蔡玲

［摘? 要］ 文章以“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)案例為背景，剖析在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何梳理“明線”，深入挖掘“暗線”，生成有效“問(wèn)題串”，推動(dòng)知識(shí)的自然生成和發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 明線；暗線；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；問(wèn)題串；數(shù)系擴(kuò)充；復(fù)數(shù)概念

提出問(wèn)題

著名數(shù)學(xué)家保羅·哈爾莫斯（P.R.halmos）曾言“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”.數(shù)學(xué)教學(xué)是問(wèn)題教學(xué)，數(shù)學(xué)問(wèn)題在精不在多.教師通過(guò)設(shè)置有層次性、系統(tǒng)性、挑戰(zhàn)性的主干問(wèn)題形成有效“問(wèn)題串”推動(dòng)知識(shí)自然生成和發(fā)展，為學(xué)生的深度思考和思維發(fā)展提供時(shí)間和空間，是“問(wèn)題解決式數(shù)學(xué)觀”的體現(xiàn).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，教師要“明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展”［1］. 在每個(gè)教學(xué)單元中，教學(xué)內(nèi)容都有自己的“明線”和“暗線”，體現(xiàn)著教學(xué)的階段性、系統(tǒng)性和整體性. 教師要準(zhǔn)確梳理單元內(nèi)容的“明線”，深入挖掘教學(xué)素材的“暗線”，生成有效“問(wèn)題串”，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，助力數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.

“明線”“暗線”的內(nèi)涵剖析

“明線”是師生閱讀教材就能夠明白的基本知識(shí)和方法，稍加梳理就可以明確每節(jié)課的明線是“提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—系統(tǒng)回顧”. “暗線”有兩種內(nèi)涵，一是指解決新問(wèn)題時(shí)用到的思想方法，如化歸思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想；二是指研究新問(wèn)題的路徑，例如研究函數(shù)問(wèn)題采用的“抽象生活實(shí)例本質(zhì)屬性—定義—表示—圖象和性質(zhì)研究—應(yīng)用”. 章建躍主編曾言，教學(xué)內(nèi)容的安排是以“事實(shí)—方法—方法論—數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為“暗線”，提議教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)研究的“基本套路”.把握“暗線”是實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的實(shí)踐操作. 在清楚“明線”并深入挖掘“暗線”的過(guò)程中，教師才能引導(dǎo)學(xué)生“如何思考”“如何解決”，讓學(xué)生準(zhǔn)確把握和理解教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”的“明線”“暗線”及“問(wèn)題串”

1. “數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”的“明線”和“暗線”

首先，需要梳理本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容（包括知識(shí)要素、數(shù)學(xué)思想要素、研究方法要素）. 學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容前，在義務(wù)教育階段已經(jīng)經(jīng)歷了從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程，對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充有了一定的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)系擴(kuò)充后，新的數(shù)系能夠解決在原有數(shù)系上無(wú)法解決的一些問(wèn)題. 例如引進(jìn)無(wú)理數(shù)，把有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集后，就可以解決“解方程x²－2=0”這樣的問(wèn)題了，因此遇到如x²+1=0這樣的方程求解的問(wèn)題時(shí)，通過(guò)引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生能夠聯(lián)想到對(duì)現(xiàn)有實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，從而使方程x²+1=0有解. 學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，多次利用過(guò)類(lèi)比的方法研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，為這節(jié)課利用類(lèi)比同樣的過(guò)程和方法將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集提供了可能.

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能出現(xiàn)的障礙，一是學(xué)生雖然經(jīng)歷過(guò)數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，但對(duì)擴(kuò)充方法及規(guī)則的理解較淺；二是現(xiàn)實(shí)生活中沒(méi)有任何事物支持復(fù)數(shù)，學(xué)生會(huì)懷疑引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；三是學(xué)生以前學(xué)習(xí)的都是單純的一個(gè)數(shù)，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式卻是兩項(xiàng)和的形式，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)有困難.

由此確定本節(jié)課內(nèi)容的“明線”是明確復(fù)數(shù)的概念及表示、虛數(shù)和純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等的條件. “暗線”是通過(guò)數(shù)系擴(kuò)充，歸納“規(guī)則”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)實(shí)數(shù)集向復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充，讓學(xué)生體會(huì)類(lèi)比思想方法，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，并讓學(xué)生感受人類(lèi)理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用. 對(duì)于新的概念，研究路徑通常是：通過(guò)具體實(shí)例抽象概括本質(zhì)特征—定義—表示—特殊量—特殊關(guān)系—應(yīng)用.

圖1展示的是學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)關(guān)系：

2.“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”的“問(wèn)題串”及設(shè)計(jì)意圖

問(wèn)題1：（1）從方程的角度來(lái)看，負(fù)實(shí)數(shù)能不能開(kāi)平方即方程x²+a=0（a>0）有沒(méi)有解，可以歸結(jié)為方程x²+1=0有沒(méi)有解. 想一想，這是為什么？

（2）我們知道，方程x²+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解，聯(lián)系從自然數(shù)集向?qū)崝?shù)集擴(kuò)充的過(guò)程，你能給出一種方法，適當(dāng)擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，使這個(gè)方程有解嗎？

設(shè)計(jì)意圖 將歷史上負(fù)數(shù)能否開(kāi)平方的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x²+1=0是否有解的問(wèn)題，為后續(xù)從方程角度研究數(shù)系擴(kuò)充做好鋪墊；同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化和化歸為基本問(wèn)題. 問(wèn)題（2）點(diǎn)出了本節(jié)課研究的目標(biāo)、思路和方法.

問(wèn)題2：我們把一個(gè)數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算及運(yùn)算律叫做數(shù)系. 回顧從自然數(shù)集向?qū)崝?shù)集擴(kuò)充的過(guò)程，每一次數(shù)系擴(kuò)充的原因是什么？分別解決了什么實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題？請(qǐng)借助以下方程加以說(shuō)明.

（1）x∈N，解方程x+2=0；

（2）x∈Z，解方程2x+3=0；

（3）x∈Q，解方程x2－2=0.

設(shè)計(jì)意圖 運(yùn)用具體實(shí)例的回顧，梳理數(shù)系擴(kuò)充史，引導(dǎo)學(xué)生抓住知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，理解數(shù)系擴(kuò)充的社會(huì)需求和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，為引進(jìn)虛數(shù)單位埋下伏筆.

問(wèn)題3：從上述解方程的過(guò)程可以看出，每一次數(shù)系擴(kuò)充都是在原數(shù)集上添加“新數(shù)”. 請(qǐng)大家回憶一下，擴(kuò)充后，原數(shù)系的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算（減法、除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法、乘法運(yùn)算）及運(yùn)算律在新數(shù)系中協(xié)調(diào)一致嗎？由此你能歸納出數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”嗎？

設(shè)計(jì)意圖 梳理數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程和方法，得出數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”：引進(jìn)“新數(shù)”，且加法、乘法運(yùn)算不變.為后續(xù)實(shí)數(shù)集向復(fù)數(shù)集擴(kuò)充提供方法依據(jù)，從而突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).

問(wèn)題4：（1）回到本節(jié)課開(kāi)頭提出的問(wèn)題，方程x2+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解，類(lèi)比從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的數(shù)系擴(kuò)充規(guī)則，你能想出讓該方程有解的方法嗎？

（2）引進(jìn)一個(gè)什么樣的“新數(shù)”呢？

（3）虛數(shù)單位為什么是i，而不是其他字母呢？

（2）你能把上述列舉的所有“新數(shù)”用一個(gè)代數(shù)式表達(dá)出來(lái)嗎？

（3）如何寫(xiě)出新的數(shù)集？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)類(lèi)比數(shù)系擴(kuò)充規(guī)則，讓學(xué)生得出復(fù)數(shù)集中的具體復(fù)數(shù)，再由特殊到一般，抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和集合表示. 讓學(xué)生經(jīng)歷、體會(huì)數(shù)學(xué)概念符號(hào)化、形式化的過(guò)程，讓學(xué)生順利接受復(fù)數(shù)表達(dá)式是兩項(xiàng)之和的形式，提升學(xué)生的抽象概括、邏輯推理素養(yǎng).

問(wèn)題6：閱讀教科書(shū)，回答以下問(wèn)題.

（1）復(fù)數(shù)的表示方法有哪些？

（2）復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）的實(shí)部是什么？虛部是什么？

（3）什么是虛數(shù)和純虛數(shù)？請(qǐng)舉例說(shuō)明.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書(shū)，明確復(fù)數(shù)的基本概念和表示方法，培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材的習(xí)慣和理解能力.

問(wèn)題7：既然稱為復(fù)數(shù)集，其元素就必須滿足互異性，即要弄清復(fù)數(shù)相等的含義. 請(qǐng)根據(jù)你剛才閱讀的教科書(shū)內(nèi)容，回答下列問(wèn)題.

（1）復(fù)數(shù)a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）的充要條件是什么？

（2）該充要條件和我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)點(diǎn)類(lèi)似？

（3）復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）為實(shí)數(shù)的條件是什么？a+bi=0的充要條件是什么？

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題（1）引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，達(dá)成知識(shí)的統(tǒng)一性和完整性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用類(lèi)比的方法研究新問(wèn)題. 問(wèn)題（2）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)點(diǎn)和平面向量，為研究復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的三角形式奠定基礎(chǔ). 問(wèn)題（3）通過(guò)專(zhuān)門(mén)研究“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”和“復(fù)數(shù)相等”這種特例，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注特殊元素、特殊關(guān)系，保證研究的完備性.

問(wèn)題8：復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系？你能將復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）分類(lèi)并用韋恩圖表示出來(lái)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 加深學(xué)生對(duì)子集的認(rèn)識(shí). 用不同方式將復(fù)數(shù)集分類(lèi)，深化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解.

問(wèn)題9：（1）本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？

（2）本節(jié)課你學(xué)到了研究新問(wèn)題的哪些方法？

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題（1）旨在引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出復(fù)數(shù)概念、表示、分類(lèi)、相等這些“明線”知識(shí). 問(wèn)題（2）引導(dǎo)學(xué)生提煉歸納研究新問(wèn)題的思想方法，如類(lèi)比、從特殊到一般等.

反思與展望

有效“問(wèn)題串”源于對(duì)知識(shí)“明線”的梳理，更來(lái)自對(duì)“暗線”的深入挖掘.理清“明線”相對(duì)容易，一般課堂都容易做到. 但只有挖掘出“暗線”才能加深學(xué)生對(duì)“明線”的理解，才能培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題的分析能力和解決能力，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 挖掘“暗線”是教學(xué)重中之重，然而在實(shí)際教學(xué)中，該環(huán)節(jié)相對(duì)薄弱. 那么該如何挖掘“暗線”，讓問(wèn)題有效且環(huán)環(huán)相扣、由淺入深地形成“問(wèn)題串”呢？筆者認(rèn)為需要做到“三個(gè)‘明確”“一個(gè)‘研讀”.

（1）明確“上位知識(shí)”和“下位知識(shí)”，即明確知識(shí)從哪里來(lái)、到哪里去. 例如本節(jié)課，“上位知識(shí)”是學(xué)生已有的數(shù)系擴(kuò)充歷程，教師要做的是利用學(xué)生最近發(fā)展區(qū)讓學(xué)生明白“學(xué)什么、為什么學(xué)、怎么學(xué)、如何聯(lián)系”，進(jìn)一步讓學(xué)生明確“學(xué)習(xí)方法、如何延伸”，并為接下來(lái)的復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的三角表示打下基礎(chǔ).

（2）明確研究方法和研究路徑，即明確新概念、新問(wèn)題的研究用的方法是什么、路徑是什么. 例如研究函數(shù)，采用的方法通常是從特殊到一般，路徑是“用具體生活做背景抽象概括—定義—表示—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用”. 研究向量，路徑通常是“用物理知識(shí)做背景抽象概括—定義—表示—特殊元素—特殊關(guān)系—應(yīng)用”.而研究“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”，方法是類(lèi)比，路徑是“從已有經(jīng)歷中抽象概括出本質(zhì)屬性—定義—表示—特殊復(fù)數(shù)（復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)）—特殊關(guān)系（復(fù)數(shù)相等）—應(yīng)用”.

（3）明確數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo). 課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基地，教學(xué)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體.明確每節(jié)課的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標(biāo)有助于挖掘“暗線”. 在“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”這節(jié)課中，主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力. 數(shù)學(xué)抽象源于對(duì)大量社會(huì)實(shí)踐問(wèn)題本質(zhì)屬性的概括，這需要師生合作找出一定量的具體實(shí)例，再?gòu)木唧w實(shí)例中抽象概括出問(wèn)題的本質(zhì)屬性. 師生通過(guò)對(duì)以往數(shù)系擴(kuò)充的回顧、總結(jié)、抽象，以此類(lèi)推得到實(shí)數(shù)集向復(fù)數(shù)集擴(kuò)充的方法和規(guī)則，實(shí)現(xiàn)學(xué)生邏輯推理能力的形成.

（4）研讀教材、教師教學(xué)用書(shū)、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、期刊. 無(wú)論是“上位、下位知識(shí)”還是研究方法、研究路徑，以及要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，都可以在教材、教師教學(xué)用書(shū)、課程標(biāo)準(zhǔn)上找到. 甚至教材、教師教學(xué)用書(shū)等已經(jīng)幫大家設(shè)置了“大問(wèn)題串”，對(duì)大多數(shù)章節(jié)起始課都給出了教學(xué)案例. 教師只要多研讀教材、教師教學(xué)用書(shū)、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，相關(guān)問(wèn)題都能找到答案. 但教材、教師教學(xué)用書(shū)、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)更重視知識(shí)的歸納和總結(jié)，屬于綱領(lǐng)性教學(xué)文件，如何把綱領(lǐng)性的東西找到載體落實(shí)，變成生動(dòng)具體的實(shí)例，研究數(shù)學(xué)期刊就是很好的輔助手段. 在各種期刊上，對(duì)某一節(jié)課、某一個(gè)單元教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，都有詳細(xì)的多角度、多視角的表達(dá)，并配有教學(xué)案例或教學(xué)片段. 教師通過(guò)收集整理閱讀相關(guān)論文，不僅能夠擴(kuò)大教學(xué)視野，獲得教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法，還能夠加深對(duì)單元教學(xué)內(nèi)容的理解.

在教學(xué)過(guò)程中，堅(jiān)持理清“明線”，深入挖掘“暗線”，兩手都要抓、兩手都要硬，必能不斷歸納提煉出共同的研究視角和共通的研究方法，設(shè)計(jì)出有的放矢的“問(wèn)題串”，從而加強(qiáng)學(xué)生的過(guò)程體驗(yàn)，通過(guò)科學(xué)探究，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 唐恒鈞，HAZEL TAN，徐元根，張維忠. 基于問(wèn)題鏈的中學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)研究——一項(xiàng)課例研究的啟示［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（03）：30-34+44.