李力

摘 要：高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了一個(gè)強(qiáng)調(diào)深度學(xué)習(xí)與高階思維活動(dòng)的時(shí)期，在基礎(chǔ)知識(shí)的記憶與理解以外，學(xué)生延伸、內(nèi)化、遷移和應(yīng)用已學(xué)知識(shí)的思維意識(shí)與思維能力受到了更多的重視，教師需要在知識(shí)教學(xué)以外更多地關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建與數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。課堂是構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)思維和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的主陣地，教師作為專業(yè)教育工作者，需要站在專業(yè)視角下為學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展提供支持與助力。文章主要圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維展開，介紹了數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵和在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的必要性，再結(jié)合當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐，展開了對(duì)如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的探究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué)；如何培養(yǎng)；學(xué)生；數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)是一門知識(shí)抽象但嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思考、解決現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，需要站在數(shù)學(xué)的視角下去進(jìn)行更多的思考與分析，尋找知識(shí)與知識(shí)、知識(shí)與問題之間的共性與切入點(diǎn)，在獨(dú)立的思考和判斷中完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、理解、記憶、遷移和應(yīng)用。數(shù)學(xué)思維指的就是一種用數(shù)學(xué)來思考問題和解決問題的思維活動(dòng)形式，思維本身是人的一種高級(jí)心理活動(dòng)形式，是支配人一切勞動(dòng)和創(chuàng)造的核心力量，思維的高度發(fā)達(dá)也一直是人區(qū)別于其他動(dòng)物的主要特征，而在不同的研究和學(xué)習(xí)領(lǐng)域，人的思維方向、思維方式和思維特征都會(huì)存在或多或少的差異，這種差異主要由該研究和學(xué)習(xí)領(lǐng)域的知識(shí)特征來決定，因此，特定思維的具體培養(yǎng)方式也要依據(jù)其本質(zhì)特征與結(jié)構(gòu)特征來確定。在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，就學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，教師就需要先對(duì)數(shù)學(xué)思維本身建立起一定的了解。

一、數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵

結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)特征和教學(xué)追求來看，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中需要掌握或形成的數(shù)學(xué)思維有著十分豐富的內(nèi)涵，數(shù)學(xué)思維指在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所進(jìn)行思考問題的思維方式，具體體現(xiàn)為抽象思維、概括思維、邏輯思維、逆向思維、空間思維和發(fā)散思維等[1]。

其中抽象思維指向的是對(duì)自然及社會(huì)中一些抽象化事物的客觀理解與認(rèn)知，這種思維要求主要來源于數(shù)學(xué)知識(shí)本身極為顯著的抽象化特征與生活化特征；概括思維指向的是對(duì)復(fù)雜知識(shí)體系下各知識(shí)點(diǎn)共性與個(gè)性特點(diǎn)的歸納與總結(jié)，這種思維要求主要來源于數(shù)學(xué)課程本身龐大與復(fù)雜的知識(shí)體系；邏輯思維指向的是觀察和分析之后對(duì)事物進(jìn)行的有條理、準(zhǔn)確的判斷與推理，這種思維要求主要來源于數(shù)學(xué)問題本身錯(cuò)綜復(fù)雜的因果聯(lián)系；逆向思維指的是一種與常規(guī)思維方向相反、強(qiáng)調(diào)由結(jié)果推條件或驗(yàn)證條件的思維形式，這種思維要求主要來源于數(shù)學(xué)問題本身的延伸性與可逆性；空間思維指向的是對(duì)客觀事物空間形式的想象與分析，這種思維要求主要來源于三維空間中數(shù)學(xué)問題的解題需要；發(fā)散思維指向的是對(duì)同一事物擁有的不同見解，主要表現(xiàn)為一種呈擴(kuò)散狀態(tài)分布的思維。

數(shù)學(xué)思維不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的重要組成部分，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，學(xué)生的各種數(shù)學(xué)思維可以使他們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)難題時(shí)產(chǎn)生各種不同的解題思路，讓學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)更加得心應(yīng)手。同時(shí)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過程中，教師也能同步實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生問題解決能力、創(chuàng)新創(chuàng)造能力的鍛煉與提升，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和終身發(fā)展，奠定更為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的必要性

（一）為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)

教育領(lǐng)域中的深度學(xué)習(xí)指的是一種以理解、應(yīng)用和創(chuàng)造作為核心的學(xué)習(xí)狀態(tài)，與高階思維活動(dòng)相對(duì)應(yīng)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中高階思維的調(diào)動(dòng)，因此，思維體系的建設(shè)與思維能力的發(fā)展向來都是深度學(xué)習(xí)順利和有效開展的保障之一。站在這一視角上看，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)首先就是能夠?yàn)閷W(xué)生的深度學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，教師引導(dǎo)學(xué)生開展的高階思維活動(dòng)能夠?yàn)閷W(xué)生提供一個(gè)探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的機(jī)會(huì)，學(xué)生也能夠在有意或無意間發(fā)現(xiàn)與感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在規(guī)律，實(shí)現(xiàn)對(duì)自己學(xué)習(xí)方法和問題思考方式的調(diào)整，使之變得更加科學(xué)、合理和深入，這種對(duì)知識(shí)展開的深入探究實(shí)際上也就是深度學(xué)習(xí)的一個(gè)開端或者說信號(hào)，能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從淺層學(xué)習(xí)到深度學(xué)習(xí)之間的轉(zhuǎn)變。

（二）為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣提供助力

有效的學(xué)習(xí)必然需要學(xué)生展現(xiàn)出一定的主動(dòng)性和積極性，而這種主動(dòng)性與積極性的來源和動(dòng)力主要就是興趣，正所謂“興趣是最好的教師”。高中數(shù)學(xué)課程的知識(shí)難度相較之前有了陡然的提升，學(xué)生在學(xué)習(xí)與理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中可能遇到更多的困難和阻礙，因而在畏難心理的作用下產(chǎn)生排斥或抵觸等消極的學(xué)習(xí)情緒，影響到學(xué)習(xí)效果。從思維層面入手進(jìn)行的培養(yǎng)本質(zhì)上是“授人以漁”，學(xué)生能夠?qū)W習(xí)到的是一種理解知識(shí)和思考問題的方法，這種方法通常具有普適性和可遷移性，能夠在一定程度上降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)魅力的感知掃清障礙，也能夠?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)提供助力。

（三）為學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展提供支持

在新課標(biāo)與新課改的大背景下，核心素養(yǎng)開始成為各學(xué)科教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的主要參考依據(jù)，學(xué)生指向知識(shí)、思維、能力與素養(yǎng)的個(gè)性成長與全面發(fā)展也開始成為各學(xué)科教學(xué)活動(dòng)開展的主要教學(xué)追求，教師需要通過課堂上的教學(xué)來為學(xué)生學(xué)科必備品格與關(guān)鍵能力的形成提供空間，以助力學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中指向?qū)W生思維發(fā)展的素養(yǎng)占據(jù)了絕大部分，包括邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象，因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)能夠?yàn)閷W(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展提供支持。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展將在很大程度上影響他們高中時(shí)期能夠取得的學(xué)習(xí)成效，而無論是抽象思維、概括思維、邏輯思維、逆向思維、空間思維和發(fā)散思維中哪一種思維的培養(yǎng)，都需要建立在高階思維活動(dòng)的基礎(chǔ)之上，教師在課堂上開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，需要為學(xué)生設(shè)置有針對(duì)性的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)活動(dòng)，逐步引導(dǎo)學(xué)生完成從淺層學(xué)習(xí)到深度學(xué)習(xí)、從低階思維活動(dòng)到高階思維活動(dòng)的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生能夠在深度學(xué)習(xí)的過程中自覺進(jìn)行高階的思維活動(dòng)，以便于對(duì)知識(shí)建立起更加全面和深入的了解與認(rèn)知。具體來講，高中數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)與開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，需要基于不同的教學(xué)目的來確定不同的教學(xué)重點(diǎn)，先解決小問題，再逐步解決大問題，這樣既能夠避免小問題累積成大問題，又能夠在小問題的解決過程中為學(xué)生提供思維層面的鍛煉機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生跳出慣性思維的框架限制，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維體系與思維能力的優(yōu)化與提升。

（一）基于新知生成，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的生長順序

站在新知生成的視角上看，學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟悉程度，是影響學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵因素。學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一個(gè)由點(diǎn)到線、由線到面不斷拓展和延伸的過程，學(xué)生在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)基本完成基礎(chǔ)知識(shí)的積累，這就為其在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。結(jié)合高中數(shù)學(xué)的知識(shí)特征和高中學(xué)生的認(rèn)知水平，教師想要在課堂教學(xué)活動(dòng)中鍛煉和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，需要將學(xué)生已經(jīng)掌握了的“舊知識(shí)”利用起來，帶領(lǐng)學(xué)生探究新知識(shí)是從哪個(gè)舊知識(shí)之中長出來的，在梳理知識(shí)“生長”順序的過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維的鍛煉[2]。

以人教A 版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“三角函數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例。在教授“函數(shù)”相關(guān)的新知識(shí)時(shí)，教師就可以借助“三角形”和“圓”相關(guān)的舊知識(shí)來設(shè)計(jì)與開展教學(xué)活動(dòng)。三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中的基本初等函數(shù)之一，以角度作為自變量，以角度對(duì)應(yīng)的任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值作為因變量，主要用于研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)，主要分為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)三種。那么在指向數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的新知教學(xué)中，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從三角形、圓等幾何圖形的基本性質(zhì)出發(fā)，探究角與邊之間更深層次的聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行持續(xù)性的自主探究與獨(dú)立思考，讓函數(shù)相關(guān)的新知識(shí)能夠從幾何圖形相關(guān)的舊知識(shí)中“長出來”，并借這種自主探究與獨(dú)立思考來實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生抽象思維、空間思維和邏輯思維的充分培養(yǎng)。

（二）基于問題解決，強(qiáng)調(diào)理論的推導(dǎo)過程

在數(shù)學(xué)課程的教與學(xué)中，對(duì)問題的分析、探究、思考和解決向來都是最為關(guān)鍵和重要的組成部分，教師通常情況下需要通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的分析來完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的分析與解讀，而學(xué)生通常情況下需要通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究來完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的理解與應(yīng)用，因此，分析、探究、思考與解決問題的過程也向來都是鍛煉與發(fā)展學(xué)生思維的過程。基于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與提升，教師就需要在引導(dǎo)學(xué)生分析、探究、思考和解決問題時(shí)更加強(qiáng)調(diào)理論的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生能夠在主動(dòng)思考和解決實(shí)際問題的過程中完成數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建[3]。

以人教A 版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“立體幾何初步”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例。在教授幾何相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，教師就可以將視角放在現(xiàn)實(shí)幾何問題的探究與解決中，以“建筑設(shè)計(jì)與施工”作為背景來為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境，結(jié)合情境中的特定條件來設(shè)置多個(gè)與現(xiàn)實(shí)生活存在聯(lián)系的探究問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用之前或課堂上學(xué)到的幾何知識(shí)來思考并解決建筑物的布局、高度計(jì)算等問題，就像是在學(xué)習(xí)“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”時(shí)，教師就可以將特定的建筑物看作是一個(gè)立體的空間幾何圖形，帶領(lǐng)學(xué)生站在三維視角上，將生活中的觀察與經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來論證問題中條件或結(jié)果的正確性與合理性，要求學(xué)生將自己的思考或推理過程按照一定的邏輯順序，有條理地記錄下來，以此來實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生空間想象和問題解決等思維與思維能力的鍛煉和發(fā)展。

（三）基于查漏補(bǔ)缺，強(qiáng)調(diào)錯(cuò)誤的前因后果

在高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)過程中，查漏補(bǔ)缺從來都是不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)，針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)與發(fā)展，教師需要在對(duì)學(xué)生思維體系的查漏補(bǔ)缺中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能夠在糾錯(cuò)與析錯(cuò)的過程中得到激活。具體來講，教師需要有意識(shí)地在課堂教學(xué)中增添解析錯(cuò)題的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生深入分析產(chǎn)生錯(cuò)題的原因和思維誤區(qū)導(dǎo)向的錯(cuò)誤結(jié)果，讓學(xué)生能夠?qū)W會(huì)對(duì)自己過往的思維方式質(zhì)疑或批判，借助對(duì)錯(cuò)題的分析與訂正來實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生批判思維的培養(yǎng)與鍛煉[4]。

以人教A 版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“復(fù)數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例。在完成“復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算”相關(guān)知識(shí)的教學(xué)以后，教師就可以為學(xué)生設(shè)置一些與復(fù)數(shù)的加、減、乘、除有關(guān)的計(jì)算題，要求學(xué)生在課堂上計(jì)算出結(jié)果，并直接在課堂上給出答案和進(jìn)行解析。在計(jì)算過程中，部分學(xué)生可能因?yàn)椴粔蚣?xì)心而寫錯(cuò)計(jì)算步驟或忽略計(jì)算細(xì)節(jié)，沒有對(duì)題目展開更為深入和完整的解析就直接套用公式來進(jìn)行計(jì)算，最終得出多種截然不同的錯(cuò)誤計(jì)算結(jié)果。除了將題目想得過于簡(jiǎn)單以外，還有的學(xué)生在計(jì)算過程中將題目想得過于復(fù)雜，最終不僅因?yàn)橐霟o關(guān)知識(shí)點(diǎn)而提升了計(jì)算難度，還會(huì)因?yàn)橐胩喔蓴_項(xiàng)而出現(xiàn)計(jì)算失誤。站在查漏補(bǔ)缺與認(rèn)知鞏固的視角之上，教師就可以在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、分析、總結(jié)科學(xué)解題方法的過程中為學(xué)生建構(gòu)起完整的數(shù)學(xué)思維。

（四）基于抽象理解，強(qiáng)調(diào)概念的有機(jī)串聯(lián)

高中數(shù)學(xué)教材中包含著大量的概念定理和運(yùn)算公式，對(duì)概念的全面理解就是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的前提與基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)于概念的有機(jī)串聯(lián)也可以說是學(xué)生思維建構(gòu)的前提與基礎(chǔ)?；诖?，高中數(shù)學(xué)教師在課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維時(shí)，就需要提高對(duì)概念教學(xué)的重視程度，尤其是對(duì)不同數(shù)學(xué)概念間共性和關(guān)聯(lián)性的重視程度，針對(duì)重難概念間的共性與關(guān)聯(lián)性進(jìn)行針對(duì)性提問，以此來實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)與強(qiáng)化[5]。

以人教A 版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)“直線的方程”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例。在直線方程相關(guān)知識(shí)的教與學(xué)中，教師需要重點(diǎn)教學(xué)和學(xué)生需要重點(diǎn)掌握的知識(shí)概念實(shí)際上就是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式直線方程各自的使用范圍和互化方式，那么在實(shí)際的教學(xué)過程中教師就可以將圖像分析與理論教學(xué)結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)圖像的直接觀察中對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行歸納與總結(jié)，以完成對(duì)學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)。

結(jié)束語

綜上所述，思維是數(shù)學(xué)課程中一個(gè)十分重要的關(guān)鍵詞，思維培養(yǎng)也是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)十分重要的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生思維體系的建設(shè)與思維能力的發(fā)展能夠?qū)W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到至關(guān)重要的作用。因此，教師在設(shè)計(jì)與開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)需要為學(xué)生思維體系的建設(shè)與思維能力的發(fā)展投入更多的精力，保證學(xué)生能夠擁有直面復(fù)雜知識(shí)和高難知識(shí)，并內(nèi)化與遷移復(fù)雜知識(shí)和高難知識(shí)的能力，以便于學(xué)生綜合利用所學(xué)知識(shí)來思考與解決現(xiàn)實(shí)問題。結(jié)合現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐來看，教師在設(shè)計(jì)與開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，需要有意識(shí)地從思維激發(fā)、拓展、鞏固和反思等多個(gè)不同的角度出發(fā)進(jìn)行嘗試，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入更為廣闊的思維空間來獲取思維能力的鍛煉與發(fā)展，教師在此過程中需要發(fā)揮的主要是引導(dǎo)和監(jiān)督的作用。

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