萬(wàn)濤

[摘? 要] 尺規(guī)作圖是考查學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，試題主要考查學(xué)生明晰尺規(guī)作圖的作圖原理.這給我們的教學(xué)啟示是在課堂教學(xué)時(shí)可以對(duì)同一道尺規(guī)作圖題進(jìn)行深刻的剖析，不斷優(yōu)化作圖的方法，增強(qiáng)學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 尺規(guī)作圖;作圖原理;發(fā)散思維

尺規(guī)作圖是在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上和所具備的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的前提下，考查學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 這種考查能使學(xué)生明晰尺規(guī)作圖的原理，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維[1]. 下面針對(duì)2021年南京市中考數(shù)學(xué)試題第25題，和大家一起探討這道題的作圖原理，同時(shí)思考教師如何在課標(biāo)的引領(lǐng)下，提升學(xué)生尺規(guī)作圖的能力，使得學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，明晰作圖原理.

試題呈現(xiàn)

如圖1，已知P是☉O外一點(diǎn)，用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)P作☉O的一條切線. 要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖;（2）保留作圖痕跡，寫出必要的文字說(shuō)明.

試題分析

這是一道尺規(guī)作圖題，要求學(xué)生只用直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)P作☉O的一條切線. 要確定切線，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，已知點(diǎn)P，關(guān)鍵在☉O上找一個(gè)點(diǎn)（即點(diǎn)B），使得滿足直線PB與☉O相切.

本題簡(jiǎn)潔明了，但立意較高，學(xué)生感覺(jué)困難的主要原因是不理解尺規(guī)作圖的原理，找不到目標(biāo)圖形，在有限的時(shí)間內(nèi)，部分學(xué)生難以形成正確的思路，該如何突破尺規(guī)作圖的思維屏障，該怎么想？方法是什么？要解決尺規(guī)作圖這類問(wèn)題，首先要想象出符合要求的圖形，在此基礎(chǔ)上展開(kāi)幾何逆向推理，進(jìn)行有關(guān)聯(lián)想，獲得目標(biāo)圖形，然后利用基本的尺規(guī)作圖，作出目標(biāo)圖形.

作法探尋

1. 作圖原理——直徑所對(duì)的圓周角是直角

首先需要畫出符合要求的圖形，進(jìn)行可能的幾何構(gòu)圖. 如圖2，假設(shè)過(guò)點(diǎn)P已經(jīng)畫出PB是☉O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，我們能得到PB⊥OB. △PBO是Rt△，并且點(diǎn)P和點(diǎn)O確定，現(xiàn)在要確定點(diǎn)B，點(diǎn)B是直角頂點(diǎn)，學(xué)生會(huì)想到什么？很自然地，學(xué)生會(huì)聯(lián)想到直徑所對(duì)的圓周角是直角，這個(gè)目標(biāo)圖形就是直徑PO所對(duì)的圓周角.

作法：如圖3，作PO的垂直平分線，找到PO的中點(diǎn)A，然后以A為圓心，AP或AO為半徑作☉A，交☉O于點(diǎn)B，則直線PB就是☉O的切線.

2. 作圖原理——同弧所對(duì)的圓周角相等

如圖4，假設(shè)過(guò)點(diǎn)P已經(jīng)畫出PB是☉O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到PB⊥OB，△PBO是Rt△. 如果我們根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，構(gòu)造一個(gè)△PCO，使PC⊥OC，這樣只要作Rt△PCO的外接圓☉A，☉A與☉O的交點(diǎn)為點(diǎn)B，則∠PBO=∠PCO=90°，又因?yàn)镻B經(jīng)過(guò)☉O的外端點(diǎn)B，所以PB是☉O的切線，目標(biāo)圖形就是直角∠PCO.

作法：如圖5，作射線PE，過(guò)直線外一點(diǎn)O作OC⊥PE，垂足為C，作△PCO的外接圓，交☉O與點(diǎn)B，作直線PB，則直線PB就是☉O的切線.

3. 作圖原理——一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形

除了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等外，還能如何判斷△PBO是Rt△呢？學(xué)生會(huì)聯(lián)想到在一個(gè)三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形也是直角三角形，目標(biāo)圖形就是中線BC（滿足BC=1/2PO）.

如圖6，學(xué)生只需要找到PO的中點(diǎn)C，然后以C為圓心，CO為半徑畫弧，交☉O于點(diǎn)B，則直線PB就是☉O的切線.

作法：如圖7，作PO的垂直平分線，找到PO的中點(diǎn)C，或者為了和作法1不同，也可以在☉O上任選一點(diǎn)A，連接OA，PA. 作OA的垂直平分線，找到OA的中點(diǎn)D，作∠OAP=∠ODC. 交PO于點(diǎn)C，以C為圓心，CO為半徑畫弧，交☉O于點(diǎn)D，則直線PB就是☉O的切線.

4. 作圖原理——全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

由于確定點(diǎn)B存在困難， 不妨先構(gòu)造一個(gè)與其全等的Rt△DAO，使得半徑OA=OB，OD=OP，DA=PB. 由于∠DAO為90°，所以∠PBO為90°，又因?yàn)镻B經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，所以，直線PB就是☉O的切線. 所以目標(biāo)圖形就是Rt△DAO.

作法：如圖8，在圓上任意選一個(gè)點(diǎn)A（不與點(diǎn)B重合），連接OA，過(guò)點(diǎn)A作OA的垂線AC，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑畫弧，交直線AC與點(diǎn)D，連接OD，得到Rt△DAO，顯然直線DA是☉O的切線，以P為圓心，DA為半徑畫弧，交☉O于點(diǎn)B，則直線PB就是☉O的切線.

5. 作圖原理——等腰三角形三線合一

由于切線垂直過(guò)切點(diǎn)的半徑，不妨構(gòu)造目標(biāo)圖形——等腰△POC. 根據(jù)等腰三角形三線合一，能得到直線PB是☉O的切線，所以目標(biāo)圖形就是等腰△POC.

作法：如圖9，在圓上任意取一點(diǎn)A，延長(zhǎng)OA并截取，使得OA=AD，以O(shè)為圓心，OD為半徑畫大圓O，再以點(diǎn)P為圓心，OP為半徑畫弧，交大圓O于點(diǎn)C，連接OC，OP，PC，則得到目標(biāo)圖形——等腰△POC. 因?yàn)镺C與小圓O交于點(diǎn)B，則OB=BC，連接PB，根據(jù)等腰三角形的三線合一，得到直線PB是☉O的切線.

6. 作圖原理——射影定理和切割線定理

如圖10，畫好切線PB，割線PA交☉O于點(diǎn)D，根據(jù)切割線定理，得到PB2=PD·PA，聯(lián)想到母子三角形相似時(shí)，根據(jù)射影定理，得到PE2=PD·PA，那么PB=PE，要想作出切線PB，只要得到PE即可，所以目標(biāo)圖形就是線段PE.

作法：如圖11，連接PO，并延長(zhǎng)，交☉O于點(diǎn)D和點(diǎn)A，作PA的中點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，CP為半徑畫半圓，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥PA，交半圓于點(diǎn)E，連接PE和AE. 這樣根據(jù)射影定理，得PE2=PD·PA，然后，以點(diǎn)P為圓心，PE為半徑畫弧，交☉O于點(diǎn)B，連接PB，則直線PB是☉O的切線.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D

教學(xué)啟示

1. 關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)，培養(yǎng)作圖能力[2]

課標(biāo)要求：（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段;作一個(gè)角等于已知角;作一個(gè)角的角平分線;作一條線段的垂直平分線;過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線. （2）會(huì)利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形. （3）會(huì)利用基本作圖完成：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓，作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形. （4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.

由于教材中沒(méi)有把尺規(guī)作圖作為獨(dú)立的一章來(lái)歸納和總結(jié)，只是把與尺規(guī)作圖有關(guān)的知識(shí)零星分布在不同的章節(jié)，導(dǎo)致一些教師教學(xué)時(shí)對(duì)尺規(guī)作圖不太關(guān)注. 遇到尺規(guī)作圖的問(wèn)題，把其當(dāng)成技能來(lái)訓(xùn)練，忽略對(duì)其背后的作圖本質(zhì)和作圖的原理的思考. 在日常教學(xué)中，因?yàn)槠綍r(shí)作業(yè)中很少尺規(guī)作圖，平時(shí)考試也幾乎不考作圖，導(dǎo)致部分教師沒(méi)有把尺規(guī)作圖放在一個(gè)重要的位置，忽視了尺規(guī)作圖的重要性，使得學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖題不會(huì)分析，找不到作圖的本質(zhì)，不明白作圖的原理，缺乏系統(tǒng)的認(rèn)識(shí). 因此，筆者借這次南京市中考數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖題，引導(dǎo)教師關(guān)注課標(biāo)，重視尺規(guī)作圖，培養(yǎng)學(xué)生尺規(guī)作圖的能力.

2. 深入分析條件，探尋作圖本質(zhì)

尺規(guī)作圖需要學(xué)生先分析條件，這道題 “已知什么，要作什么”，然后再思考該怎么作？已知圓外一點(diǎn)P和☉O，要過(guò)點(diǎn)P作☉O的切線. 下面該怎么作呢？在☉O上找點(diǎn)B，使得直線PB是☉O的切線. 怎么找點(diǎn)B，進(jìn)行可能的幾何構(gòu)圖，在構(gòu)圖直觀的基礎(chǔ)上展開(kāi)幾何逆向推理，并作出判斷，獲得目標(biāo)圖形，作出目標(biāo)圖形.

在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以分析條件為重點(diǎn)，要求學(xué)生對(duì)題中的條件要逐個(gè)地去思考，依據(jù)定義、公理或定理等，把已知條件進(jìn)行一步步推理，得出新的結(jié)論，由果索因，延伸出盡可能多的結(jié)論，貫通條件和結(jié)論的“橋梁”. 同時(shí)分析問(wèn)題的過(guò)程中也不要忽視題中的隱含條件，比如本題中☉O的半徑和OP的長(zhǎng)是已知的. 這道尺規(guī)作圖題，找到目標(biāo)圖形是直角三角形后，學(xué)生接著就要思考，如何才能確定直角頂點(diǎn)，如何作出目標(biāo)圖形，學(xué)生自然會(huì)和數(shù)學(xué)知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，想到直徑所對(duì)的圓周角是直角，如果一個(gè)三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，等腰三角形的三線合一等，這些就是學(xué)生需要探尋的作圖原理.

3. 經(jīng)歷作圖過(guò)程，明晰作法之理

教師在日常教學(xué)中，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷完整的尺規(guī)作圖的思考過(guò)程，不僅要求學(xué)生會(huì)尺規(guī)作圖，還要求學(xué)生明白尺規(guī)作圖的道理. 筆者曾經(jīng)問(wèn)過(guò)一個(gè)九年級(jí)的學(xué)生，作一個(gè)三角形的外接圓該怎么作？這個(gè)學(xué)生不假思索地告訴筆者：“作這個(gè)三角形兩條邊的垂直平分線，其交點(diǎn)就是圓心，這個(gè)交點(diǎn)與其中一個(gè)頂點(diǎn)的連線就是半徑. ”筆者接著追問(wèn)：“為什么要作垂直平分線呢？”他的回答出乎筆者的意料，他說(shuō)：“老師就是這樣教的. ”可見(jiàn)，學(xué)生并不清楚這樣作圖的道理，作一個(gè)三角形的外接圓為什么要作這個(gè)三角形兩條邊的垂直平分線，其實(shí)作三角形的外接圓是根據(jù)到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，這才是“作法之理”.

在平時(shí)的教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生這種尺規(guī)作圖的方法是“怎么想到的”，要對(duì)學(xué)生適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生親自去分析條件，去體驗(yàn)，去動(dòng)手操作，去經(jīng)歷探索作法的過(guò)程，明晰作圖的道理. 學(xué)生只有親歷這個(gè)過(guò)程，才能對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題積累更加豐富的作圖經(jīng)驗(yàn).

4. 發(fā)散學(xué)生思維，領(lǐng)悟多種作法[3]

根據(jù)五種基本的尺規(guī)作圖，能產(chǎn)生很多綜合性的方法，這個(gè)探究的過(guò)程就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散. 本題要求用兩種不同的方法作圖，并對(duì)每一種方法給出文字說(shuō)明，在學(xué)生知法明理的基礎(chǔ)上，融入邏輯推理，讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口中發(fā)散數(shù)學(xué)思維.

在教學(xué)過(guò)程中，教師要引領(lǐng)學(xué)生從不同的方向和角度去深入探究，找到此題尺規(guī)作圖問(wèn)題的不同作法，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的魅力和樂(lè)趣. 只有學(xué)生認(rèn)真去研究一個(gè)問(wèn)題，深入地思考下去，主動(dòng)去分析，才能逐漸領(lǐng)悟出其中的道理. 同時(shí)對(duì)一道尺規(guī)作圖題進(jìn)行深刻的剖析，可以優(yōu)化作圖的方法，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性，建立與該幾何知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的知識(shí)鏈，使得學(xué)生對(duì)幾何的學(xué)習(xí)形成一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師要不斷優(yōu)化自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，多從學(xué)生的角度去考慮，對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)課可以設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性問(wèn)題，以解放學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 問(wèn)題的設(shè)計(jì)，需讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后互相交流，這樣學(xué)生能積極投入思考中，通過(guò)變換不同的思維方式，明晰作圖之理，學(xué)會(huì)尺規(guī)作圖. 同時(shí)，問(wèn)題的設(shè)計(jì)也能發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，促使學(xué)生領(lǐng)悟多種作法.

參考文獻(xiàn)：

[1]顧香才. 歸納來(lái)“推斷”，演繹去“驗(yàn)證”——在“尺規(guī)作圖”教學(xué)中領(lǐng)悟波利亞的解題思想[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（04）：21-22+25.

[2]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3]肖世兵. 近三年中考“ 尺規(guī)作圖”命題分析、感悟及實(shí)踐[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（06）：60-62.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D