朱國榮 朱術(shù)磊

小學(xué)“尺規(guī)作圖”的研究

近期，教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，在小學(xué)階段增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容，引發(fā)了小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者的廣泛關(guān)注與思考。尺規(guī)作圖具體指什么？尺規(guī)作圖的教育價值是什么？如何在小學(xué)階段開展尺規(guī)作圖？浙江省特級教師朱國榮老師帶領(lǐng)其研究團隊，以“畫線段”“畫三角形”“畫角”三項教學(xué)內(nèi)容為載體，厘清了小學(xué)數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”的學(xué)理意蘊及教學(xué)路徑。本刊選取其部分研究成果，以期能給熱衷于尺規(guī)作圖研究的一線教師以借鑒與引領(lǐng)。

【摘? ?要】尺規(guī)作圖是“2022年版課標(biāo)”小學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的新增內(nèi)容，是提高學(xué)生動手操作能力、發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要載體。只有厘清尺規(guī)作圖的學(xué)理意蘊，明晰尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑，才能準(zhǔn)確把握尺規(guī)作圖的教學(xué)價值，引導(dǎo)學(xué)生在尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容的探究、學(xué)習(xí)中，掌握知識技能，發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)空間觀念。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖;學(xué)理意蘊;教學(xué)路徑;幾何直觀

尺規(guī)作圖是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）小學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的新增內(nèi)容，是提高學(xué)生動手操作能力，發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要載體。尺規(guī)作圖是指用無刻度直尺和圓規(guī)進行作圖。直尺的作用是畫線段、射線和直線。圓規(guī)的作用是畫圓，或截取相等的長度。本文從闡釋尺規(guī)作圖的學(xué)理意蘊出發(fā)，結(jié)合三個典型課例明晰小學(xué)尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑。

一、探物明理：厘清尺規(guī)作圖的學(xué)理意蘊

2022年版課標(biāo)中，小學(xué)階段“尺規(guī)作圖”有三個課程內(nèi)容：一是“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”;二是“經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上的過程，直觀感受三角形的周長”;三是“經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三條邊，并說出其中的道理……”可見，在小學(xué)階段，尺規(guī)作圖既是教學(xué)內(nèi)容，也是教學(xué)手段。教學(xué)中，學(xué)生除了掌握尺規(guī)作圖的技能，還要借助尺規(guī)作圖理解概念、探索規(guī)律，發(fā)展幾何直觀，增強運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

（一）分析有理有據(jù)：作圖原理痕跡化

以往的“幾何畫圖”學(xué)習(xí)中，學(xué)生直接用具有刻度的作圖工具畫出相應(yīng)的圖即可，作圖的方法與步驟較容易習(xí)得，教師很少引導(dǎo)學(xué)生思考操作背后的原理及意義。尺規(guī)作圖教學(xué)的一個重要價值在于引導(dǎo)學(xué)生在多種數(shù)學(xué)工具支撐的場景下，開展動腦思考、動手做數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)性創(chuàng)造活動，以此提高學(xué)生的幾何直觀。為此，教學(xué)過程要特別重視得出作圖方法的分析過程，引導(dǎo)學(xué)生在充分分析圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，建立起直觀操作與抽象想法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生對于自己的作圖過程“有跡可尋”，明白作圖的基本原理及意義。學(xué)生在作圖過程中，會逐步養(yǎng)成有理有據(jù)思考作圖的意識。

（二）操作有條有理：作圖思考可視化

古希臘時期，幾何作圖就有了限定，根據(jù)這種限定，利用直尺、圓規(guī)作圖可以有五種方法：（1）過兩個已知點可以作一條直線。（2）確定兩條已知直線的交點。（3）以已知點為圓心，以已知長為半徑作一個圓。（4）確定已知直線和已知圓的交點。（5）確定兩個已知圓的交點。這些方法是客觀明確不需要證明的，所以這幾條也稱為作圖公法。從上面的描述來看，一個作圖問題，如果可以分解為有限次作圖公法來完成，這是尺規(guī)作圖可能問題。強調(diào)尺規(guī)作圖也就是在強調(diào)幾何學(xué)習(xí)對訓(xùn)練邏輯思維能力的特殊作用。在尺規(guī)作圖教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運用圖形的性質(zhì)及圖形之間的關(guān)系去分析問題，有條有理地進行作圖，不僅可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，還能有效地培養(yǎng)他們的邏輯思維能力。

（三）驗證有道有術(shù)：作圖想象多樣化

在尺規(guī)作圖過程中，學(xué)生會經(jīng)歷嘗試、想象、分析、思考、驗證等思維過程。因此，教師教學(xué)時應(yīng)該學(xué)會傾聽，給予學(xué)生學(xué)習(xí)上的支持。如在“畫等長線段”中，學(xué)生初次經(jīng)歷比較規(guī)范的尺規(guī)作圖的過程，完成根據(jù)已知線段作等長線段的活動內(nèi)容，感受圓規(guī)兩腳之間的距離可以表示線段的長度，進一步豐富對尺規(guī)的認(rèn)識。在“畫三角形”的過程中，學(xué)生充分發(fā)揮想象力，不斷體會兩弧的交點的重要意義，理解三角形第三個頂點確定的方法。尺規(guī)作圖是小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生想象力和推理能力的載體，是可操作、可想象、可分析、可實現(xiàn)的，是學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)素材。學(xué)生在尺規(guī)作圖驗證的過程中，能發(fā)展推理能力和空間觀念，增強幾何直觀。

二、追本溯源：明晰尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑

史寧中教授指出，尺規(guī)作圖教學(xué)，要教想法，要教想象力，而非作圖技巧。因此，在“尺規(guī)作圖”教學(xué)過程中，教師需要充分認(rèn)識其價值，大膽探索，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷積累經(jīng)驗的全過程。在尺規(guī)作圖中讓學(xué)生生長幾何直觀，建立幾何聯(lián)系，豐盈幾何想象，從而發(fā)展他們的空間觀念。根據(jù)2022年版課標(biāo)要求，筆者所在的研究團隊創(chuàng)生了“畫線段”“畫三角形”和“畫角”三個緊密聯(lián)系、螺旋上升的教學(xué)內(nèi)容，明晰了小學(xué)階段尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑。具體教學(xué)可以從以下三個方面進行把握。

（一）抽象任務(wù)挑戰(zhàn)：直觀感知生長路徑

幾何直觀是核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從操作開始，對幾何對象進行直觀感知，然后用幾何方法表達(dá)操作，這是增強學(xué)生幾何直觀的一種新的學(xué)習(xí)路徑。

以“畫三角形”為例，教師在引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形的特征后，布置任務(wù)：“老師這里有三條線段，它們的長度分別是……它們其實是某個三角形的三條邊?？粗鼈儯隳芟胂蟪鲞@個三角形的樣子嗎？”（教師出示圖1）

教師繼續(xù)說：“我們今天的第一個任務(wù)就是要把這個三角形畫出來。請看，老師已經(jīng)把其中的一條邊畫好了，接下來請你用直尺把它畫完整，有沒有信心？”并引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)單上完成。

這樣的任務(wù)能幫助學(xué)生打通抽象與直觀之間的聯(lián)系。學(xué)生在完成這個任務(wù)的過程中，遇到了困難。他們無法找到第三個頂點。教師啟發(fā)學(xué)生思考：“我相信，如果有足夠的時間，大家都能找到這個頂點。但是，你能不能想到其他方法，使我們快速、準(zhǔn)確地找到三角形的第三個頂點呢？”教師請學(xué)生進一步思考：“用圓規(guī)怎樣快速、準(zhǔn)確地找到這個點呢？”讓學(xué)生嘗試用圓規(guī)找點畫三角形，并引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么這個交點是三角形的第三個頂點？”

在這個例子中，借助有刻度的直尺畫出指定邊長的三角形的過程是直觀可見的，學(xué)生可以通過不斷的試誤來完成。但是用圓規(guī)和直尺畫三角形的做法是較難想到的，也是很難理解的。學(xué)生通過挑戰(zhàn)任務(wù)、思考跟進以及微課導(dǎo)學(xué)，突破了這一學(xué)習(xí)難點，在作圖方法的習(xí)得中發(fā)展了幾何直觀。

（二）自由探索體驗：概念觀聯(lián)系路徑

在相關(guān)幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生用尺規(guī)作圖方法作出線段、角、平行線、三角形、平行四邊形等，并思考作圖過程的邏輯依據(jù)，深化對相關(guān)圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系的理解。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生既需要學(xué)會運用尺規(guī)作圖來直觀地驗證已有幾何性質(zhì)和圖形的關(guān)系，又能用關(guān)聯(lián)的幾何知識來解釋尺規(guī)作圖的基本原理和方法。

在“畫線段”的學(xué)習(xí)中，研究團隊經(jīng)過思考和討論，決定把“給定一條線段做等長線段”及“將三角形的三條邊畫到一條直線上”這兩個內(nèi)容放在一個課時中完成。目的是讓學(xué)生了解尺規(guī)作圖的含義，會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段，了解作圖的道理，同時保留作圖的痕跡，經(jīng)歷自主探索三角形周長的過程，感知線段長度的可加性，一般性地理解圖形的周長（如圖2）。

本節(jié)課是學(xué)生第一次在小學(xué)階段接觸“尺規(guī)作圖”，我們以“畫線段”為核心，引導(dǎo)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長線段，借助用直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，一般性地理解圖形的周長。通過直觀感受圖形的性質(zhì)，學(xué)生將這些圖形之間的性質(zhì)進行聯(lián)系，增強幾何直觀。

（三）練習(xí)延伸創(chuàng)思：想象力豐盈路徑

空間想象能力是指對空間形式進行觀察、分析、抽象和概括的能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展空間想象能力要求學(xué)生必須對空間形式進行深入的觀察。以“畫線段”為例，在課的拓展練習(xí)環(huán)節(jié)中，教師以“尋寶”為情境：有一塊正方形草坪ABCD，被對角線分成了四個三角形的區(qū)域。在這塊草坪上，某個點的下面藏著一個寶物。藏寶人給大家提供了兩個尋寶錦囊，里面有尋寶的線索。你們想先打開哪個？學(xué)生首先通過錦囊1中提供的“尋寶信息”，明確寶物距離點A的長度等于正方形的邊長，并動手操作，自己找寶物。經(jīng)過集體討論后，學(xué)生意識到：寶物位置不確定，這一條弧上都有可能有寶藏。隨后，打開錦囊2：“寶物距離點B的長度等于對角線的一半?！备鶕?jù)錦囊1給出的條件，我們畫出了一條弧線，這條弧上的點都有可能是寶物，所以單靠這個錦囊是找不到寶物的。再通過錦囊2，也畫出了一條弧線，這條弧線上的點距離點B的長度都等于對角線的一半。這兩條弧線交叉的地方就是寶物的位置，因為這個點既滿足了錦囊1的條件，又滿足了錦囊2的條件。整個“尋寶”過程，讓學(xué)生進一步理解了尺規(guī)作圖的原理：因為圓規(guī)兩腳之間的距離始終沒有改變，所以同一條弧上的任意一點到中心點的距離都相等。這為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)用尺規(guī)作三角形和掌握圓的本質(zhì)打下了基礎(chǔ)，豐盈了學(xué)生的空間想象力。

三、反思內(nèi)?。撼咭?guī)作圖的實踐感悟

軌跡和作圖能加強學(xué)生分析和全面觀察問題的能力，并加深對幾何各部分關(guān)系的理解。本次關(guān)于“尺規(guī)作圖”這一內(nèi)容的教學(xué)實踐中，團隊主要研究了“畫線段” “畫三角形”和“畫角”三個內(nèi)容，學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)中，不僅鍛練了邏輯思維能力，還發(fā)展了幾何直觀，從而讓“畫圖”學(xué)習(xí)有方向、有思考、有趣味。

（一）邏輯訓(xùn)練內(nèi)生：學(xué)生“畫圖”有方向

錢偉長教授指出，數(shù)學(xué)訓(xùn)練是一切訓(xùn)練的基礎(chǔ)。訓(xùn)練使我們的下一代能夠懂得在某個特定條件下會發(fā)生什么事情，用正確的邏輯思維就可以做推論，就可以使我們將來的行為不再是靠“拍腦袋”決定。錢偉長教授的意見對于我們探索尺規(guī)作圖的教育功能有很強的指導(dǎo)性。學(xué)生在“畫線段”的學(xué)習(xí)中，不斷在想怎么畫，并且思考畫圖的步驟，留下作圖痕跡，不但積累了畫圖的基本活動經(jīng)驗，而且在畫圖中發(fā)展了邏輯思維能力。通過這樣的操作活動，學(xué)生能自然生長幾何直觀，同時也對“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)有了初步認(rèn)識。

（二）圖表描述悟行：學(xué)生“畫圖”有思考

在幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生用尺規(guī)作圖畫出線段、角、三角形等，有助于學(xué)生對相關(guān)圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系進行深度理解。從某種意義上說，這其實也是一種思維抽象化的過程。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，思考問題就會越來越一般化，圖形對象的抽象程度會不斷提高，也就形成了某些“數(shù)學(xué)感覺”，這些“數(shù)學(xué)感覺”或是幾何直觀，或是空間意識，或是推理意識，或是創(chuàng)新意識。

（三）概念理解潤心：學(xué)生“畫圖”有趣味

對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，幾何問題是一個學(xué)習(xí)難點。在“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)中，教師不能一味地追求學(xué)生對圖形特征概念的理解、對作圖技巧的掌握等，而是需要培養(yǎng)學(xué)生對“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)興趣。如在“畫角”的學(xué)習(xí)過程中，教師通過動態(tài)演示的方法，使調(diào)試的過程惟妙惟肖，讓學(xué)生的“畫圖”更有趣味。

對數(shù)學(xué)教育的認(rèn)識，仁者見仁，智者見智。重要的是，每個數(shù)學(xué)教育工作者都在實踐與思索，真理總是會在各種意見的爭鳴中，在未來的實踐中凸顯出來，每一項人類科學(xué)成果都會在這中間占據(jù)一個適當(dāng)?shù)奈恢?。如何挖掘尺?guī)作圖對小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教育功能，引導(dǎo)學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)對象由直觀感性的操作上升到理性邏輯的認(rèn)識，并在這一過程中發(fā)展幾何直觀，更是一個需要進一步探索的新主題。

參考文獻(xiàn)：

[1]芮金芳.尺規(guī)作圖的教學(xué)價值新厘定及教學(xué)路徑新視角[J]. 教學(xué)與管理，2022（3）.

[2]梅向明，周春荔.尺規(guī)作圖話古今[M].長沙：湖南教育出版社，2000.

（浙江省嘉興教育學(xué)院? ?314000）