【摘要】數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象收集數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象的知識的素養(yǎng)。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是高中生應(yīng)具備的重要數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時應(yīng)注意以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為目標(biāo)，在數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透數(shù)據(jù)分析方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。文章基于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)，設(shè)計了“總體百分位數(shù)的估計”的教學(xué)案例，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】百分位數(shù);數(shù)據(jù)分析;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)教學(xué)

【基金項目】本文系山東省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃一般課題“面向新高考數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)教學(xué)案例庫建設(shè)研究”的研究成果（批準(zhǔn)號：2020YB077）。

作者簡介：魏曉（1992—），女，山東省淄博市淄博實驗中學(xué)。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)高中生的數(shù)據(jù)分析能力非常重要，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)基于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計，進(jìn)一步提高高中生的數(shù)學(xué)解題能力。接下來，筆者以“總體百分位數(shù)的估計”的教學(xué)設(shè)計為例，闡述如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)據(jù)分析方法。該課位于新人教A版（2019）必修數(shù)學(xué)教材第二冊第九章“統(tǒng)計”中的第二單元“用樣本估計總體”的第二小節(jié)，要求學(xué)生學(xué)會估計總體百分位數(shù)，從而提高數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計能力。

【學(xué)情分析】

在知識層面，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了中位數(shù)的概念，初步了解用樣本估計總體的思想。此外，學(xué)生通過學(xué)習(xí)該章節(jié)之前的內(nèi)容，已經(jīng)掌握了對總體取值的估計。但是百分位數(shù)作為新課標(biāo)新添加的內(nèi)容，其定義學(xué)生不太容易理解，通過整理好的圖表求解百分位數(shù)對學(xué)生來說也有一定的難度。

在能力上，高一下學(xué)期的學(xué)生通過一個半學(xué)期的學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備了一定的知識基礎(chǔ)、良好的自主學(xué)習(xí)能力和小組合作探究能力，但數(shù)據(jù)分析能力還需進(jìn)一步培養(yǎng)。

【教學(xué)目標(biāo)】

結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義，正確運用數(shù)據(jù)分析的方法解決簡單的實際問題，提升數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

【教學(xué)重點、難點】

教學(xué)重點：結(jié)合實例用樣本估計總體百分位數(shù)，求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)。

教學(xué)難點：理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義，并能解決簡單的實際問題。

【教學(xué)過程設(shè)計】

（一）情境引入

師：同學(xué)們，上節(jié)課為了讓大家體會統(tǒng)計與生活的聯(lián)系，老師給大家布置了任務(wù)，搜集百分位數(shù)在實際生活中的應(yīng)用案例，哪位同學(xué)愿意跟大家分享自己的成果？

學(xué)生展示的成果：

1.高等院校的入學(xué)考試成績經(jīng)常以百分位數(shù)的形式做成報告;

2.人體尺寸百分位數(shù)在產(chǎn)品設(shè)計中的應(yīng)用（如衣服、家具等）;

3.百分位數(shù)常用于醫(yī)學(xué)參考值范圍的制訂，例如用多指標(biāo)百分位數(shù)法確定醫(yī)學(xué)參考值;

4.用于身體質(zhì)量指數(shù)（Body Mass Index，縮寫B(tài)MI）的制訂;

5.用于T標(biāo)準(zhǔn)分百分位數(shù)評價表的制訂及應(yīng)用。

師：通過大家的展示我們可以看出，百分位數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，我們本節(jié)課就來深入學(xué)習(xí)百分位數(shù)的概念，學(xué)會由樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，正確運用數(shù)據(jù)分析的方法解決實際生活中的問題。

設(shè)計意圖：學(xué)生通過課前搜集資料，可以初步了解百分位數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，理解用統(tǒng)計方法解決實際問題的必要性，從而領(lǐng)悟數(shù)據(jù)分析的重要性。

問題思考：

某水果店店長近期遇到這樣的問題：一次進(jìn)貨太多，水果會變得不新鮮;進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求。店長希望每天的水果盡量新鮮，又能滿足顧客的需求（滿足程度80%），為此記錄了本店6月共30天以來某種水果的日銷售情況（單位為kg），分別如下：

75、83、93、107、89、99、91、117、96、85、99、100、87、94、107、70、55、74、94、84、96、80、101、85、80、85、84、75、104、97。

請問要想滿足店長的期望，該水果每天需要進(jìn)多少千克？

思考過程：教師給學(xué)生預(yù)留時間自主思考再合作探究，之后教師引導(dǎo)學(xué)生把店長期望滿足顧客需求的程度改為50%，這時學(xué)生應(yīng)該會想到中位數(shù)，然后把30個樣本數(shù)據(jù)從小到大排序，使不超過中位數(shù)的數(shù)據(jù)占50%，大于或等于中位數(shù)的數(shù)據(jù)占50%。按照這樣的方法，要滿足店長的期望，則需把30個樣本數(shù)據(jù)從小到大排序，得到第24個和第25個的數(shù)據(jù)是99和100，取這兩個數(shù)的平均數(shù)=99.5，99.5即這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，或80%分位數(shù)。因此可以建議店長該水果每天進(jìn)99.5kg。

進(jìn)一步思考：你認(rèn)為99.5kg這個標(biāo)準(zhǔn)一定能夠保證店長的期望得到滿足嗎？如果不一定，那么哪些環(huán)節(jié)可能會導(dǎo)致結(jié)論出現(xiàn)誤差？

教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：99.5kg是來自樣本觀測的數(shù)據(jù)，只是總體80%分位數(shù)的一個估計值，抽樣方法和樣本的隨機性都可能導(dǎo)致總體百分位數(shù)的誤差。

設(shè)計意圖：通過生活實際問題讓學(xué)生理解數(shù)據(jù)分析在生活中的重要性，通過進(jìn)一步的引申思考讓學(xué)生意識到統(tǒng)計數(shù)據(jù)可能會出現(xiàn)誤差，從而提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

（二）概念形成

師：剛才我們給出了第80百分位數(shù)的概念，你能否類比得出第p百分位數(shù)的概念？

師生共同探討得出第p百分位數(shù)的概念：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，一組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于它，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值。

師生共同總結(jié)出計算一組 n 個數(shù)據(jù)的第 p 百分位數(shù)的步驟：

1.將原始數(shù)據(jù)從小到大排列;

2.計算i=n×p%;

3.若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

師生總結(jié)百分位數(shù)的概念：

1.直觀理解：把一組數(shù)據(jù)從小到大排列，百分位數(shù)把它們分成相應(yīng)百分比的兩部分;

2.任何一組數(shù)據(jù)都存在任意百分位數(shù);

3.定義中所有的不等關(guān)系都是帶等號的，如至少、小于或等于、大于或等于。

教師給學(xué)生補充幾個重要的百分位數(shù)：

1.中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù);

2.第25百分位數(shù)、中位數(shù)（第50百分位數(shù)）、第75百分位數(shù)，這3個分位數(shù)把一組由小到大排列的數(shù)據(jù)分成4等份，因此稱為四分位數(shù)。其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)。

3.第1百分位數(shù)、第5百分位數(shù)、第95百分位數(shù)和第99百分位數(shù)，在統(tǒng)計中也經(jīng)常被使用，比如醫(yī)學(xué)參考值的范圍制訂。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生掌握百分位數(shù)的概念及求解百分位數(shù)的方法。

（三）典例分析，鞏固練習(xí)

例題：如下是我校25名男生BMI的樣本數(shù)據(jù)，估計我校高一男生BMI的第20、50、75百分位數(shù)。

23.5、22.1、20.6、21.5、27.0、18.0、17.0、29.1、30.5、27.8、22.6、22.3、20.8、17.9、19.3、21.1、19.7、23.6、18.7、25.5、16.6、19.8、21.4、22.7、24.1。

解答：把25個樣本數(shù)據(jù)從小到大順序排序如下：

16.6、17.0、17.9、18.0、18.7、19.3、19.7、19.8、20.6、20.8、21.1、21.4、21.5、22.1、22.3、22.6、22.7、23.5、23.6、24.1、25.5、27.0、27.8、29.1、30.5。

由20%×25=5，50%×25=12.5，75%×25=18.75，可知這些數(shù)據(jù)的第20、50、75百分位數(shù)為第5與6項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第13項與第19項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，計算得出=19.0、21.5、23.6。據(jù)此可以估計我校高一男生的BMI的第20、50、75百分位數(shù)分別約為19.0、21.5、23.6。

練習(xí)：求下列數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)、25%分位數(shù)、50%分位數(shù)。

40、40、35、50、55、45、42、50、51、42。

解：以上數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為35、40、40、42、42、45、50、50、51、55。

由10×20%=2，10×25%=2.5，10×50%=5可知，這

10個數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)是=40，25%分位數(shù)是40，50%分位數(shù)是=43.5。

設(shè)計意圖：通過例題和練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)百分位數(shù)的特點。

1.數(shù)據(jù)組中的最小數(shù)為第0百分?jǐn)?shù)，數(shù)據(jù)組中的最大數(shù)為第100百分位數(shù);

2.一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù);

3.一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個數(shù)。

（四）課堂練習(xí)

1.根據(jù)近期的流行病學(xué)的調(diào)查，新型冠狀病毒潛伏期多在1—14天，一般不超過2周，下圖為抽取的420例新冠患者的潛伏期（天）的統(tǒng)計結(jié)果，計算這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)。

2.下面是從我校2020級19班和2020級20班某次考試的數(shù)學(xué)成績中分別抽取的10個樣本數(shù)據(jù)，請用自己所學(xué)的知識分析兩個班的數(shù)學(xué)成績情況。

2020級19班：130、96、83、105、95、128、121、105、102、105。

2020級20班：117、98、71、117、131、80、116、103、110、95。

設(shè)計意圖：課堂練習(xí)根據(jù)生活中的實際數(shù)據(jù)編制，讓學(xué)生通過解決生活中的實際問題鞏固所學(xué)知識，提升數(shù)據(jù)分析能力。

（五）課堂小結(jié)

師：請大家分享一下本節(jié)課你收獲了哪些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生自我總結(jié)，分享自己在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方面的收獲和感悟。

（六）課后作業(yè)

1.必做題：課本P203練習(xí)1和2;P223復(fù)習(xí)參考題10和11。

2.選做題：嘗試用電子軟件計算一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)。

設(shè)計意圖：布置分層作業(yè)，必做題面向全體學(xué)生，提升學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng);選做題面向?qū)W有余力的學(xué)生，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

（七）課后反思

百分位數(shù)與現(xiàn)實生活中很多問題都有密切的聯(lián)系，例如醫(yī)學(xué)中的參考值的設(shè)定、產(chǎn)品設(shè)計、教育教學(xué)分析等，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中新增了“總體百分位數(shù)估計”這一內(nèi)容是非常有必要的。該節(jié)課的主要任務(wù)是讓學(xué)生理解百分位數(shù)的定義，掌握用樣本數(shù)據(jù)估計總體百分位數(shù)的方法并用來解決實際生活中的相關(guān)問題。在教學(xué)設(shè)計中，教師結(jié)合生活實際中的例子，更能讓學(xué)生體會到百分位數(shù)估計的重要性。在教學(xué)中，教師展示了學(xué)生課前自己去搜集的百分位數(shù)應(yīng)用的案例，能夠讓學(xué)生了解百分位數(shù)應(yīng)用的廣泛性，也有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，使得學(xué)生對學(xué)習(xí)該節(jié)的知識產(chǎn)生興趣，從而積極主動地參與學(xué)習(xí)。教師沒有直接用課本的例子，而是將它們改編成了更為貼近學(xué)生生活的例子，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生在思維能力、情感態(tài)度與價值觀念等方面得到進(jìn)步與發(fā)展。課堂練習(xí)用生活中的數(shù)據(jù)改編，可以讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過讓學(xué)生自己分析數(shù)據(jù)求解百分位數(shù)，提升數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。以上是該次教學(xué)設(shè)計比較成功的地方。

數(shù)據(jù)分析主要表現(xiàn)為收集和整理數(shù)據(jù)，理解和處理數(shù)據(jù)，獲得和解釋結(jié)論，概括和形成知識。然而該節(jié)課例題和練習(xí)中的數(shù)據(jù)大多都是已經(jīng)處理好的，主要是讓學(xué)生分析數(shù)據(jù)、解釋結(jié)論，在讓學(xué)生收集、整理數(shù)據(jù)方面有所欠缺。這是該次教學(xué)設(shè)計的不足。筆者認(rèn)為，教師可以布置一個開放性的實踐題目，讓學(xué)生自己選擇一個方向，自主設(shè)計問題、收集數(shù)據(jù)、提出問題、解決問題，從而更加深入了解百分位數(shù)，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張唯一.立足統(tǒng)計學(xué)科本質(zhì) 積累數(shù)據(jù)分析經(jīng)驗：對“總體百分位數(shù)的估計”一課的思考[J].中國數(shù)學(xué)教育，2021（08）：63-64.

[2]李德平.“總體百分位數(shù)的估計”教學(xué)設(shè)計

[J].中國數(shù)學(xué)教育，2021（08）：58-62.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[4]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀》[M].

北京：高等教育出版社，2018.