摘要：波利亞的名著《怎樣解題》首先給出一個(gè)“怎樣解題表”，將解題過(guò)程分成理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧4個(gè)步驟，后續(xù)結(jié)合大量案例對(duì)“怎樣解題表”做詳細(xì)解析，希望通過(guò)一些通用的策略教會(huì)學(xué)生解題。閱讀《怎樣解題》，應(yīng)注意體會(huì)波利亞各個(gè)建議的深刻內(nèi)涵，結(jié)合具體案例進(jìn)行對(duì)比和實(shí)踐，總結(jié)提煉波利亞的解題策略。像波利亞那樣教解題，要通過(guò)“給機(jī)會(huì)”“教方法”“壓任務(wù)”“重評(píng)價(jià)”等措施切實(shí)提升學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：波利亞；《怎樣解題》；解題教學(xué)

一、 ?《怎樣解題》的基本內(nèi)容

波利亞是美籍匈牙利裔著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家，在函數(shù)論、變分學(xué)、概率論、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有創(chuàng)造性貢獻(xiàn)，先后當(dāng)選美國(guó)國(guó)家科學(xué)院、匈牙利科學(xué)院、法蘭西科學(xué)院等的院士。他還長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究，注重對(duì)數(shù)學(xué)思維一般規(guī)律的探析，先后出版《怎樣解題》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》《數(shù)學(xué)與猜想》等名著。這些著作被譯成多種文字，廣為流傳，深刻地影響著全球的數(shù)學(xué)教育。為了表彰波利亞的特殊貢獻(xiàn)，1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)授予他數(shù)學(xué)杰出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)；1968年，在美國(guó)教育影片圖書(shū)館協(xié)會(huì)舉辦的第10屆電影節(jié)上，主辦方因?yàn)橛盟闹v演制作的影片《讓我們教猜想》而授予他藍(lán)綬最高獎(jiǎng)。為了紀(jì)念波利亞，美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)設(shè)立了波利亞獎(jiǎng)，美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)設(shè)立了波利亞寫(xiě)作獎(jiǎng)，美國(guó)數(shù)學(xué)教師委員會(huì)設(shè)立了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的波利亞獎(jiǎng)。［1］

《怎樣解題》出版于1944年，全書(shū)首先給出一個(gè)“怎樣解題表”，后續(xù)結(jié)合大量案例對(duì)“怎樣解題表”做詳細(xì)解析。

波利亞將解題過(guò)程分成4個(gè)步驟：理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧。［2］這4個(gè)步驟看上去并無(wú)新奇之處，但波利亞正是希望通過(guò)這些通用的策略教會(huì)學(xué)生解題。下面簡(jiǎn)單介紹波利亞“怎樣解題表”的4個(gè)步驟（引用文字全部出自“怎樣解題表”）。

理解題目。理解題目是建立聯(lián)系、獲取解題方案的前提。波利亞給出了很多具體的建議，比如：以“未知量是什么？”引導(dǎo)解題者明確題目的目標(biāo)；以“已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”引導(dǎo)解題者確認(rèn)題目中的已知條件；以“條件有可能滿(mǎn)足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾？”引導(dǎo)解題者審視題目本身的正確性；以“畫(huà)一張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。將條件的不同部分分開(kāi)，你能將它們寫(xiě)出來(lái)嗎？”引導(dǎo)解題者更好地表示題意。

擬訂方案。擬訂方案就是根據(jù)自己對(duì)問(wèn)題的理解，逐步找出條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，最終導(dǎo)出探求結(jié)論的流程的過(guò)程。毫無(wú)疑問(wèn)，探求解題方案需要基于對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)則的掌握以及以往的解題經(jīng)驗(yàn)。為此，擬訂方案的第一步就是明晰問(wèn)題中的各個(gè)數(shù)學(xué)概念、相關(guān)原理和規(guī)則，調(diào)用已有的解題經(jīng)驗(yàn)。前者實(shí)際上在理解題意階段就已經(jīng)開(kāi)始，而后者則是問(wèn)題解決中一個(gè)十分重要的環(huán)節(jié)。因此，波利亞提出了很多調(diào)用已有解題經(jīng)驗(yàn)的策略。比如：“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”困難是，以前學(xué)習(xí)過(guò)太多的題目，如何從中篩選出有用的題目、有用的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？這時(shí)，“觀察未知數(shù)！盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目”不失為一個(gè)很好的建議。如果你幸運(yùn)地想到了類(lèi)似問(wèn)題，這是再好不過(guò)的了。實(shí)在想不到，“這里有一個(gè)與你的題目有關(guān)而且以前解過(guò)的題目，你能利用它嗎？”也不失為對(duì)學(xué)生必要的幫助。調(diào)用解題經(jīng)驗(yàn)是獲得計(jì)劃的一個(gè)前提條件，其目的當(dāng)然是借用這些經(jīng)驗(yàn)解決現(xiàn)行的問(wèn)題。那么，如何借助過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)解決現(xiàn)行的問(wèn)題呢？可能有很多通道，最為常見(jiàn)的就是將現(xiàn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)去已經(jīng)學(xué)習(xí)、研究過(guò)的問(wèn)題，這就是轉(zhuǎn)化歸結(jié)，即化歸（“你能重新敘述這道題目嗎？你還能以不同的方式敘述它嗎？”）。化歸是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問(wèn)題，但這一策略并非處處可行，因此，解決問(wèn)題時(shí)，可能還會(huì)從一個(gè)與它相關(guān)但不等價(jià)的問(wèn)題的解決過(guò)程中尋求思路或者結(jié)論。例如，一般化和特殊化（“你能否想到一道更容易著手的相關(guān)題目？一道更為特殊化的題目？一道類(lèi)似的題目？”）、將問(wèn)題分解和重組（“你能解出這道題目的一部分嗎？”“只保留條件的一部分，而丟掉其他部分，那么未知量可以確定到什么程度，它能怎樣變化？”“你能從已知量中得出一些有用的東西嗎？”“你能想到其他合適的已知量來(lái)確定未知量嗎？”“你能改變未知量或已知數(shù)據(jù)，或者有必要的話(huà)，把兩者都改變，從而使新的未知量和已知數(shù)據(jù)彼此更接近嗎？”）等。有時(shí)沉醉于聯(lián)系、類(lèi)比中，可能將我們拉離主題，離題過(guò)遠(yuǎn)，這時(shí)注意回到原問(wèn)題，可以提醒：“你用到全部的條件了嗎？你把題目中的所有關(guān)鍵的概念都考慮到了嗎？”

執(zhí)行方案。如果把擬訂方案比作建筑藍(lán)圖，那么，執(zhí)行方案就是建筑施工。與擬訂方案相比，執(zhí)行方案不是難事，只需要將經(jīng)過(guò)探索、設(shè)計(jì)而成的解題方案進(jìn)行邏輯整理，運(yùn)用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理、作圖等技能熟練、清晰地表達(dá)解題過(guò)程。這時(shí)需要的是耐心和細(xì)心。為此，波利亞提出建議：“實(shí)現(xiàn)你的解題方案，檢驗(yàn)每一個(gè)步驟。”“你能清楚地看出這個(gè)步驟是正確的嗎？”“你能否證明它是正確的？”

回顧。對(duì)解題過(guò)程、結(jié)果、方法理性地回顧與反思，可以有效提升解題經(jīng)驗(yàn)、歸納解題規(guī)律，最終獲得策略性的知識(shí)，因而，是將解題技能升華為解題能力的重要環(huán)節(jié)，不可或缺。具體地，通過(guò)“你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？你能檢驗(yàn)這個(gè)論證嗎？”回顧結(jié)論，使結(jié)論更可靠、精致，深化對(duì)結(jié)論的理解；通過(guò)“你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？”反思方法、比較方法、優(yōu)化解法；通過(guò)“你能在別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎？”反思結(jié)論的運(yùn)用，產(chǎn)生各種變式問(wèn)題。

二、 《怎樣解題》的閱讀啟示

波利亞的“怎樣解題表”，絕不僅僅是告訴我們解題的步驟與方法，更是指導(dǎo)學(xué)生解題的典范。從其字里行間，我們不難獲得下面的啟示：

第一，解題教學(xué)的目的并非解題本身，而是希望在解題中，積累學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的“四能”：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。在波利亞式的解題過(guò)程中，理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案的環(huán)節(jié)，需要經(jīng)歷分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的全過(guò)程，同時(shí)也需要不時(shí)進(jìn)行問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化，嘗試提出相同的、相近的問(wèn)題；回顧環(huán)節(jié)，除了反思問(wèn)題的結(jié)論與方法，以獲得更為深刻的理解之外，也關(guān)注方法的遷移運(yùn)用，關(guān)注問(wèn)題的變化、發(fā)展。因此，這個(gè)過(guò)程也是基于已有問(wèn)題提出新的問(wèn)題的過(guò)程，將解題過(guò)程引向“問(wèn)題—解決—新問(wèn)題—新解決”的循環(huán)，是發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題能力的好機(jī)會(huì)。

第二，學(xué)生解題能力的提升，固然離不開(kāi)自身的解題實(shí)踐，也同樣需要教師適當(dāng)?shù)膸椭c指導(dǎo)。在教師適時(shí)的幫助與指導(dǎo)中，學(xué)生更容易獲得問(wèn)題解決的成功和喜悅，激發(fā)問(wèn)題解決和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的激情；在教師適度的幫助與指導(dǎo)中，學(xué)生可以更好地感悟問(wèn)題解決的常用策略，形成更加深刻的解題經(jīng)驗(yàn)。

第三，教師的幫助應(yīng)是適時(shí)適度的、自然而不露痕跡的。學(xué)生自主解決問(wèn)題更容易獲得成就感，因此，教師對(duì)學(xué)生的幫助不要過(guò)于主動(dòng)，首先要給學(xué)生自主解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，在學(xué)生遇到困難時(shí)再適時(shí)地幫一把。對(duì)此，波利亞指出：教師應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎地、不露痕跡地幫助學(xué)生，順乎自然地幫助學(xué)生，使學(xué)生有獨(dú)立工作的感覺(jué)。如何做到這一點(diǎn)呢？需要教師習(xí)慣于站在學(xué)生的角度，努力了解學(xué)生心里正在想什么，然后根據(jù)學(xué)生的思考與困惑提出相應(yīng)的問(wèn)題或建議。這樣的問(wèn)題或建議正是學(xué)生自己原本應(yīng)當(dāng)想到而沒(méi)想到的，只是這時(shí)教師更清晰地提出來(lái)并給予了畫(huà)龍點(diǎn)睛式的指點(diǎn)而已。這樣的幫助就是自然而不露痕跡的。這樣的問(wèn)題解決過(guò)程是在師生交流中完成的，但學(xué)生感覺(jué)幾乎是自己獨(dú)立完成的，可以增強(qiáng)學(xué)生的自信心。

第四，教師的幫助應(yīng)是普適的。［3］學(xué)生解題的目的并非解決這道題本身，而是希望習(xí)得解決問(wèn)題的常用策略，進(jìn)而遷移運(yùn)用于其他問(wèn)題的解決，提升自身的解題能力。因此，教師的建議不能過(guò)于具體，僅僅指向這道題的解決，而應(yīng)具有普遍性，也適用于其他問(wèn)題的解決。這樣，學(xué)生才容易獲得解決問(wèn)題的一般策略。比如，在理解題意階段，教師的幫助應(yīng)指向題目信息的多元表征、內(nèi)隱信息的捕捉等；在擬訂方案階段，教師的幫助應(yīng)指向固有經(jīng)驗(yàn)的調(diào)用、問(wèn)題變換的策略等；在解后反思階段，教師的幫助應(yīng)指向反思的內(nèi)容、策略和習(xí)慣的養(yǎng)成。

例如：如下頁(yè)圖1，正方形ABCD中，E在BC上，F(xiàn)在AB上，且∠FDE＝45，求證：EF＝AF＋CE。對(duì)此，在學(xué)生自主探究有一定困難的情況下，可以提示：要證明的結(jié)論“EF＝AF＋CE”是“一個(gè)量等于兩個(gè)量的和”的形式，在這方面你有哪些經(jīng)驗(yàn)？引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，力圖自主探析方法。這樣的引導(dǎo)就是普適的，對(duì)學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)是長(zhǎng)期有效的。當(dāng)然，如果這些普適的幫助還不能真正有效地助力學(xué)生解決問(wèn)題，可以再追加更為具體的幫助。例如：能否將EF分解成兩個(gè)短的線(xiàn)段，使得它們分別等于AF和CE，或者將兩個(gè)短的線(xiàn)段AF、CE合并到一起，證明它等于EF？

第五，波利亞尤其強(qiáng)調(diào)解題后的回顧與反思?；仡櫯c反思本身不是目的，主要在于養(yǎng)成反思的習(xí)慣，增進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，提升學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)和解題能力。通過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練，學(xué)生必將獲得反思的方法，從而形成反思的策略性知識(shí)。當(dāng)然，教師需要思考的是：自身是否養(yǎng)成了回顧與反思的習(xí)慣？有沒(méi)有向?qū)W生介紹回顧與反思的方法？現(xiàn)在的學(xué)生有沒(méi)有從事這樣的回顧與反思活動(dòng)的時(shí)間？如果沒(méi)有，問(wèn)題何在？

三、 《怎樣解題》的閱讀建議

《怎樣解題》是一本數(shù)學(xué)教師百讀不厭的名著。因此，建議大家多次閱讀，常讀常新。各人閱讀習(xí)慣不一，難有統(tǒng)一的模式。這里，僅提供筆者的幾點(diǎn)思考，與大家分享。

（一）注意體會(huì)波利亞各個(gè)建議的深刻內(nèi)涵

波利亞給予的建議，尤其需要教師注意深入體會(huì)，習(xí)慣仔細(xì)揣摩其蘊(yùn)含的深刻含義。例如，《怎樣解題》第一章“在教室里”選取了一個(gè)例子：已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，求它的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度。在這個(gè)問(wèn)題的回顧環(huán)節(jié)，波利亞提出了很多反思性問(wèn)題，其中兩個(gè)問(wèn)題是：“如果長(zhǎng)方體的三個(gè)量度a、b、c都等比例地增長(zhǎng)，那么，對(duì)角線(xiàn)也將以與此相同的比例增長(zhǎng)。假如在你的公式中分別以12a、12b、12c來(lái)代替a、b、c，對(duì)角線(xiàn)的表達(dá)式相應(yīng)地也應(yīng)乘以12。是不是這樣？”“如果a、b、c以英尺為計(jì)量單位，那么，你的公式給出的對(duì)角線(xiàn)計(jì)量的單位也應(yīng)是英尺，但是如果你把所有量的單位都改為英寸，公式仍應(yīng)成立。是這樣嗎？”［4］并進(jìn)一步指出這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一樣的，且在第三章“探索法小詞典”中給出了一個(gè)條目“量綱檢驗(yàn)”［5］。波利亞給出這些反思性問(wèn)題的目的是建議教師引導(dǎo)學(xué)生從量綱分析的角度對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。量綱分析在物理等實(shí)驗(yàn)科學(xué)中較為常見(jiàn)。很多數(shù)學(xué)教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)中的運(yùn)算對(duì)象基本上都是現(xiàn)實(shí)的抽象物，最終抽象得到的數(shù)已經(jīng)沒(méi)有單位了。因此，他們不太習(xí)慣量綱分析，甚至不太認(rèn)同量綱分析。實(shí)際上，這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。閱讀時(shí)，注意細(xì)細(xì)體會(huì)波利亞提出的這些建議或反思性問(wèn)題的意義，可以切實(shí)提升自己對(duì)問(wèn)題解決的理解。

（二）注意結(jié)合具體案例進(jìn)行對(duì)比和實(shí)踐

《怎樣解題》中已經(jīng)提供了不少案例。首次閱讀時(shí)，可以通讀文本，借助案例領(lǐng)悟觀點(diǎn)。但是，有了一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)之后，建議領(lǐng)悟波利亞解題指導(dǎo)的精髓，在“自主解題、嘗試指導(dǎo)、對(duì)比提升、實(shí)踐校驗(yàn)”的多次循環(huán)中形成貼合實(shí)際的學(xué)習(xí)指導(dǎo)風(fēng)格：首先，自主求解問(wèn)題，在求解后反思問(wèn)題求解的關(guān)鍵，思考問(wèn)題求解可以積淀的解題經(jīng)驗(yàn)；接著，想象相應(yīng)年齡段學(xué)生的知識(shí)水平和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，像波利亞一樣，嘗試給出與學(xué)生交流的指導(dǎo)語(yǔ)，預(yù)設(shè)學(xué)生的不同回應(yīng)，并基于預(yù)設(shè)的學(xué)生不同回應(yīng)，給出進(jìn)一步的建議，從而形成預(yù)設(shè)的個(gè)性化教學(xué)指導(dǎo)方案；然后，學(xué)習(xí)《怎樣解題》中提供的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，分析兩者的差異，思考哪些是兩者共通的，哪些又是個(gè)性化的，這些個(gè)性化的指導(dǎo)語(yǔ)價(jià)值何在，對(duì)自己的教學(xué)有什么啟示；最后，在可能的情況下，嘗試與學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)交流，從中感悟具體指導(dǎo)語(yǔ)的適切性，現(xiàn)場(chǎng)生成更加貼合的指導(dǎo)語(yǔ)，最終形成貼合自身和學(xué)生現(xiàn)狀的指導(dǎo)方式。

（三）注意總結(jié)提煉波利亞的解題策略

《怎樣解題》形散而神不散，但與大家日?？吹降木V目結(jié)構(gòu)清晰的學(xué)術(shù)論文和專(zhuān)著有所區(qū)別。它條目眾多，特別是第三章“探索法小詞典”，從目錄看，包含幾十個(gè)小標(biāo)題，容易給初讀者“片段化”的觀感。因此，更需要養(yǎng)成邊閱讀邊總結(jié)提煉的習(xí)慣。在閱讀中，建議常常思考：這些常識(shí)性的建議是否具有層次？能否形成自己的層次架構(gòu)？實(shí)際上，波利亞的文本是有層次的，文本中字體就有所差異，閱讀時(shí)要注意細(xì)加體會(huì)。但這也只是波利亞的認(rèn)識(shí)，善于思考的我們可以結(jié)合自己的思考與感悟形成適合自己的層級(jí)架構(gòu)。畢竟我們是學(xué)習(xí)波利亞，而不是成為那個(gè)唯一的波利亞。每個(gè)人都要在學(xué)習(xí)波利亞的過(guò)程中形成自己解決問(wèn)題的模式和指導(dǎo)學(xué)生的方式，而這離不開(kāi)自己的理解、感悟與提煉。

比如，對(duì)“擬訂計(jì)劃”這一步，波利亞提出了很多建議，但作為讀者，需要對(duì)有關(guān)建議進(jìn)行歸類(lèi)，形成自己相對(duì)簡(jiǎn)略的策略體系。對(duì)此，筆者便根據(jù)自己的理解將有關(guān)策略分成如圖2所示的幾個(gè)視角。

四、 像波利亞那樣教解題

解題教學(xué)的目的是幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的解題能力。因此，教學(xué)實(shí)踐中，要通過(guò)“給機(jī)會(huì)”“教方法”“壓任務(wù)”“重評(píng)價(jià)”等措施切實(shí)提升學(xué)生的解題能力。

（一） 給機(jī)會(huì)

學(xué)生解決問(wèn)題能力的提升，源頭在于自身解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的積累。因此，教學(xué)中，應(yīng)為學(xué)生提供充足的自主解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)。這里，需要說(shuō)明兩點(diǎn)：一是給學(xué)生提供更多具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，而不僅僅是匹配新知學(xué)習(xí)的模仿性習(xí)題。匹配新知的模仿性習(xí)題，所用知識(shí)清晰，解決的難度小，更多的是對(duì)原有例題的模仿，對(duì)提升學(xué)生問(wèn)題解決能力的作用很小。切實(shí)有效提升學(xué)生問(wèn)題解決能力的問(wèn)題，與學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)有一定的差距，既需要充分調(diào)用原有的類(lèi)似經(jīng)驗(yàn)，還需要實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)之間的轉(zhuǎn)化、問(wèn)題的變化等，因而具有一定的挑戰(zhàn)性。波利亞在《怎樣解題》中給出的題目，多是真正的問(wèn)題，大家可以仔細(xì)體會(huì)。二是放手讓學(xué)生自主解決，在學(xué)生有困難的時(shí)候再施以援手，提供適切的幫助。

（二） 教方法

通過(guò)親歷解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生會(huì)自主積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)多數(shù)學(xué)生而言，主動(dòng)整理、提升解題經(jīng)驗(yàn)的意識(shí)欠缺，理解解決問(wèn)題過(guò)程和方法的水平也有待提高。對(duì)此，教師需要適時(shí)外化、介紹問(wèn)題解決各環(huán)節(jié)中常見(jiàn)的策略和方法，并巧妙、靈活地將這些策略和方法傳遞給學(xué)生，使之在遷移運(yùn)用中熟練掌握這些策略和方法。例如，在問(wèn)題解決之后的回顧反思環(huán)節(jié)，教師不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原有問(wèn)題進(jìn)行反思，在反思中理解問(wèn)題的本質(zhì)，生發(fā)一系列變式，讓學(xué)生感悟到反思與變式的意義，明了“為什么變”；還要適當(dāng)外顯反思與變式的方法，讓學(xué)生知道“如何變”。只有這樣，才能為學(xué)生奠定“我要變”“我能變”的基礎(chǔ)。具體地，教師可以在問(wèn)題的各個(gè)變式之間增加過(guò)渡性語(yǔ)言，明晰各個(gè)變式之間的關(guān)系，揭示出變式方法；通過(guò)各種方式凸顯這樣的變式方法，如借助板書(shū)或PPT，通過(guò)圖形、色彩等手段展示題目之間的關(guān)系和變式方法；適時(shí)專(zhuān)門(mén)開(kāi)展變式方法的教學(xué)示范課，幫助學(xué)生明晰條件變式、結(jié)論延展、逆向思考、背景遷移、對(duì)象拓廣、類(lèi)比泛化等常用變式方法。

（三） 壓任務(wù)

通過(guò)“給機(jī)會(huì)”，學(xué)生經(jīng)歷了問(wèn)題解決的過(guò)程；通過(guò)“教方法”，學(xué)生理解了問(wèn)題解決各環(huán)節(jié)的策略和方法。但是，切實(shí)掌握相關(guān)的策略和方法，還離不開(kāi)自身的實(shí)踐。因此，針對(duì)具體的策略和方法，要壓實(shí)任務(wù)：提供具體的任務(wù)，在具體任務(wù)中考查學(xué)生策略和方法的掌握情況，將策略和方法本身作為學(xué)生學(xué)習(xí)的對(duì)象。例如，促進(jìn)學(xué)生回顧解題過(guò)程、積累解題經(jīng)驗(yàn)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的“說(shuō)題”活動(dòng)，要求學(xué)生說(shuō)明自己自主解決這道題的過(guò)程、過(guò)程中遇到的困難和解決的方法、解決過(guò)程中獲得的啟示與收獲等。再如，對(duì)解后反思中的變式，在明晰了變式方法的基礎(chǔ)上，可以提出明確的變式任務(wù)，將變式本身作為重要的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生在多次變式任務(wù)中逐步養(yǎng)成變式的習(xí)慣。具體地，在總結(jié)了有關(guān)變式方法的基礎(chǔ)上，布置作業(yè)，要求學(xué)生在解決某一個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，給出若干變式并說(shuō)明變式的方法；基于學(xué)生作業(yè)狀況，逐步提高變式的要求，包括數(shù)量要求、視角要求等。筆者曾對(duì)高中教師做了一個(gè)學(xué)生反思和變題能力的調(diào)查，結(jié)果表明：“影響學(xué)生反思和變題實(shí)際水平的最重要的兩個(gè)變量是告訴反思（變題）方法和檢查反思（變題）作業(yè)。”［6］這個(gè)調(diào)查結(jié)果再次表明“教方法”“壓任務(wù)”的重要性。

（四） 重評(píng)價(jià)

評(píng)價(jià)是教學(xué)的“指揮棒”，每一項(xiàng)任務(wù)的達(dá)成都離不開(kāi)評(píng)價(jià)的“撬動(dòng)”和“促動(dòng)”。因此，問(wèn)題解決的教學(xué)中，要充分運(yùn)用好評(píng)價(jià)手段，嘗試將上述任務(wù)納為單元測(cè)試、期中考試、期末考試等的內(nèi)容，通過(guò)考試壓力的傳導(dǎo)，督促學(xué)生“主動(dòng)”完成上述任務(wù)，在任務(wù)完成中提升學(xué)力。波利亞在說(shuō)明學(xué)生解后反思的現(xiàn)狀時(shí)指出：“即便是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生，在得到了題目的解答，并將整個(gè)論證簡(jiǎn)潔地寫(xiě)下來(lái)以后，就會(huì)合上書(shū)，去找別的事做?！保?］這樣的現(xiàn)象，在問(wèn)題解決其他環(huán)節(jié)策略的學(xué)習(xí)中同樣普遍存在。因此，這類(lèi)策略的學(xué)習(xí)需要教師外在的引導(dǎo)和具體任務(wù)的“壓迫”，而評(píng)價(jià)無(wú)疑是很好的手段。

參考文獻(xiàn)：

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［2］［4］［5］［7］ G.波利亞．怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌［M］．涂泓，馮承天，譯．上海：上海科技教育出版社，2002：前言ixxi，17，204，15.

［3］ 章飛．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐［M］．南京：南京大學(xué)出版社，2009：179.

［6］ 江守福，章飛．高中數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生解后反思與變式影響的調(diào)查研究［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2020（9）：2732.

（章飛，江蘇第二師范學(xué)院科研處處長(zhǎng)，課程與教學(xué)研究所所長(zhǎng)，教授。北師大版初中數(shù)學(xué)教材副主編。主要研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、教師教育、現(xiàn)代信息技術(shù)與學(xué)科課程整合等。）