李寶香

［摘? 要］ 2021年全國乙卷第21題為圓錐曲線壓軸題，以傳統(tǒng)的拋物線與直線相交為背景，融合圓上動(dòng)點(diǎn)，探究解析式以及幾何面積最值. 問題的特點(diǎn)鮮明，但解題突破依然可以沿用常規(guī)策略. 文章對考題進(jìn)行了探究，總結(jié)了解決該類問題的知識(shí)方法，提出了相應(yīng)的解題教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 拋物線；圓；三角形；面積；數(shù)學(xué)思想

考題回顧，考點(diǎn)分析

思路突破，分步探究

過程評析，解后反思

上述為拋物線綜合題，涉及拋物線、圓、直線的位置關(guān)系和函數(shù)的性質(zhì).第（2）問為核心之問，是典型的三角形面積最值問題. 下面基于解答過程進(jìn)行反思總結(jié).

1. 過程評析，特點(diǎn)分析

第（2）問為三角形面積最值問題，其中點(diǎn)A，B為拋物線與直線的切點(diǎn)，而點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)建三點(diǎn)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵. 上述解析過程思路清晰，結(jié)構(gòu)簡明，思維連續(xù)性強(qiáng). 總體來看，思路構(gòu)建具有以下三大特點(diǎn).

特點(diǎn)一，合理開展類比，巧用切線方程. 上述通過合理類比輕松獲得了切線PA，PB的方程，而求直線AB的方程時(shí)要用到切線PA，PB的方程.

特點(diǎn)二，提取方程特征，生成關(guān)鍵直線. 上述通過方程特征的把握，直接獲得了關(guān)鍵直線AB的方程，其構(gòu)建方法極為簡潔.

特點(diǎn)三，整體代入化簡，設(shè)而不求構(gòu)建. 上述聯(lián)立轉(zhuǎn)化方程的過程，采用了整體代入的方法，即利用方程根與系數(shù)的關(guān)系替換方程中的變量，使得變量單一化. 設(shè)而不求是求解圓錐曲線問題的常用方法，充分理解韋達(dá)定理對解題十分有利.

2. 知識(shí)歸納，方法總結(jié)

關(guān)聯(lián)探究，強(qiáng)化應(yīng)用

原考題是圓錐曲線中的三角形面積最值問題，相切關(guān)系、圓上動(dòng)點(diǎn)是考題的限制條件，上述對該類問題的解決思路進(jìn)行了梳理，方程聯(lián)立、設(shè)而不求是突破解題難點(diǎn)的核心策略.下面對一道以橢圓為背景的關(guān)聯(lián)問題進(jìn)行探究，強(qiáng)化解題策略.

學(xué)習(xí)建議，教學(xué)探討

圓錐曲線綜合題形式多樣，多表現(xiàn)為求最值、求取值范圍以及結(jié)論探索，分析圖象中點(diǎn)、直線與曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn). 對于與弦長、周長、面積有關(guān)的問題，基本策略是將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，即根據(jù)題意聯(lián)立方程，結(jié)合問題構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，然后利用換元、配方、均值不等式、求導(dǎo)等知識(shí)和方法解題.

在圓錐曲線解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生探索問題本質(zhì)，掌握類型題的通性通法，合理轉(zhuǎn)化問題，總結(jié)解題策略，包括常用的公式定理，簡化技巧，轉(zhuǎn)化思路；要引導(dǎo)學(xué)生充分梳理解題流程，生成規(guī)范的解題步驟. 實(shí)際教學(xué)可結(jié)合一題多解、解法拓展、關(guān)聯(lián)訓(xùn)練等方式來強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)方法，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)要注重解題思想的引導(dǎo)，包括數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維.

總之，開展圓錐曲線問題的探究，根本意義在于使學(xué)生掌握問題、方法、思想的本質(zhì)，形成自我的解題策略、思路，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化吸收. 由此可知，開展解后反思、知識(shí)總結(jié)、方法梳理對提升學(xué)生的能力十分重要.