fā)需要上面所說的數(shù)學(xué)建模意識的覺醒. 那么問題情境是如何促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識萌芽的呢?筆者通過梳理發(fā)現(xiàn),當(dāng)學(xué)生走入問題情境時,必然產(chǎn)生解決問題的沖動——這是內(nèi)在于學(xué)生心中的“形成認(rèn)知平衡”的需要,于是學(xué)生必然經(jīng)歷一個打破認(rèn)知壁壘、重新走向認(rèn)知平衡的過程. 在這個過程中,學(xué)生會調(diào)用舊知識,還會習(xí)得新知識,當(dāng)然也會運用新舊知識解決問題. 問題解決后,學(xué)生會整合新舊知識,從而形成新的具有系統(tǒng)性的對數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的認(rèn)識,這種認(rèn)識就是數(shù)學(xué)建模的雛形.

        因此可以說,創(chuàng)設(shè)問題情境并讓學(xué)生走入這一情境,就能夠打開學(xué)生數(shù)學(xué)建模的空間.

        數(shù)學(xué)建模能力在問題解決中培養(yǎng)

        當(dāng)學(xué)生具有數(shù)學(xué)建模意識的時候,意味著學(xué)生認(rèn)同了數(shù)學(xué)建模的價值,并且會在具體的學(xué)習(xí)過程中發(fā)展自己的數(shù)學(xué)建模能力(這一過程是隱性的,學(xué)生不知道數(shù)學(xué)建模的概念,但是數(shù)學(xué)建模能力的養(yǎng)成卻客觀存在). 要讓這種能力得到可持續(xù)發(fā)展,問題解決依然可以發(fā)揮不可替代的作用. 從宏觀層面來看,數(shù)學(xué)建模是高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一大內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中必備的技巧技能,更是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題,用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[2]. 如果換一個視角,即站在學(xué)生的角度去看待問題解決的過程中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng),那么可以發(fā)現(xiàn)兩者間基本上遵循同樣的發(fā)展軌跡,也就是問題解決的開始就是數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的開始,問題得到解決后,數(shù)學(xué)建模的過程也基本完成;同時,問題的解決與數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)又是一明一暗兩條主線,即學(xué)生經(jīng)歷顯性的問題解決過程時,數(shù)學(xué)建模能力會以學(xué)生察覺不到的方式生長,這就是在問題解決中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的奇妙之處.

        例如“冪函數(shù)”的教學(xué),從知識內(nèi)容的角度來看,這一教學(xué)在前面所學(xué)的函數(shù)知識的基礎(chǔ)上有一定的創(chuàng)新,因為這是一個新的函數(shù)模型;從數(shù)學(xué)建模的角度來看,建立冪函數(shù)概念并且理解其性質(zhì)的過程,就是一個建立數(shù)學(xué)模型的過程. 如果要在教學(xué)中設(shè)計相應(yīng)方案讓學(xué)生親身體驗這一過程,那么就應(yīng)該立足問題解決來進(jìn)行. 筆者針對其設(shè)計的問題解決過程包括這樣幾個環(huán)節(jié):

        首先,創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上思考問題.

        學(xué)生經(jīng)過此前函數(shù)知識的學(xué)習(xí),已經(jīng)基本知道函數(shù)就是描述變量之間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型與工具. 因此要幫助學(xué)生建立冪函數(shù)的概念,關(guān)鍵就在于讓學(xué)生認(rèn)識到冪關(guān)系的存在. 于是教師可以給學(xué)生提供類似于如下例題的實例:

        如果一個正方形的邊長是a,該正方形的面積是S,如果把S看作a的函數(shù),那么兩者間的關(guān)系是什么呢?(其后的例子可以由學(xué)生去列舉,只要讓他們發(fā)現(xiàn)冪的形式存在即可;除此之外,問題由教師提出還是由學(xué)生提出,實際教學(xué)中也可以根據(jù)具體情況來確定)在這里,“兩者間的關(guān)系是什么”看似一個再平常不過的問題,但是在這種情境下,學(xué)生會有意識地去確定兩個變量間的關(guān)系,得到S=a2這樣的關(guān)系式.

        其次,體驗數(shù)學(xué)方法,在分析與綜合中形成認(rèn)知結(jié)構(gòu).

        從一個關(guān)系中往往發(fā)現(xiàn)不了規(guī)律,因此教師要通過變式的思路,讓學(xué)生提出類似于上述例子的其他實例,然后分析不同實例中的函數(shù)解析式,發(fā)現(xiàn)這些解析式都具有冪的形式,而且都是以冪的底數(shù)為自變量,冪的指數(shù)為常數(shù). 如此通過分析與綜合,就能夠得出這些函數(shù)的基本表達(dá)式,即y=xa.

        再次,運用數(shù)學(xué)語言,在數(shù)學(xué)思維驅(qū)動下建立模型.

        當(dāng)上述關(guān)系出現(xiàn)在學(xué)生面前時,學(xué)生很容易將其與函數(shù)知識對應(yīng)起來,于是就面臨著一個新的問題:這樣一個函數(shù)與此前學(xué)過的函數(shù)相比較,有著什么樣的獨特之處?這個問題可以驅(qū)動學(xué)生的思維走向深入,學(xué)生必然將此前學(xué)過的函數(shù)解析式及對應(yīng)的函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)等知識調(diào)動出來,然后給這個新的函數(shù)定義,這實際上就是用數(shù)學(xué)語言描述思維所得結(jié)果(關(guān)于冪函數(shù)的一個數(shù)學(xué)模型)的過程.

        通過上面三個環(huán)節(jié),學(xué)生一方面經(jīng)歷了一個問題解決的過程,另一方面順利建立起了關(guān)于冪函數(shù)的模型. 如此,數(shù)學(xué)建模伴隨著問題解決而出現(xiàn)、推進(jìn),學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力當(dāng)然能夠在此過程中得到培養(yǎng).

        數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在問題反思中形成

        在核心素養(yǎng)的概念體系當(dāng)中,“核心”忽然引人注目,但實際上重點應(yīng)是“素養(yǎng)”. 對于絕大多數(shù)高中一線數(shù)學(xué)教師而言,素養(yǎng)是一個既熟悉且陌生的概念. 在日常生活以及數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中,有很多與之相類似或相接近的概念如素質(zhì)、能力等,相比較而言,素養(yǎng)這一概念的概括性更強、層次更高,因此將其作為教學(xué)追求是正常的選擇.

        數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素之一,伴隨著學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的過程而得到發(fā)展. 在這樣一個發(fā)展過程中,問題以及問題解決起著重要的促進(jìn)作用:如果說問題打開了學(xué)生的學(xué)習(xí)思路的話,那么問題解決就為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成提供了一個良好的空間,學(xué)生在這個空間里可以通過自身體驗,獲得對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)同,并且可以在積累建立數(shù)學(xué)模型能力的基礎(chǔ)上,逐步形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

        值得一提的是,當(dāng)問題得到解決后,通過對問題以及問題解決過程的反思,將數(shù)學(xué)建模過程中形成的能力上升為素養(yǎng),是非常重要的一個環(huán)節(jié). 真正的核心素養(yǎng)具有可遷移性,學(xué)生形成素養(yǎng)后,能夠在新的情境當(dāng)中以直覺的方式加以體現(xiàn). 要達(dá)到這樣的水平,那么學(xué)生就必須通過反思來提純已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)建模能力,從而將數(shù)學(xué)建模的環(huán)境判斷、條件判斷、邏輯推理、語言組織與運用等綜合起來,以形成高度概括且具有遷移性的素養(yǎng),這就是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).

        綜上所述,問題及問題解決,對于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成至關(guān)重要,抓住問題解決來實施高中數(shù)學(xué)教學(xué),可以鋪就通往數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的康莊大道.

        參考文獻(xiàn):

        [1] 李保臻,陳國益. 高中數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境的比較研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2022,31(03):6-14.

        [2]李家鑫. 妙解例題看數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué),2018(21):76-77.

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