庹婧藝 徐冰峰 徐悅 喻嵐 王雪穎 郭露遙

（昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500）

0 引言

目前國內多數(shù)水廠投藥量仍靠人為因素調節(jié)，如經驗法、燒杯試驗法等。本文數(shù)據(jù)來源于昆明市某自來水廠機器采集的源水濁度等實時數(shù)據(jù)。當出水余氯與濁度不夠理想時，其水廠投藥量通過當班工作人員人為調節(jié)，既耗人力又耗財力，且投藥量僅靠個人經驗的投藥方式有很大的個人主觀因素影響。其他學者就此類問題提出了許多預測出水濁度或投藥量的方法，例如建立二元回歸分析模型［1］、機理模型［2］、Elman ANN算法模型［3］、優(yōu)化BP神經網絡模型［4-5］等，通過數(shù)量間的映射關系，運用模擬分析掌握水廠混凝投藥量的規(guī)律。但二元回歸模型需要對高濁期與低濁期水質進行分類建立回歸模型，對數(shù)據(jù)要求高且精度較差。機理模型建立難度大、求解困難，且對不同工藝水廠需要重新建模，適應性差。其他神經網絡模型多數(shù)存在迭代次數(shù)高、魯棒性差、易陷入局部極小值等問題。

PSO粒子群算法與RBF神經網絡算法均屬于近年的主流算法，PSO算法本身擁有優(yōu)秀的全局搜索能力，每個粒子運動軌跡保持獨立，僅接受全局適應度的約束，迭代次數(shù)較普通遺傳算法快很多。RBF神經網絡是簡單的多層前饋神經網絡，可以近似任意非線性函數(shù)，精度高，在模糊識別、非線性擬合中有著廣泛應用。RBF神經網絡與PSO粒子群算法結合后，具備了誤差反饋調節(jié)能力，提升了算法的全局搜索性，擁有更高精度且降低了魯棒性。本文數(shù)據(jù)選自昆明市某自來水廠，基于PSO算法優(yōu)化后的RBF神經網絡，利用敏感度分析水廠投藥量影響因子，建立了4類源水參數(shù)與投藥量之間的高維映射模型，以解析源水數(shù)據(jù)與投藥量之間的規(guī)律，實現(xiàn)對投藥量的動態(tài)預測。

1 理論基礎

1.1 RBF神經網絡原理

RBF的原理是使用核函數(shù)（cover函數(shù)）方法，將輸入向量空間轉換到隱層，使樣本點逼近一個連續(xù)的高維度曲面，這樣更容易求得插值曲面，使線性不可分問題變?yōu)榭煞帧５玫讲逯登婧?，將自來水廠非線性待求樣本值映射到曲面，就能得到投藥量模擬預測值。為了擬合大數(shù)據(jù)量，廣義的RBF函數(shù)網絡中心點數(shù)量與訓練樣本數(shù)量不一致［6］，由輸入層、隱層、輸出層組成。設輸入值為Xk，則投藥量輸出值Y（x）為：

式中，n為隱層數(shù)，也是基函數(shù)中心點個數(shù)［7］；dmax為中心點Xi的最大距離。

RBF基函數(shù)模擬原理如圖1所示，散點為待擬合的訓練樣本，X軸處相同函數(shù)是基函數(shù)，x1處樣本點實值為a，基函數(shù)乘以權值后模擬出插值函數(shù)，RBF擬合的插值Y（x）就是b點與c點的縱坐標之和。在RBF網絡中，需要訓練的參數(shù)為：隱層中基函數(shù)的中心點位置；隱層節(jié)點個數(shù)N；隱層中基函數(shù)的標準差；隱層到輸出層的函數(shù)權值。最終求得最優(yōu)解，盡可能使虛線曲線擬合訓練樣本。

圖1 RBF基函數(shù)模擬原理

1.2 PSO粒子群算法原理

PSO算法最早源于對鳥群進食的研究，基于種群智能行為的隨機搜索算法，個體鳥類便是PSO算法中的粒子i，食物的位置便是問題的最優(yōu)解。在D維搜索空間中，粒子的位置可由坐標xi=（xi1，xi2，…，xid）表示，運動速度可由向量vi=（vi1，vi2，…，vi）表示。鳥群在飛行進食時，每個個體都會記錄飛行運動過程中的最優(yōu)位置，即個體最佳點ibest；在每一次迭代運動后，個體也通過鳥群經驗共享和飛行協(xié)作來更新最優(yōu)進食點，即全局最佳點gbest，每一次粒子的飛行位置優(yōu)劣和運動速度方向都由f（x）適應值函數(shù)約束，最終使種群在復雜的高維空間中獲得最優(yōu)解。PSO算法收斂速度相較于遺傳算法更快，且具有更好的聚類效果，其飛行位置與運動速度由式（3）、式（4）決定：

2 優(yōu)化算法模型的建立

2.1 數(shù)據(jù)預處理

2.1.1 影響因子確定

本文采用全局敏感度分析法，計算昆明市某自來水廠7個源水影響因子與投藥量之間的敏感度系數(shù)，結果如表1所示。

表1 敏感度系數(shù)分析計算結果

由敏感度計算結果分析，源水指標影響因素從高至低依次為：源水濁度>源水流量>耗氧量>pH值>色度>菌落總數(shù)>電導率，因此投藥量應重點圍繞流量、濁度、pH值、耗氧量等4個影響因子考慮。依據(jù)此結果，本文選取以上4個影響因子指標作為訓練樣本的維度，投藥量作為實際輸出值的維度［9-10］，如圖2所示。

圖2 RBF神經網絡模擬水廠投藥量結構

2.1.2 樣本選取

以昆明市某自來水廠2018年1月—2020年7月共30個月的監(jiān)測數(shù)據(jù)作為訓練樣本，將訓練樣本矩陣打亂不按照既定年月排列，以此創(chuàng)建4×191的矩陣作為PSO優(yōu)化RBF神經網絡的輸入矩陣，X（x1n，x2n，x3n，x4n），n=1，2，…，191。創(chuàng)建1×191的矩陣作為期望擬合的投藥量實際值J矩陣。J=J（xn），n=1，2，…，191。隨機取自來水廠2018年1月—2020年7月監(jiān)測數(shù)據(jù)，創(chuàng)建30個樣本量矩陣作為測試矩陣樣本。

由于源水指標數(shù)量級存在差別，為了防止計算飽和，先對訓練樣本進行歸約處理：

式中，X為水廠數(shù)據(jù)的訓練樣本集，Xmax為樣本集數(shù)據(jù)最大值，Xmin為最小值。

2.2 創(chuàng)建函數(shù)

PSO算法優(yōu)化RBF網絡訓練流程如圖3所示。

圖3 PSO算法優(yōu)化RBF神經網絡訓練流程

2.2 .1使用減法聚類法確定RBF網絡隱層節(jié)點個數(shù)

減法聚類算法可以快速合理地得到數(shù)據(jù)的聚類中心，根據(jù)廣義徑向基函數(shù)特點，可直接將求出的聚類密度最大的訓練樣本點作為PSO函數(shù)的中心點，將樣本點數(shù)作為RBF網絡的隱層節(jié)點數(shù)。將歸約處理后的數(shù)據(jù)矩陣X（x1n，x2n，x3n，x4n）按照式（6）計算樣本i處的密度指標。

式中，ki為訓練樣本i處的密度指標，k為迭代更新次數(shù)。將首次迭代時密度指標最高的數(shù)據(jù)點X0=max{x∣ki（x）}作為函數(shù)的第一個聚類中心。將第k次更新的密度指標kmax所對應的訓練樣本點xkmax作為新的聚類中心，采用式（7）修正k+1次樣本數(shù)據(jù)的最大值密度指數(shù)。

式中，a、b由式（8）確定。依據(jù)式（7）計算第k+1次迭代的密度指數(shù)k+1判斷是否成立，成立則退出，否則重新轉到式（7）。計算所得聚類中心數(shù)即為廣義徑向基函數(shù)隱層節(jié)點個數(shù)N。式中為聚類中心點的鄰域半徑，取值一般為≥0.5時結果較優(yōu)［11］。

2.2.2 使用公式確定RBF網絡高斯基函數(shù)標準差

計算高斯函數(shù)標準差即擴展函數(shù)為：

式中，dmax為聚類中心點之間的最大距離，聚類點存在高維度時，其間距計算采用歐氏距離；N為隱層節(jié)點的個數(shù)。

2.2.3 使用PSO算法更新RBF網絡中心點位置

利用PSO基于群體智能的算法，將減聚類法得到的聚類中心集xk設置為初次迭代的中心點位置，以減少迭代次數(shù)，根據(jù)式（4）更新粒子每次迭代的運動位置。RBF神經網絡是利用誤差反向傳遞調解輸出值，本文采用PSO優(yōu)化訓練來使擬合誤差縮小。因此，PSO算法的適應度函數(shù)f（x）可采用RBF網絡均方誤差的倒數(shù)來進行約束，見式（10）。原始RBF是將訓練樣本點直接歸為某類聚類中心，而PSO優(yōu)化后的RBF網絡歸類方式更為敏感、聚類效率高、搜索速度更快。

根據(jù)式（1）求得的輸出值Y，計算得適應度函數(shù)為：

以此約束式（4）以求得每個中心點的位置，中心點Xpo（px1N，x2N，x3N，x4N）為N×10的矩陣。

2.2.4 使用偽逆法計算RBF函數(shù)權值

確定中心點個數(shù)、位置與標準差之后，下一步是采用偽逆法求取輸出權值。假設投藥量期望輸出矩陣為J=J（xn）；Jij為函數(shù)輸入向量i的第j個輸出值，其中i∈（1，n），j∈（1，n）；kj為函數(shù)從隱層節(jié)點k到輸出節(jié)點j的權值，其中k∈（1，N）。則突觸權值矩陣可用式（11）求得：

式中，投藥量輸出矩陣G={gik}，權值矩陣=kj，其中gik是輸入向量i的第k個輸出值；G+為投藥量矩陣G的廣義逆，其目標解可由式（12）作奇異值分解求取。

3 函數(shù)運行結果

最終生成PSO優(yōu)化后的RBF神經網絡水廠混凝投藥模型的函數(shù)式，13個隱層數(shù)和網絡中心點數(shù)、最大相對誤差12.55%、平均相對誤差5.63%、平均絕對誤差61.49，迭代次數(shù)59次，優(yōu)化后的函數(shù)與原始函數(shù)運行結果對比如圖4所示。

圖4 優(yōu)化后的函數(shù)與原始函數(shù)運行結果對比

PSO算法優(yōu)化后的RBF神經網絡相較于水廠機理模型、回歸分析、其他神經網絡等模型，精度存在明顯提高，如表2所示。結果表明，本文提出的PSO優(yōu)化RBF網絡模擬投藥量能力優(yōu)于原始RBF算法，此種模擬可為解決水廠投藥量控制提供參考。

表2 優(yōu)化后的RBF神經網絡與其他算法模型運行精度對比

4 結論

1）PSO算法優(yōu)化后的RBF神經網絡在59次便已達到收斂，而原始RBF神經網絡在150次左右收斂，可看出PSO算法優(yōu)化后運算速度更快，能改善RBF網絡性能。

2）PSO優(yōu)化后的RBF神經網絡相較于未優(yōu)化的原始RBF神經網絡對于水廠投藥量預測平均相對誤差降低了25.04%，最大相對誤差降低了1.101，可見優(yōu)化后的RBF相較于原始RBF神經網絡模擬精度更高。

3）運用回歸方程分析水廠投藥量時，常將樣本分為高濁與低濁兩個方程計算。本文將訓練樣本矩陣打亂不按照既定月份排列，最后發(fā)現(xiàn)高濁度期和低濁度期數(shù)據(jù)對優(yōu)化后的神經網絡輸出影響不大，且預測結果比回歸方程求解輸出更為精準。

4）機理模型高精度的前提是保證其與水廠的相似性，當更換水廠后，機理模型難以擁有高精度，對于地理位置、工藝流程及源水水質不同的水廠不具有普適性，難以投入生產實踐。本文減少了對水廠每個單元的機理模擬，通過PSO優(yōu)化后RBF神經網絡的函數(shù)直接得出投藥與源水水質的映射關系，獲得水廠運行數(shù)據(jù)庫就能借助函數(shù)有針對性地進行建模。