【摘要】知識是教學(xué)的媒介，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的前提與基礎(chǔ)。教學(xué)“正比例和反比例”這一起點型核心知識時，教師應(yīng)注意整體研讀課程標準，全面厘清教材意圖，通盤緊扣教學(xué)主線，精準施教，夯實知識結(jié)構(gòu)的根基，彰顯起點型核心知識獨特的價值。

【關(guān)鍵詞】起點型核心知識；小學(xué)數(shù)學(xué)；長程視野；正比例和反比例

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2022）33-0018-04

【作者簡介】劉正松，南京市教學(xué)研究室（南京，210001）小學(xué)數(shù)學(xué)教研員，高級教師，南京市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，江蘇省教學(xué)名師。

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的教學(xué)研究”（DHA200370）階段性研究成果。

數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)嚴謹，但鑒于學(xué)生認知規(guī)律和課時教學(xué)需要，教材編寫時都進行了較為合理的劃分。這樣一來，原本結(jié)構(gòu)化的知識便散點式地分布于各年級的教材中，不少教師會平均著力于每個知識點的教學(xué)，這是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)業(yè)負擔(dān)過重的原因之一。教師擁有長程視野，聚焦起點型核心知識精準施教，將有助于學(xué)生夯實知識結(jié)構(gòu)的根基，進而生發(fā)和建構(gòu)新的知識。“正比例和反比例”便是典型的起點型核心知識。它作為刻畫某一現(xiàn)實背景中兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，從常量到變量，是學(xué)生認識過程中的一次重大飛躍。雖然學(xué)生在過去學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)和運算律的過程中，對變量的思想有過一些感知，但真正用函數(shù)的觀念探索兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律是從“正比例和反比例”開始的。[1]

為了解“正比例和反比例”這一起點型核心知識的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我們在一所學(xué)校展開教學(xué)研究。該校六年級共10個班，369名學(xué)生，從中隨機選取5個班作為實驗班，另外5個班作為對照班。對照班教師按照教材編排，參照蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫組編寫的《小學(xué)數(shù)學(xué)備課手冊（六年級下冊）》中的教學(xué)設(shè)計展開教學(xué)。一周后，我們將兩組判斷題編制在一張練習(xí)中，組織學(xué)生隨堂練習(xí)。

1.根據(jù)圖1每個表中對應(yīng)數(shù)量之間的關(guān)系，判斷哪些量成正比例，哪些量成反比例，哪些量既不成正比例也不成反比例。

2.判斷各題的兩種量是否成比例，成比例的是成正比例還是成反比例。

（1）100名同學(xué)參加團體操表演，每排的人數(shù)和排數(shù)。

（2）王叔叔每分鐘澆樹的棵數(shù)一定，澆樹的時間和澆樹總棵數(shù)。

（3）正方體的體積一定，底面積和高。

（4）已知xy=10，x和y。

檢測結(jié)果如表1所示：

同為判斷兩種量是否成正比例或反比例，正確率懸殊較大，我們就練習(xí)內(nèi)容對部分師生進行了訪談，了解他們的真實想法。當(dāng)問學(xué)生“判斷第1題表格中的兩種量和第2題文字描述的兩種量哪個更容易？”時，學(xué)生回答：“判斷表格中的兩種量更容易，因為根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以很快推算出兩種量是比值一定還是乘積一定。”當(dāng)就“正方體的體積一定，底面積和高”一題問學(xué)生“你是怎么想的？”時，學(xué)生說出了自己的想法：“因為正方體的底面積乘高等于體積，體積一定，說明底面積和高的乘積一定，所以底面積和高成反比例?！睆膶W(xué)生的回答中不難看出，他們的思路很“清晰”。學(xué)生真實的想法也便于我們找出問題的癥結(jié)所在。此外，有兩位教師竟然也認為“正方體的體積一定，底面積和高”一題的答案為“反比例”。當(dāng)我們進一步解釋時，兩位教師才意識到錯誤?，F(xiàn)實中，部分教師教學(xué)時更多關(guān)注具體課時的內(nèi)容，而缺少對教學(xué)內(nèi)容來龍去脈的長程考量，出現(xiàn)問題也是在所難免。

為了幫助學(xué)生精準建構(gòu)正、反比例的意義，我們重組教材內(nèi)容，以列表為主要表征方式，將正、反比例的意義融為一課時在實驗班展開教學(xué)。

1.認識“兩種相關(guān)聯(lián)的量”

出示表2至表6。

提問：每張表格中的兩種量有聯(lián)系嗎？

學(xué)生先獨立觀察、思考，然后集體交流，明確：表2中兩種量沒有聯(lián)系，其余四張表中兩種量有聯(lián)系。

揭示：兩種相關(guān)聯(lián)的量。

2.認識“正比例”和“反比例”

談話：剛才大家看到了表中“變化”的量，誰能從“不變”的視角分析一下后四張表？

在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上用數(shù)量關(guān)系式表示出表中不變的關(guān)系。（逐一板書）

追問：回頭看看這四張表格，如果讓你分分類，你會怎么分？

通過交流，明確：表3和表6一類，表中兩種量的積不變；表4和表5一類，表中兩種量的商不變。

揭示：正比例和反比例。

3.明確判斷方法

出示：正方形的周長和邊長成比例嗎？成什么比例？

師生合作列表，借助表格數(shù)據(jù)進行判斷。

出示：長方形的面積一定，長與寬成比例嗎？成什么比例？

學(xué)生獨立思考，集體交流判斷方法。

追問：怎樣判斷兩種量是否成比例？成什么比例？

指名交流，明確方法：根據(jù)題意列表判斷。

4.嘗試建模

提問：成正、反比例的量在我們身邊有很多，你能舉出一些例子嗎？

學(xué)生舉例，集體交流。

提問：剛才大家舉出了很多成正、反比例的量的例子，你們能不能分別用一道式子概括這些例子？

一周后，我們將對照班學(xué)生完成的練習(xí)發(fā)放給實驗班學(xué)生完成檢測，檢測結(jié)果如表7所示。由表7可知，實驗班各題的正確率均高于對照班，特別是“正方體的體積一定，底面積和高”這一題，實驗班的正確率明顯提升。無疑，我們的教學(xué)重構(gòu)是成功的。回顧上述教學(xué)過程，不難發(fā)現(xiàn)：有了表格數(shù)據(jù)的支撐，學(xué)生更為準確地把握了這一知識的本質(zhì)，在腦海中清晰建構(gòu)了正比例和反比例的數(shù)學(xué)模型。

教師作為教育教學(xué)活動的主導(dǎo)，應(yīng)擁有長程視野，對不同領(lǐng)域、板塊、序列的核心知識特別是起點型核心知識作出科學(xué)的判斷和梳理，進而凸顯內(nèi)容本質(zhì)，細化教學(xué)要求，促進學(xué)生牢固建構(gòu)新知。

1.整體研讀課程標準

課程標準是教材編寫和教師教學(xué)的依據(jù)，其重要性毋庸置疑。當(dāng)前，教師大多能準確把握課程性質(zhì)和基本理念，具體實施教學(xué)前也會反復(fù)研讀學(xué)段目標、課程內(nèi)容和實施建議，這本無可厚非，但數(shù)學(xué)知識嚴密的邏輯性使得一個知識點往往只是某一領(lǐng)域、某一板塊或某一序列知識的起點、節(jié)點或拐點，從中可以生發(fā)出一系列新的知識，這就要求我們研讀課程標準時不能囿于某一學(xué)段，而應(yīng)貫通各個學(xué)段，整體研讀。第二學(xué)段“正比例和反比例”正是第三學(xué)段“函數(shù)”的起點。關(guān)注第三學(xué)段“函數(shù)”的課程內(nèi)容，我們會進一步發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，表征這種對應(yīng)關(guān)系常用的方式有列表、圖像和解析式。對“正比例和反比例”的學(xué)習(xí)而言，多種表征方式可以清晰呈現(xiàn)概念的形成過程，促進學(xué)生理解概念，但不同學(xué)段采用的表征方式側(cè)重點應(yīng)略有不同。就第二學(xué)段學(xué)生而言，借助列表的方式判斷成正、反比例的量，能使抽象的知識更加具體直觀，從而豐富學(xué)生對正、反比例意義的認識與體驗。

2.全面厘清教材意圖

教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，只有全面厘清教材編寫意圖，才能精準實施課堂教學(xué)。蘇教版、人教版和北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材都將“正比例和反比例”安排在六年級下冊教學(xué)。其中，人教版教材將“比例”與“正比例和反比例”的內(nèi)容整合為“比例”這一個單元。顯然，這更能凸顯知識之間的聯(lián)系。就“正比例和反比例”相關(guān)知識的編排而言，人教版與蘇教版教材的編排方式較為相似。而北師大版教材在正式學(xué)習(xí)正、反比例之前特意安排了“變化的量”這一內(nèi)容，設(shè)計三個具體情境，讓學(xué)生體會變量和變量之間相互依存的關(guān)系，并嘗試描述這些關(guān)系。值得關(guān)注的是，三版教材在編排“正比例和反比例”時都結(jié)合具體情境借助表格呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，有的表格完整呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，有的表格沒有出示全部數(shù)據(jù)，需要學(xué)生在觀察、思考的基礎(chǔ)上繼續(xù)填寫完整，這正給了學(xué)生思考、體驗成正、反比例的兩個量之間變化關(guān)系的空間。如此編排，凸顯了正、反比例概念形成與應(yīng)用的過程與方法，有助于學(xué)生進一步弄清正、反比例概念的內(nèi)涵和外延，而這些都建立在教師全面厘清教材編寫意圖的基礎(chǔ)之上。

3.通盤緊扣教學(xué)主線

起點型核心知識具有生長基因，它在學(xué)生知識體系建構(gòu)過程中具有獨特價值。因此，教師應(yīng)通盤緊扣教學(xué)主線，讓學(xué)生獲得正確的知識、有效的方法、合理的策略，以保證在后續(xù)教與學(xué)的過程中能夠順利建構(gòu)新知識。[2]在現(xiàn)實中，有許多數(shù)量關(guān)系可以表示為成正比例的量和成反比例的量，其本質(zhì)是兩個量按一定的比例關(guān)系發(fā)生變化。因此，聯(lián)系和變化應(yīng)成為“正比例和反比例”教學(xué)的主線。從對照班學(xué)生的訪談中不難想到，當(dāng)前很多教學(xué)都注重知識的形式，而忽略知識的本質(zhì)，當(dāng)學(xué)生想到“正方體的體積=底面積×高”這一數(shù)量關(guān)系后，他們便將目光聚焦于“積是否一定”上，而在無形中忽略了判斷成正、反比例的量的重要前提——變量。因此，教學(xué)中結(jié)合具體的例子讓學(xué)生感知兩個量的“聯(lián)系”和“變化”，并在“變量”中找到“不變量”尤為關(guān)鍵。根據(jù)小學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，他們的形象思維更占優(yōu)勢，教學(xué)中可以始終借助列表的方式引導(dǎo)他們建構(gòu)相關(guān)概念，后續(xù)應(yīng)用時也可以引導(dǎo)他們通過表格展開說理。這看似有些“樸素”的方法恰能最直觀地體現(xiàn)成正比例或反比例的兩個量之間的聯(lián)系與變化，從而促進學(xué)生把感性認識上升為理性認識，獲得對正比例意義和反比例意義的正確理解。

總而言之，知識是人的素養(yǎng)形成和發(fā)展的載體，知識和知識教學(xué)要服務(wù)于人的素養(yǎng)的形成和發(fā)展。[3]因此，基于長程視野，合理地選擇和確定教學(xué)內(nèi)容，凸顯對學(xué)生知識體系建構(gòu)、核心素養(yǎng)培育具有重要作用的起點型核心知識教學(xué)就顯得尤為迫切和必要。

[1]南京東方數(shù)學(xué)教育科學(xué)研究所.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書（六年級下冊）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014：142.

[2]魏光明，王俊亮.小學(xué)數(shù)學(xué)“起點型核心知識”教學(xué)初探[J].江蘇教育研究，2018（10）：62.

[3]余文森.從“雙基”到三維目標再到核心素養(yǎng)——改革開放40年我國課程教學(xué)改革的三個階段[J].課程·教材·教法，2019，39（9）：46.