楊國雄 章勤瓊 鄧建文

【摘? ?要】運算能力的兩個重要內(nèi)涵是理解算理和掌握算法，計算教學中需要促進算理與算法的融合。“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是學習多位數(shù)乘法的關鍵單元，教學重點是兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的理解以及算法的掌握。教師依據(jù)基于學習路徑分析的單元整體教學框架，對教材原有的編排形勢進行了調(diào)整，思考單元教學路徑，設計了筆算連續(xù)課，以算理理解的水平層次促進算理的深度理解，注重豎式記錄的關聯(lián)性，更好促進“法理融合”，提升運算能力。

【關鍵詞】學習路徑;單元整體教學;運算能力;法理融合

運算教學是小學數(shù)學教學中的主要內(nèi)容，它貫穿小學數(shù)學學習的每一個階段。運算能力是學生最重要的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中指出：“運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力。”[1]因此，教師在“數(shù)的運算”教學中，不僅要關注學生運算技能的掌握，更要注重學生對算理的理解，從而發(fā)展學生的運算能力。而且，與之前相比，增加了“能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系”[2]。因此，促進算理與算法融合，需要教師對計算教學引起更多的重視。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元是整數(shù)乘法主題序列學習的重要組成部分，也是學生真正開始學習多位數(shù)乘法的核心內(nèi)容。以人教版教材為例，學生已經(jīng)學習過“表內(nèi)乘法”和“多位數(shù)乘一位數(shù)乘法”，具備了較好的乘法學習基礎。進入“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元，學生要繼續(xù)學習相關的口算乘法、兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法、運用兩步計算解決問題。其中兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算是運算教學的重點和難點。因此本單元的教學要側(cè)重于算理、算法的探索并促進算理、算法的融通，使學生在明理中掌握計算方法?；趯W習路徑分析的研究框架[3]，教師可以對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元進行整體教學的思考。

一、理解單元學習目標

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材四年級上冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的學習目標主要包括：掌握兩位數(shù)、幾百幾十數(shù)乘一位數(shù)（進位），兩位數(shù)乘整十數(shù)、整百數(shù)（不進位），整十數(shù)乘幾百幾十數(shù)（不進位）的口算方法;經(jīng)歷兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算過程、理解算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法;經(jīng)歷問題解決的過程，學會用兩步計算和不同的方法來解決問題。

北師大版教材四年級上冊“乘法”單元的學習目標主要包括：結(jié)合具體情境，探索兩位數(shù)乘整十數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，經(jīng)歷交流算法的過程，理解算理;掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，解決簡單的實際問題。

對比發(fā)現(xiàn)，兩種版本的教材關于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的學習目標有所不同，但都含有三個方面的內(nèi)容：一是掌握兩位數(shù)乘整十數(shù)的口算方法;二是經(jīng)歷探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算過程、理解算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法;三是解決實際問題。

（二）確定核心目標

本單元屬于“數(shù)與代數(shù)”領域中“數(shù)與運算”主題的教學內(nèi)容，應重點關注學生運算能力的培養(yǎng)。算理與算法是運算教學中的兩個關鍵要素，二者是相互聯(lián)系、有機統(tǒng)一的整體，能較好地理解算理和掌握算法是學生具備運算能力的主要表現(xiàn)。[4]

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)筆算乘法學習的跨越階段，學生第一次接觸分兩層記錄的乘法，理解難度較大。一方面，學生要理解乘的順序，明白分層記錄的原理;另一方面，學生要理解各部分積的書寫位置。因此，教師在本單元的教學中要重點關注兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理理解和豎式記錄兩個方面，做到算理、算法并重，以算理理解促進算法掌握。所以本單元的核心目標是探索并理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式記錄方法。

（三）核心目標具體化

結(jié)合以上整體分析，將核心目標具體化為兩點。一是理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。其主要內(nèi)涵包含四個水平層次：能理解兩位數(shù)的結(jié)構以及乘法算式的意義;能有自己的計算方法并說明理由;能理解不同的方法，并且能夠比較不同的方法;能在表征、比較的基礎上提煉通法。二是掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式記錄方法。具體表現(xiàn)為學生能感受情境意義、計算過程與豎式記錄的關聯(lián)，理解豎式中每一步的意思，建立算法模型。

二、確定學習起點

為了解學生對核心目標的理解水平，筆者從兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理理解和豎式記錄兩個方面對一個日常教學班開展學情調(diào)查。

（一）學生的算理理解水平分析

為真實了解學生算理理解水平，以算理理解的四個水平層次為基礎[5]，建構兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算算理理解表現(xiàn)性評價框架，筆者開展了前測，前測題如圖1所示。

測試題：想一想“13×12”的意義是什么？怎么計算？請你用橫式寫一寫你的計算方法，并試著用點子圖把你的方法表示出來。

從前測結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，大部分的學生能夠理解乘法算式的意義，能對數(shù)進行重組，超過一半的學生能夠畫分點子圖和用自己的方法找到13×12的計算結(jié)果，但很大部分學生無法準確地用數(shù)學語言表達操作過程，無法說清楚“先算什么再算什么”，不能從“非基本算法”中自發(fā)地進行優(yōu)化，提煉出“基本算法”。

（二）學生的豎式記錄情況分析

為真實了解學生豎式記錄情況，筆者同樣開展前測。前測題如圖2所示。

學生解答方法與情況統(tǒng)計如下。

根據(jù)前測數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，有5+3+4+7=19名學生無法寫出正確的乘法豎式，且豎式記錄存在難度。此外，筆者對寫出正確豎式的14+8=22名同學進行了進一步的訪談，了解他們能否將豎式、橫式、點子圖進行關聯(lián)，理解乘法豎式每一步的意思。訪談結(jié)果顯示，22名同學中有6人無法將豎式、橫式、點子圖進行一一對應，他們只是通過識記、模仿的方式進行豎式記錄。因此，教師有必要讓學生經(jīng)歷從橫式到豎式的形成過程，溝通橫式、豎式和圖式之間的聯(lián)系，做到算理、算法融通，幫助學生建構算法模型。

三、單元整體設計的思考

按照人教版教材的編排，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的學習分為三個階段：第一階段學習相關的口算乘法內(nèi)容;第二階段學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，先學習不進位的筆算，再學習進位的筆算;第三階段學習運用連乘、連除兩步計算解決問題。

根據(jù)學情分析，學生對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算的算理理解、豎式記錄存在不同程度的困難。因此在筆算教學中，教師應該依據(jù)算理理解的水平層次促進學生對算理的深度理解，同時做好情境意義、計算過程和豎式記錄的關聯(lián)，實現(xiàn)算法模型的意義建構。

綜上分析，筆者對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的單元教學內(nèi)容作以下調(diào)整。

1.刪除口算乘法例2中“6×10”作為新知的教學。因為學生已經(jīng)完全掌握了“6個十就是60”的口算方法，而教材生硬地向?qū)W生介紹6×9再添加一個6這樣的算法，雖然有情境的支撐，但不符合學生的認知結(jié)構，甚至會擾亂學生的已有認知。教師可以將6×10放在復習引入環(huán)節(jié)，讓學生在口算練習中復習算法，體會口算一位數(shù)乘10方法的簡便性，改用“12×10”作為探索兩位數(shù)乘整十數(shù)的例題進行教學。

2.將“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”作為探索多位數(shù)乘法算理和算法的關鍵課。算理的理解直接關系到算法的掌握，所以在教學中要強化算理理解的教學。教師可以將兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算設計成筆算連續(xù)課，所謂筆算連續(xù)課就是用連續(xù)的2個課時進行教學，其中課時1指向算理的理解，課時2指向豎式的教學。筆算連續(xù)課的設計可以打破教材原來按照“不進位”“進位”根據(jù)內(nèi)容來編排的方式，而改為從理解算理、做好“豎式記錄”的角度進行教學。這能夠有效促進學生對算理的理解和算法的建構，在算理、算法的融通上給予學生更多的時間和空間，同時連續(xù)課的形式保證學生思維的連貫性與整體性。

基于以上的整體思考，教師可對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的教學的“序”做以下調(diào)整（如表2），構建符合學生認知規(guī)律的學習路徑。

通過上表可以發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后的單元教學內(nèi)容仍然分為口算乘法、筆算乘法、解決問題三個階段，其中筆算乘法作為本單元的核心內(nèi)容，進行了較大的教學調(diào)整。教師將原來教材安排的不進位與進位的兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法設計成筆算連續(xù)課，用連續(xù)的兩個課時進行教學，第一課時依據(jù)算理理解水平層次做好算理理解教學，不進入豎式教學，第二課時讓學生經(jīng)歷豎式的形成過程，做好豎式、橫式與情境的關聯(lián)，幫助學生理解兩層豎式的合理性，建構算法模型。本單元具體教學內(nèi)容的安排如表3所示。

參考文獻：

[1][2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]章勤瓊，陳錫成.基于學習路徑分析的小學數(shù)學單元整體教學思考框架[J].小學教學（數(shù)學版），2021（3）：13-16.

[4]章勤瓊，杜依銘.運算教學中如何做到“法理兼顧”：略談運算教學的三個要點[J].福建教育，2022（10）：28-31.

[5]章勤瓊，陽海林，陳肖穎.小學數(shù)學教學中的表現(xiàn)性評價及其應用[J].課程·教材·教法，2021（3）：83-89.

（1.廣東省東莞市松山湖第二小學? ?523429

2.福建師范大學教育學院? ?350117）