杭毅成 高峰官

摘 要：新課標(biāo)確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).隱性課程資源是知識(shí)背后有利于課程實(shí)施的深層次元素所構(gòu)成的集合，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、品格和價(jià)值觀，是發(fā)展核心素養(yǎng)的有效手段.本文以“勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用”為例，立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，深入挖掘隱性課程資源，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行深入探索，獲得實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);隱性課程資源;勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》的頒布，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提上了新的高度.從發(fā)展的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既是對(duì)“四基”和“四能”的整合與細(xì)化，又進(jìn)一步發(fā)揮了數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，而如何在教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)是亟待解決的問(wèn)題.數(shù)學(xué)課程資源作為教師教與學(xué)中運(yùn)用到的各種資源，關(guān)系到整個(gè)教學(xué)的實(shí)施，其中數(shù)學(xué)隱性課程資源主要包括數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程、邏輯、背景、文化等元素，這些元素與核心素養(yǎng)所提倡的啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考，獲得必備的品格不謀而合.因此，需要進(jìn)一步開發(fā)數(shù)學(xué)隱性課程資源，逐步由原來(lái)的知識(shí)教育為核心轉(zhuǎn)向以培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)為核心.

1?基本概念及其特征

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)實(shí)世界，其中初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更加側(cè)重對(duì)概念的理解.

在國(guó)內(nèi)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中出現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程資源的概念.喻平教授進(jìn)一步將數(shù)學(xué)課程資源分為外顯性資源和內(nèi)隱性資源^［1］，外顯性資源大多以靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)為主，而內(nèi)隱性資源則是知識(shí)背后深層次元素構(gòu)成的集合，例如：探索過(guò)程、數(shù)學(xué)思想、歷史文化等.

充分利用隱性課程資源，創(chuàng)造利于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索的過(guò)程，獲得實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，逐步形成數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.因此，挖掘隱性課程資源，有助于踐行新課標(biāo)理念.

2?數(shù)學(xué)課程資源運(yùn)用現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)教師在課程資源的運(yùn)用上注重外顯性資源，能在認(rèn)真閱讀教材的基礎(chǔ)上，把握好教學(xué)的重難點(diǎn)，傳授書本上的知識(shí)點(diǎn)，訓(xùn)練解題技能.但是很少有教師真正注重知識(shí)的探索與生成過(guò)程，缺乏挖掘基于數(shù)學(xué)教材的隱性資源，忽視學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.因此，開發(fā)數(shù)學(xué)課程隱性資源是十分有必要，有助于提升數(shù)學(xué)課堂的品質(zhì)，促進(jìn)教師專業(yè)化發(fā)展和教學(xué)水平，最終讓學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得良好發(fā)展.

3?教學(xué)設(shè)計(jì)

筆者以開設(shè)的公開課“勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用”為例，詳細(xì)談一談如何在課堂中充分利用數(shù)學(xué)課程的隱性資源，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1?背景分析

本節(jié)課是八上第三章的第三節(jié)內(nèi)容，主要涉及運(yùn)用勾股定理及其逆定理來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.本課內(nèi)容基于之前所學(xué)習(xí)的勾股定理和直角三角形的判定定理，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識(shí)，滲透“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化”等思想.

學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合有了初步認(rèn)識(shí)，為本課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).但是部分學(xué)生未充分認(rèn)識(shí)到勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系，仍缺乏分析問(wèn)題、抽象出數(shù)學(xué)模型和解決問(wèn)題的能力.

3.2?教學(xué)目標(biāo)

（1） 經(jīng)歷運(yùn)用勾股定理和逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（2） 經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程的方法解決問(wèn)題的過(guò)程，形成模型觀念，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

3.3?教學(xué)重難點(diǎn)

（1） 運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題；

（2） 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程的方法解決問(wèn)題.

3.4?教學(xué)流程

3.4.1?復(fù)習(xí)回顧

問(wèn)題1：“一橋飛架南北，天塹變通途！”假期出游時(shí)往往會(huì)經(jīng)過(guò)江陰大橋（如圖1所示）

（1） 觀察圖1（a），你能從中發(fā)現(xiàn)什么幾何圖形？

（2） 已知橋面以上索塔AB的高，怎樣計(jì)算AC、AD、AE、AF、AG的長(zhǎng).

（3） 工人檢修橋梁，已知索塔AB、橋面BC與拉索AC的長(zhǎng)度，如何檢查索塔是否垂直于橋面？

設(shè)計(jì)意圖：依托江陰大橋這一實(shí)際背景，以真實(shí)問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)習(xí).

3.4.2?探索一、“折竹”問(wèn)題

首先介紹《九章算術(shù)》作為古代算經(jīng)之首，有著深厚的歷史底蘊(yùn)，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和文化自信，進(jìn)而引出“折竹問(wèn)題”.

問(wèn)題2：如圖2（a）所示九章算術(shù)中的“折竹”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？其大意是有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“折竹”問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題情境，抽象出幾何模型，使用方程思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的文化自信.

3.4.3?探索二、草坪?jiǎn)栴}

問(wèn)題3：校園內(nèi)有一個(gè)三角形草坪△ABC（如圖3所示） ，AD是△ABC的中線，AD=24dm，AB=26dm，BC=20dm.求AC的長(zhǎng).

變式1：如圖4所示，校園內(nèi)有一四邊形草坪，∠A=90°，已知AD=12dm，AB=16dm，DC=15dm， BC=25dm，求四邊形ABCD的面積.

〖KH-1〗變式2：如圖5所示，校園內(nèi)有一三角形草坪，已知AC=15dm，BC=14dm，AB=13dm，求△ABC的面積.

最后提出一個(gè)開放性問(wèn)題：設(shè)計(jì)一個(gè)新的草坪形狀，要求可以利用勾股定理或逆定理求解草坪面積，看誰(shuí)設(shè)計(jì)的草坪最漂亮！

設(shè)計(jì)意圖：以轉(zhuǎn)化思想為主線，通過(guò)解決一系列的草坪?jiǎn)栴}，滲透一題多解，體現(xiàn)問(wèn)題設(shè)計(jì)的變化性、開放性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.

3.4.4?探索三、最短路徑

問(wèn)題4：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐朝詩(shī)人李欣所作的詩(shī)句，其中蘊(yùn)含著“將軍飲馬問(wèn)題”.

如圖6所示，若詩(shī)中將軍從A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).已知點(diǎn)A、B到河邊的距離分別為2km和3km，點(diǎn)A和B間的水平距離為12km，請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總路程最短，最短為多少？

設(shè)計(jì)意圖：古代背景與現(xiàn)實(shí)背景相結(jié)合，設(shè)計(jì)一系列“最短路徑”問(wèn)題，滲透數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想，培育學(xué)生興趣，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

3.4.5?總結(jié)提升

（1） 你是如何運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的？

（2） 蘊(yùn)含了什么數(shù)學(xué)思想？

（3） 結(jié)合之前學(xué)習(xí)的一元一次方程和一元一次不等式在生活中的應(yīng)用，談一談如何將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想以及知識(shí)之間的前后聯(lián)系這三個(gè)層面來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，既回顧了本節(jié)課的內(nèi)容，又從整體的角度把握知識(shí)的脈絡(luò)與研究方法.

4?教學(xué)反思

新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)著眼于培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”，這就要求教學(xué)不能局限于書本，要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)課程的隱性資源，著眼于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)造力，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下，抓住以下三方面，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)：

4.1?了解背景，激發(fā)興趣

數(shù)學(xué)教學(xué)的背景分為知識(shí)背景和學(xué)生背景.數(shù)學(xué)知識(shí)不是憑空產(chǎn)生的，它有著豐富的現(xiàn)實(shí)和歷史意義，“勾股定理”作為幾何的基本定理，體現(xiàn)的“形數(shù)統(tǒng)一”思想對(duì)科學(xué)創(chuàng)新有著重要意義.在實(shí)際生活中，它在屋頂構(gòu)造、橋梁設(shè)計(jì)等方面有著重要應(yīng)用.從學(xué)生角度看，初二的學(xué)生有一定的幾何基礎(chǔ)和推理能力，但綜合運(yùn)用能力較弱，要在課堂中逐步引導(dǎo)，以實(shí)際情境促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

在了解教學(xué)背景的前提下，將感性和理性相結(jié)合，充分融入文化元素，融入數(shù)學(xué)家們的事跡，在課堂中滲透堅(jiān)持不懈、勇敢探索等精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)文化自信.

4.2?經(jīng)歷過(guò)程，發(fā)展思維

數(shù)學(xué)知識(shí)是相對(duì)真理，它產(chǎn)生于問(wèn)題，隨著時(shí)代的變遷不斷發(fā)展變化，是一個(gè)過(guò)程，所以在課堂中用重視過(guò)程，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.本課通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)回憶之前學(xué)習(xí)的勾股定理及其逆定理，但是此前并沒(méi)有將其運(yùn)用到生活中，學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中會(huì)遇到困難，找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，激起學(xué)生的探索欲.在經(jīng)歷一系列探索的活動(dòng)中，收獲研究數(shù)學(xué)的方法，發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí).

4.3?單元視角，整體思維

數(shù)學(xué)知識(shí)不是割裂的個(gè)體，它是一個(gè)體系，單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)與較多其他知識(shí)存在著關(guān)聯(lián).從單元的角度來(lái)看，所教內(nèi)容往往存在著明線與暗線，需要我們站在不同的角度來(lái)研究.以本課為例，它是勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，也為之后進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何奠定基礎(chǔ)，在總結(jié)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從單元視角來(lái)理解該知識(shí)點(diǎn).此外，從知識(shí)關(guān)聯(lián)來(lái)看，它是數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用中的一課時(shí)；思想角度來(lái)看，它是初中“數(shù)形結(jié)合”這一暗線中的一課時(shí)，因此課堂中要做好引導(dǎo)，為之后進(jìn)一步研究做鋪墊.

樹立整體思維，有利于學(xué)生健全個(gè)性，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)用.

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基金項(xiàng)目：江蘇省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃課題“初中數(shù)學(xué)隱性課程資源開發(fā)利用的實(shí)踐研究”（編號(hào)：E-c/2016/12）.