王芳

[摘? 要] “用二次函數(shù)解決問題”的內(nèi)容充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性，教師在課堂教學(xué)時(shí)要充分立足實(shí)際問題，從生活中取材，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)問題抽象、建模解析的過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)二次函數(shù)求解實(shí)際問題的策略.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);實(shí)際問題;生活情景;建模;教學(xué)策略

“用二次函數(shù)解決問題”章節(jié)知識(shí)旨在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，利用二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際問題，教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的方法. 而教學(xué)的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是讓學(xué)生體會(huì)二次函數(shù)的應(yīng)用性，提升應(yīng)用意識(shí);二是引導(dǎo)學(xué)生感知實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題抽象的過程，掌握知識(shí)應(yīng)用的方法;三是引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展核心素養(yǎng). 下面基于上述三大關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)行教學(xué)探討.

融入生活情景，感悟知識(shí)應(yīng)用

“用二次函數(shù)解決問題”章節(jié)內(nèi)容的核心思想是“學(xué)以致用”，即利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決生活中的問題，故課堂教學(xué)建議采用生活情景導(dǎo)入課堂的方式，讓學(xué)生感知生活中的數(shù)學(xué)，體會(huì)知識(shí)的應(yīng)用性.

二次函數(shù)的圖像是特殊的曲線，教學(xué)中可以拱橋?yàn)橹黝}，引導(dǎo)學(xué)生探究思考.

問題1：如圖1所示，街心公園有一座拱橋，拱橋的橋洞為拱起的曲線，試思考該曲線與數(shù)學(xué)中的什么圖形相似？

引導(dǎo)：教學(xué)中讓學(xué)生關(guān)注拱橋橋洞曲線所呈現(xiàn)的圖形，讓學(xué)生感知生活中的“拋物線”，從而聯(lián)想到二次函數(shù)的圖像，建立生活實(shí)物與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系.

問題2：已知拱頂距離水面2 m時(shí)，水面的寬為4 m，試分析當(dāng)水面下降1 m時(shí)，水面增加的寬度為多少？

引導(dǎo)：該問題旨在引導(dǎo)學(xué)生深入思考拱橋橋洞曲線中的數(shù)學(xué)原理和規(guī)律，自然而然地聯(lián)想到利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來解決問題，進(jìn)而確定將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思路，為后續(xù)的教學(xué)探究做基礎(chǔ).

體會(huì)問題轉(zhuǎn)化，感知建模方法

將生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)建模的過程，對(duì)于學(xué)生而言該過程較為復(fù)雜，也是本章節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵. 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，感知數(shù)學(xué)建模的方法.

上述情景問題為一種數(shù)學(xué)模型，可引導(dǎo)學(xué)生從中抽象數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系，也是二次函數(shù)解決實(shí)際問題的常規(guī)過程，可分步進(jìn)行：確定曲線→建立坐標(biāo)系→設(shè)定曲線解析式→提取坐標(biāo)→求解析式→解決問題.

第一步：確定曲線

引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想數(shù)學(xué)圖形，確定拱橋橋洞形狀為拋物線.

第二步：建立坐標(biāo)系

引導(dǎo)學(xué)生思考如何建立坐標(biāo)系，哪種方式所建坐標(biāo)系更有利于求點(diǎn)坐標(biāo)，教學(xué)中可采用對(duì)比的方式，分別以橋洞的最高點(diǎn)（如圖2）和左側(cè)的最低點(diǎn)（如圖3）為原點(diǎn)建系，從而使學(xué)生體會(huì)軸對(duì)稱圖形建系的特點(diǎn).

第三步：設(shè)定解析式，求點(diǎn)坐標(biāo)

該步教學(xué)需要結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)，根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系中的位置特點(diǎn)，直接設(shè)定解析式，即y=ax2. 而在求點(diǎn)坐標(biāo)中可采用信息直譯的方式，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題干條件直接推導(dǎo)坐標(biāo).

橋洞的最高點(diǎn)（0，0），拱頂距離水面2 m時(shí)，水面的寬為4 m，則左側(cè)最低點(diǎn)（-2，-2），右側(cè)最低點(diǎn)（2，-2）.

在此基礎(chǔ)上教學(xué)函數(shù)求解析式最典型的方法——待定系數(shù)法，引導(dǎo)學(xué)生將坐標(biāo)代入解析式中求出a=-，從而確定拋物線的解析式為y=-x2. 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生重溫二次函數(shù)性質(zhì)，從曲線頂點(diǎn)位置、拋物線開口兩方面來思考所求解析式是否與圖像曲線匹配.

第四步：解決問題

該環(huán)節(jié)是知識(shí)應(yīng)用的重要階段，需要利用函數(shù)性質(zhì)求解，然后將所求結(jié)果反映到實(shí)際問題中，即完成“數(shù)學(xué)分析→推導(dǎo)結(jié)論”的過程. 對(duì)于本題目可將水面下降1 m時(shí)，坐標(biāo)視為（x1，-3），進(jìn)而將其代入拋物線解析式，求出x1=±，然后結(jié)合生活實(shí)際確定此時(shí)橋下水面的寬度為2m，故可確定水面增加的寬度為（2-4）m.

上述四步充分體現(xiàn)了用二次函數(shù)解決問題的過程，完成了“生活實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題”、“數(shù)學(xué)知識(shí)求解→生活實(shí)際結(jié)論”兩大過程的轉(zhuǎn)化過渡，對(duì)于深層次地拓展學(xué)生的知識(shí)和思維極為有利，同時(shí)其中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)建模和數(shù)形結(jié)合兩大核心素養(yǎng).

總結(jié)解題步驟，形成破題策略

“用二次函數(shù)解決問題”章節(jié)知識(shí)教學(xué)中，需要采用“導(dǎo)學(xué)自主”的模式，以學(xué)案為載體，以導(dǎo)學(xué)為方法. 除了要注意引導(dǎo)學(xué)生探究解決問題外，還要注重總結(jié)解題步驟，形成二次函數(shù)解決問題的策略. 總結(jié)環(huán)節(jié)建議采用自主思考、分組討論的方式，教師適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié).

上述探究環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生分四步進(jìn)行建模，也是二次函數(shù)解決實(shí)際問題的思維過程，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生分析解題步驟，探索思維推理，形成相應(yīng)的解題策略. 用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題，可以分為六個(gè)思維環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)緊密聯(lián)系，并形成完整的閉環(huán)，如圖4所示，教學(xué)中要立足思維重點(diǎn)，尊重學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生思考討論.

環(huán)節(jié)1：分析實(shí)際問題

該環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是分析實(shí)際問題，學(xué)生要引導(dǎo)關(guān)注題干條件，尤其是其中的圖像，聯(lián)系所學(xué)思考關(guān)聯(lián)函數(shù). 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生重溫所學(xué)函數(shù)的圖像，總結(jié)圖像特征.

環(huán)節(jié)2：二次函數(shù)

該環(huán)節(jié)要確定實(shí)際問題所符合的函數(shù)，可從兩個(gè)視角進(jìn)行引導(dǎo)：一是結(jié)合對(duì)應(yīng)圖像，如拱橋的形狀、噴泉的水柱均為拋物線，符合二次函數(shù)的圖像曲線;二是直接提取題干關(guān)鍵詞，如拋物線、弧形曲線等. 教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分組討論，可從哪些條件確定問題符合的函數(shù).

環(huán)節(jié)3：建立坐標(biāo)系

該環(huán)節(jié)是建模的基礎(chǔ)，也是實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的關(guān)鍵階段，教學(xué)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生合理選取坐標(biāo)原點(diǎn)，將實(shí)物曲線放置在坐標(biāo)系中. 教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生分組構(gòu)建坐標(biāo)系，展示成果，進(jìn)行自評(píng)，自主總結(jié)建系方法.

環(huán)節(jié)4：推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo)

該環(huán)節(jié)是文字語言向數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化的過程，也是對(duì)題干條件的直譯. 要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題干的數(shù)字信息，如距離、長(zhǎng)度、高度等，依托坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo). 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生掌握點(diǎn)坐標(biāo)推導(dǎo)的方法，如聯(lián)系幾何知識(shí)，由矩形、正方形性質(zhì)來推導(dǎo)線段長(zhǎng)等. 故教學(xué)中要注重思維融合，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88

環(huán)節(jié)5：求解析式

該環(huán)節(jié)需要重點(diǎn)講解待定系數(shù)法，需要建立“解析式未知量個(gè)數(shù)”與“點(diǎn)坐標(biāo)個(gè)數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，故要引導(dǎo)學(xué)生辨析思考在個(gè)數(shù)不對(duì)應(yīng)的條件下是否可求解析式. 教學(xué)中分類設(shè)置探究活動(dòng)，讓學(xué)生分組討論求解析式.

環(huán)節(jié)6：利用函數(shù)知識(shí)求解

即利用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)來解決問題，實(shí)現(xiàn)探究閉環(huán)，教學(xué)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生靈活利用函數(shù)的最值特性和單調(diào)性來求解. 教學(xué)時(shí)可依托典型問題，如利用最值特性分析利潤(rùn)、曲線最值點(diǎn)等，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的本質(zhì)，及時(shí)總結(jié)，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn).

滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展核心素養(yǎng)

函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)解決實(shí)際問題過程中突出體現(xiàn)兩大思想：模型思想和數(shù)形結(jié)合思想，即基于事物規(guī)律構(gòu)建二次函數(shù)模型，結(jié)合函數(shù)圖像及性質(zhì)來解決實(shí)際問題. 故教學(xué)中要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，注意發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，這也是新課標(biāo)理念的體現(xiàn).

從現(xiàn)實(shí)生活或具體的情景中抽象數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)語言來表示問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，該過程是基于模型思想進(jìn)行的轉(zhuǎn)化與構(gòu)建. 教學(xué)中可結(jié)合具體問題引導(dǎo)學(xué)生思考、關(guān)注問題中兩大變量的關(guān)系，利用函數(shù)來加以研究. 如利用二次函數(shù)的最值來分析生活中的面積最值、距離最值和利潤(rùn)最大等問題. 探究教學(xué)要注意聯(lián)系生活，讓學(xué)生感悟知識(shí)應(yīng)用.

而數(shù)形結(jié)合是探究二次函數(shù)的重要方法，貫穿于教學(xué)探究整個(gè)過程. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，建立坐標(biāo)系繪制函數(shù)圖像，利用圖像性質(zhì)來解決問題. 如圖像的開口方向、頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，即若a<0，當(dāng)x=-時(shí)，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最大值.

以產(chǎn)品利潤(rùn)問題教學(xué)為例：已知某件商品的每件的進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元（20≤x≤30，且x為整數(shù)）出售，可賣出（30-x）件. 若要使利潤(rùn)最大，則每件的售價(jià)應(yīng)為多少元？

教學(xué)中首先要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件列出函數(shù)解析式：y=-x2+50x-600，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生繪制對(duì)應(yīng)的圖像，確定頂點(diǎn)坐標(biāo)（25，25），如圖5所示. 然后引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖像性質(zhì)，理解x=25時(shí)，二次函數(shù)有最大值，此時(shí)的利潤(rùn)最大. 這樣，能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合解析問題的過程，感知數(shù)形結(jié)合的思維優(yōu)勢(shì)，感悟其中的思想內(nèi)涵.

總之，“用二次函數(shù)解決問題”章節(jié)內(nèi)容充分體現(xiàn)了“學(xué)以致用”的教學(xué)理念，教學(xué)中要打破傳統(tǒng)的“講授”模型，要尊重學(xué)生的主體地位，尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，精設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體驗(yàn)建模過程，掌握解題的策略. 同時(shí)探究過程要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88