張敏

[摘 要]數(shù)學建模需要由教師引導學生在多層次感知中逐步地完善和抽象，這是學生在學習過程中不可或缺的一種體驗。數(shù)學建模不是教師的“援建”，而是學生的“自建”，所以教師要少說教，少灌輸，多引導。

[關鍵詞]數(shù)學建模;小學數(shù)學;幾何直觀

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0056-03

什么是數(shù)學建模？教師該如何幫助學生進行數(shù)學建模？在觀摩了吳正憲老師的一節(jié)示范課后，筆者茅塞頓開。吳老師的授課內(nèi)容是人教版教材第七冊“商的變化規(guī)律”。對于這樣的常規(guī)課，吳老師還能“玩”出什么新花樣呢？

上課伊始，吳老師并沒有什么神來之筆，她以“猴王分桃”的故事指引學生列出三個對應的除法算式“6÷2=3、60÷20=3、600÷200=3”，并依次進行辨析。這一方式讓我們的期望落空，情緒有些失落。突然，吳老師來了個180度大轉(zhuǎn)彎，猶如驚雷炸響，讓我們眼前一亮。

一、借助幾何直觀，勾勒模型輪廓

待學生初步認識“猴王分桃”的三個算式后，吳老師沒有讓學生對三個算式蘊含的規(guī)律進行繼續(xù)挖掘，而是以幾何直觀的形式來揭示規(guī)律。

師：這三個算式蘊含著什么規(guī)律？我們慢慢揭曉。再來看一組題。（題目省略）

師（出示圖1）：從圖中你能發(fā)掘出哪些數(shù)學信息？

生1：橫軸坐標表示短笛的支數(shù)，縱軸坐標表示相應的總價格。

師：你知道兩者之間存在什么數(shù)量關系嗎？

生2：采購2支短笛需支出10元，采購4支短笛需支出20元，采購6支短笛需支出30元，采購8支短笛需支出40元。

（學生邊說，教師邊在圖中描點，得到圖2）

師：想一想，采購10支短笛時，橫縱軸的交匯點會跑到哪兒？

生3：延長橫軸末端，往上就可以找到它。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么新線索？

生4：每個點的縱坐標數(shù)除以橫坐標數(shù)，得到的商都是5。

師：這個商5有什么實際意義？

生5：它表示一支短笛的單價。

師：你是從何得知的？

生6：用采購短笛的總價格除以短笛的支數(shù)，可得一支短笛的單價。

師：短笛的數(shù)量和總價一直不固定呀。

生7：但是無論數(shù)量和總價格如何變化，一支短笛的單價5元一直不變。

（此時，吳老師沒有滿足于學生對坐標圖的觀察和理解）

師：你們的意思是，隨著采購的短笛的支數(shù)不斷增多，需要支付的錢款也會增多，但是每支短笛的單價一直不變。

（吳老師邊說邊伸直左右手，左手平伸代表橫軸，右手豎直代表縱軸，兩條手臂慢慢伸展，使學生從肢體動作中體驗到被除數(shù)和除數(shù)同步增加的過程，揣摩商不變的本質(zhì)。）

傳統(tǒng)的建模都是先出示一個情境，然后在大量類似的情境和變式中歸納出運算公式，最典型的是植樹問題模型，其先出示大量的植樹問題，讓學生從中概括出植樹問題的模型，那就是“間隔數(shù)+1=棵數(shù)”，然后通過變式繼續(xù)擴大、豐富模型，概括出“間隔數(shù)-1=棵數(shù)”“間隔數(shù)=棵數(shù)”兩個種子模型。即使是“比例”這種模型，一般也是從相關變量中進行概括構(gòu)建（如速度一定，路程與行駛時間成正比），并利用表格來展示和總結(jié)。這樣的建模缺少直觀性，而且學生很難建立變量的連續(xù)變化思想（也就是函數(shù)思想）。吳老師的這種建模獨樹一幟、別開生面，直接跳過對直觀表象的提煉，出示平面坐標系，用坐標系中的函數(shù)圖像來直觀揭示兩個變量的變化關系，這比直接出示短笛的圖片和相應價格要高明得多。這種數(shù)學模型具有高度的概括性和抽象性，且因具有幾何直觀而更具說服力。

二、分層漸進感悟，初步建立模型

在上述建模的基礎上，吳老師指點學生重新探尋算式的變化規(guī)律。

師：這些算式的商為何始終固定為一個值？請大家任選一個題組，把自己的發(fā)現(xiàn)如實記錄下來。

（學生小組合作探究）

師：誰來展示一下自己的探究歷程和研究成果？

學生展示自己的探究歷程和研究成果，如圖3：

師：你能根據(jù)探尋出的規(guī)律，寫出幾組算式嗎？

生1：4÷2=2，40÷20=2……

生2：8÷2=4，80÷20=4……

生3：20÷5=4，200÷50=4……

師：你們說得完嗎？

生4：無窮無盡，數(shù)都數(shù)不清，終其一生也休想說完。

師：那么如何用一句話或者一個式子來高度概括無法說盡的道理和規(guī)律呢？你想到什么，就直說，一時說不清就整理成文后再交流。

（學生反思整個學習過程，將自己的心得體會整理成文）

生5：商的大小與被除數(shù)、除數(shù)之間的比例有某種潛在的關系。

師：你們想從他嘴里再問出點什么嗎？

生（齊）：這種潛在的關系到底是什么？

生5：比如被除數(shù)乘2，除數(shù)也乘2，那么商就始終為一個定值。

生6：被除數(shù)乘10，除數(shù)乘10，商也會為一個定值。

生7：被除數(shù)乘幾，除數(shù)也乘幾，商會為一個定值。

師：換言之，誰和誰同時乘同一個數(shù)，商才會為一個定值呢？

生8：被除數(shù)和除數(shù)同時乘同一個數(shù)，商會為一個定值。

師：很好，這位同學做了高度凝練的概括。你們還有要補充的嗎？

生9：在總結(jié)的時候，要一次性考慮到所有情況，不能有一個例外。

師：對的，要把所有情況全部囊括進去。

師（出示圖4）：有的同學是這樣歸納的，你對此有什么看法？

生10：我覺得把方框替換成字母x更貼切。

師：x表示什么？

生11：任意數(shù)。

在這個環(huán)節(jié)中，吳老師引導學生說出心中所想，學生的想法在吳老師的問題下不斷成熟和完善，由最初的“無窮無盡”到“被除數(shù)和除數(shù)同時乘幾，商就不會變”，再到用字母x這個簡約的符號來代替方框。這不僅體現(xiàn)了學生由淺薄到深厚的積累積淀過程，也展現(xiàn)了由學生形象感知到理性分析和抽象概括的思維過程，更重要的是，他們嘗到了建模的滋味，體會了數(shù)學建模的意義。誠然，有了充分的體驗、漸入佳境的感知，學生的總結(jié)才能夠直擊要害“要把所有情況囊括進去”，這個“把所有情況囊括進去”的符號表達就是一個數(shù)學建模的過程。

雖然前期建立了一個函數(shù)模型，但只是揭示正比例關系，而非本課的核心主旨。本課的核心是商不變規(guī)律，前期的模型只是一個框架、一次預演，讓學生發(fā)現(xiàn)商（總價與數(shù)量的比）不變時，兩個變量存在某種特殊關系，而這種特殊關系要確認無誤地表述出來，才能完成對商不變規(guī)律模型的構(gòu)建。吳老師先順接前一個模型反映的數(shù)據(jù)特征，提取出算式，讓學生觀察幾組商不變的除法算式的特征，接著將算式對稱排列，用箭頭指出被除數(shù)和除數(shù)相同的變化規(guī)律，最后讓學生應用規(guī)律創(chuàng)造算式，發(fā)現(xiàn)“無窮無盡”。在教師的引領下，學生對原有規(guī)律不斷完善和抽象，最后成功總結(jié)出商不變規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者縮小相同倍數(shù)，商不變。

三、回首全程，投用模型于實踐

假如說前面的學習只是學生在順著教師制定的路線走，只是在教師授意和監(jiān)督下進行的抽象概括，那么怎樣讓學生在后續(xù)的學習中擺脫教師的牽引，自己發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，并且能試著用抽象簡約的符號來記錄這種規(guī)律，是這節(jié)課的一個重要戰(zhàn)略調(diào)整，也是教學理念的一次升華。于是吳老師組織學生再次回望學習全過程。

師：回望我們探究的過程，這個規(guī)律到底是怎樣出爐的？

電子白板呈現(xiàn)畫面和過程：猴王分桃→采購短笛賬目的坐標圖→自己看圖寫算式→檢驗真?zhèn)巍?/p>

師：看這個坐標圖（如圖5），如果抹去計量單位“元”和“支”的話，你能編一個小故事嗎？

生1：我購買2塊橡皮泥用了10元錢，購買4塊橡皮泥用了20元錢……每塊橡皮泥5元錢。

生2：我練字，2分鐘寫了10行字，4分鐘寫了20行字……每分鐘寫5行字。

……

如果說前面的建模，是一種籌建和搭建，那么此環(huán)節(jié)就是在應用模型，屬于模型投用階段。讓人驚喜的是，吳老師的模型投用，再次和幾何直觀勾連上了。

綜觀吳老師的授課過程，不難發(fā)現(xiàn)，她堅決貫徹建模思想。為了構(gòu)建出“商不變規(guī)律”這個目標模型，前期建立了兩個小模型作為基礎和框架，當目標模型建立完畢后，前期建立的“框架”還可以循環(huán)利用，應用到別的情境中。對模型的應用絕不僅僅是將這個模型中蘊含的公式拿來解題，而是運用這個模型的基本框架去“度量”各種不同的情境，讓同一模型在不同的情境中發(fā)揮價值，利用這一模型去對照、整合不同情境下的數(shù)量關系，發(fā)現(xiàn)不同情境下存在共同數(shù)量關系的可能，即從不同路徑去驗證這個模型的可靠性和穩(wěn)定性。簡言之，模型可以用來“度量”不同的情境，不同的情境又可以檢驗模型的科學性。

綜上，建立數(shù)學模型的過程需要學生在分層感知中逐步地完善和抽象，是學生對體驗的不斷沉淀和豐盈。對此，教師要多等待，少說教，少灌輸。只有這樣，“建模課堂”才會驚喜不斷，精彩紛呈。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 段景紅.在數(shù)學建模中提升學生的學習力[J].教師博覽，2021（30）：80-81.

[2] 黃玉香.“五步”解構(gòu)非連續(xù)性文本? 培養(yǎng)數(shù)學建模意識[J].福建教育，2021（40）：53-55.

[3] 楊曄.建模，讓數(shù)學學習走向深處[J].小學教學參考，2021（26）：30-32.

[4] 劉梅春.小學數(shù)學教學中實施建模教學的策略[J].基礎教育研究，2021（16）：47-48.

[5] 仇華.小學數(shù)學教學中滲透建模思想的策略[J].小學教學研究，2021（20）：65-66.

（責編 黃春香）