吳雪萍
摘? ?要:高中數(shù)學(xué)教學(xué)重視以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,面對(duì)高三專題的試題講評(píng)課,探討如何提高實(shí)效,試題講評(píng)應(yīng)關(guān)注那些問(wèn)題,如何充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性等,怎樣以問(wèn)題引領(lǐng)突顯以生為本的教育教學(xué)理念.
關(guān)鍵詞:試題講評(píng);一題多變;取值范圍
1? 問(wèn)題提出
高三臨考的復(fù)習(xí)階段,如何提高課堂復(fù)習(xí)效率?不少教師利用市面上現(xiàn)有復(fù)習(xí)資料不加整合地進(jìn)行復(fù)習(xí),習(xí)慣性就題論題,沒(méi)有注入太多“新鮮”內(nèi)容,“炒舊飯”,照本宣科,導(dǎo)致學(xué)生參與度不太高,復(fù)習(xí)效果不佳.
從第一次市質(zhì)檢的情況來(lái)看,解三角形模塊的一輪復(fù)習(xí),效果還是不理想,如何提高高三課堂復(fù)習(xí)的教學(xué)效率?如何有效分析試卷中的典型試題?
2? 試題剖析
(2021年龍巖市3月份質(zhì)檢試題第17題)在csinβ=bcosC①,②2cosC-sin(-2C)=2cos2C,③SΔABC=CA·CB·sinC三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并解決該問(wèn)題.
在ΔABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足c=2.
(1)求角C;
(2)求ΔABC周長(zhǎng)的取值范圍.
參考解答:
(1)C=,過(guò)程略;
(2)思路1:設(shè)ΔABC的外接圓的半徑R,由(1)及c=2知,2R==, ΔABC的周長(zhǎng)L=2R(sinA+sinB)+2=〔sinA+sin(-A)〕+2=4sin(A+)+2,因?yàn)?<A<π,所以<A+<,<sin(A+)≤1, 所以L∈(4,6].
思路2:由(1)及余弦定理得c2=a2+b2-ab,
所以4=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,
所以(a+b)2≤16,即a+b≤4.
又a+b>c,所以2<a+b≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).
所以所以L∈(4,6].
評(píng)析:思路1是解三角形問(wèn)題中求解取值范圍的通性通法,利用正弦定理進(jìn)行“邊化角”或“角化邊”的轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題;思路2是利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到周長(zhǎng)的取值范圍,過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)潔,但學(xué)生比較容易忽略“兩邊之和大于第三邊”隱性條件.
3? 思考與變式
若題干中的條件加以限制,思路2是否仍適用?為探索更為有效的試題講評(píng)模式,筆者在任教的兩個(gè)物理類平行班進(jìn)行嘗試:一個(gè)班就題講完上述兩種解法即進(jìn)入下一道題的講解,另外一個(gè)班在分析總結(jié)后作了一題多變的嘗試.
變式1:條件改為“銳角三角形”,其余不變,如何求解?
思路1: 銳角ΔABC的周長(zhǎng)L=2R(sinA+sinB)+2=4sin(A+)+2
因?yàn)?<A<,0<-A<,所以<A<,則<A+<,得<sin(A+)≤1,從而L∈(2+2,6].
思路2:由(1)及余弦定理得c2=a2+b2-ab,4=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,所以(a+b)2≤16,a+b≤4.
利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn),滿足題意的點(diǎn)C落在圓弧DCE上(不含D,E兩點(diǎn)),點(diǎn)C在D點(diǎn),E位置時(shí)(此時(shí)為直角三角形)為臨界情況(如圖1),從而求得a+b+c=2+2.
綜上,L∈(2+2,6].
變式2:條件不變,問(wèn)題改為“求ΔABC面積的取值范圍.”
思路:依題意得面積S=ab,由余弦定理得4=a2+b2-ab≥ab,從而S=ab≤.
另一方面,從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)可知點(diǎn)C落在優(yōu)弧AB上(不含A,B兩點(diǎn)),且點(diǎn)C落在以AB為中垂線的直線與優(yōu)弧AB相交處時(shí)(如圖2),三角形面積取得最大值,當(dāng)點(diǎn)C無(wú)限逼近A(或)B點(diǎn)時(shí),面積趨近于0,從而ΔABC面積的取值范圍為(0,).
評(píng)析:利用基本不等式比較快速地求得面積的最大值,但如何求最小值以及是否有最小值,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).當(dāng)然,也可以利用正弦定理,將面積表示為S=ab=sinAsinB,進(jìn)一步利用二倍角、輔助角公式等化簡(jiǎn)為S=+sin(2A-),再根據(jù)角A的范圍求解.
變式3:條件不變,問(wèn)題改為“求sinAsinB的取值范圍.”
思路:利用正弦定理===2R得sinAsinB=ab,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變式2來(lái)處理.
變式4:條件不變,問(wèn)題改為“求a2+b2的取值范圍.”
思路:由正弦定理可得a2+b2=(sin2A+sin2B)=-〔cos2A+cos(2A+)〕=-sin(2A-),再結(jié)合角A的范圍求解.
同樣地,也可以利用基本不等式ab≤求解.
變式5:條件不變,問(wèn)題改為“求cosA+cosB+cosC的取值范圍.”
思路:cosA+cosB+cosC=cosA+cos(-A)+=+sin(A+),結(jié)合A的范圍求解ab.
變式6:條件改為“C=,b=2”,其余不變.
思路:由正弦定理得ΔABC的周長(zhǎng)L=2+a+c=2++=2++=3+,由B(0,)可得tan(0,),從而周長(zhǎng)L的取值范圍為(4+∞).
為了測(cè)評(píng)以上講評(píng)方式的有效性,第二天選取了幾道類似高考真題進(jìn)行課堂小測(cè),結(jié)果發(fā)現(xiàn),進(jìn)行變式教學(xué)的班級(jí)明顯好于另一個(gè)班級(jí),達(dá)到了預(yù)期的目的,即充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的課堂積極性,逐步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、研究并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.
題源1在ΔABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosA+acosB=ac.
(1)求a的值;
(2)若A=,求ΔABC的周長(zhǎng)的最大值.
題源2(2019年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅲ·理18,文18)
ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin=bsinA.
(1)求B;
(2)若為ΔABC為銳角三角形,且c=1,求ΔABC面積的取值范圍.
題源3(2020年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ·理17)
ΔABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;
(2)若BC=3,,求ΔABC周長(zhǎng)的最大值
研究歷年高考真題會(huì)發(fā)現(xiàn),高考中曾多次考查有關(guān)這類解三角形中涉及取值范圍的問(wèn)題,例如2004年浙江卷理科第17題(文科第18題)“求的最大值”、2007年全國(guó)卷Ⅱ理科第17題(文科第18題)“求ΔABC周長(zhǎng)的最大值”、2013年新課標(biāo)卷Ⅱ理科第17題“求ΔABC面積的最大值”、2014年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第16題“求ΔABC面積的最大值”等.
4? 教學(xué)建議
4.1? 數(shù)學(xué)試題講評(píng)應(yīng)注重歸納整合
復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)課重要的課型,如何開(kāi)展復(fù)習(xí)專題試題講評(píng)是每位教師重點(diǎn)關(guān)注的.筆者認(rèn)為,講評(píng)后應(yīng)注重試題的歸納整合,把同類型題目整合在一起形成專題,針對(duì)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)、重點(diǎn)難點(diǎn)進(jìn)行講評(píng)更為合理有效.
4.2? 數(shù)學(xué)試題講評(píng)應(yīng)注重一題多解、一題多變及多題歸一
《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提到,高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生,實(shí)現(xiàn):人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[ 1 ].針對(duì)典例,教師應(yīng)深入剖析問(wèn)題,再?gòu)牟煌嵌纫龑?dǎo)學(xué)生獲得不同解法,既能拓寬學(xué)生的思維,又能鞏固應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,同時(shí)讓不同層次學(xué)生均有不同收獲.進(jìn)一步地,教師可以嘗試對(duì)典型試題加以變式,使得學(xué)生對(duì)試題有更深入的認(rèn)識(shí)、理解與掌握,從而獲取并積累一定的解題經(jīng)驗(yàn).
4.3? 數(shù)學(xué)試題講評(píng)應(yīng)注重拓展延伸
在一題多解、一題多變的基礎(chǔ)上,教師需要通過(guò)對(duì)試題的深入思考,挖掘出一些隱性知識(shí)從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展延伸,讓學(xué)生真正感受到觸類旁通、多題歸一,促進(jìn)學(xué)生試題講評(píng)過(guò)程中思想品質(zhì)得到提升.
4.4? 數(shù)學(xué)試題講評(píng)應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性
對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式.教師講評(píng)試題時(shí),應(yīng)積極發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,獲知學(xué)生的解題思路,暴露學(xué)生的思維過(guò)程,在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生積極參與,獨(dú)立思考,交流中獲得自然、合理的解題方法,而不是把自己的思路硬拋給學(xué)生.課堂教學(xué)只有堅(jiān)持“以人為本,以生為本”,重視教學(xué)中學(xué)生思維發(fā)展的過(guò)程,才能較好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值,促進(jìn)學(xué)生的思維理性,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
參考文獻(xiàn):
[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[S].北京:人民教育出版社,2020.