摘要：“平均變化率”是一個容易被忽略的知識點，其在有關(guān)函數(shù)單調(diào)性、圓錐曲線、直線斜率等方面有著重要的應用，在有關(guān)函數(shù)問題中滲透“平均變化率”知識，能夠化繁為簡，更好地解決一些復雜的函數(shù)問題，助力學生自主學習和探究的效率，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，促進學生數(shù)學綜合水平的提升.本文對“平均變化率”在高中數(shù)學函數(shù)問題中的應用進行分析，并提出一些常用的解題方法.

關(guān)鍵詞：平均變化率；函數(shù)應用；圓錐曲線

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0071-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：劉瑛（1981.2-），女，甘肅省隴南禮縣人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

隨著核心素養(yǎng)的提出，與圖象有關(guān)的函數(shù)應用問題是近年高考數(shù)學的熱點，這類問題往往考查學生對函數(shù)自變量和因變量變化情況的分析能力，在解題中借助“平均變化率”達到簡潔求解之目的，有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的能力以及數(shù)學的應用意識.

1 理論闡述

我們必須熟練掌握關(guān)于“平均變化率”的幾個具體類型及其特點.如圖1，結(jié)合兩個直角三角形，易得隨著自變量的增大，因為圖中水平虛線段長相等時，對應豎虛線段長越來越短，所以當自變量的增量（Δx）相同時，因變量的增量（Δy）越來越小.這時，我們就稱“平均變化率”（ΔyΔx）越來越小.圖1圖2圖3

類似分析可得，圖2對應“平均變化率”越來越小；圖3、圖4對應“平均變化率”越來越大；圖5、圖6對應“平均變化率”不變.

2 應用舉例

“平均變化率”的特征比較明顯，學生易于掌握，教師引導學圖7生明確上述圖形及其相關(guān)特點，在具體問題中應該結(jié)合“平均變化率”的實際特點，將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為“平均變化率”問題，則求解此類相關(guān)問題即可達“事半功倍”之效.

2.1 具體求解，不涉及分類討論

例1如圖7所示，現(xiàn)有一個計時漏斗，開始時盛滿沙子，沙子從上部均勻漏下，經(jīng)過5分鐘漏完，h（厘米）是該沙漏中沙面下降的高度，則h與下漏時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示應該是（ ）.

解析開始時沙子的高度變化很緩慢，隨著沙面的下降，高度變化越來越快，即隨時間t的增大，下降高度的平均變化率（ΔhΔt）越來越大，故易知應選B.

評注結(jié)合所給實物圖形，理清整個實際變化過程是準確求解的切入點；其次，要注意學會觀察、分析給定的函數(shù)圖象.

牛刀小試1某學生離家去學校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程，現(xiàn)用縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該學生的走法的是（ ）.

解析由于學生離家去學校，且縱軸表示離學校的距離，所以選項A，C顯然錯誤.再看選項B，D，由于一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程，所以跑步時的“平均變化率”（ΔdΔt）較大，而走時的“平均變化率”（ΔdΔt）較小，據(jù)此結(jié)合圖形即知應選B.

牛刀小試2已知

（x，y）是圓（x-2）2+（y-1）2=3上的動點，試求：y-1x+1的范圍是多少？

解析y-1x+1的范圍從曲線方程中不容易直接求得，這就可以運用平均變化率相關(guān)內(nèi)容，將所求問題轉(zhuǎn)化為斜率問題，則y-1x+1的范圍可以看作是（x-2）2+（y-1）2=3上的點與點（-1，1）連線的斜率，于是可以令這條直線的斜率為k，那么圓上的點與點（-1，1）所確定直線方程為y-1=k（x+1）.

化簡，得kx-y+k+1=0.

因為2k-1+k+1k2+1≤3，

所以（x-2）2+（y-1）2=3上的點與點

（-1，1）連線的斜率范圍為-22≤k≤22.

即y-1x+1的范圍是-22，22.

2.2 具體求解，涉及分類討論

例2如圖10所示，直角梯形ABCO中，AB∥OC，BC⊥OC，AB=1，OC=BC=2，直線l：x=t截此梯形所得位于l左方圖形的面積為S，則函數(shù)S=

ft的圖象大致為（ ） .

解析當0≤t≤1時，隨著直線l向右勻速運動，圖形面積的增加量是越來越大的，即圖形面積的平均變化率（ΔSΔt）越來越大.

當1

綜上，易知選項C正確.

評注本題靈活運用“平均變化率”進行分析，是最為簡單的求解方法.一般解題思路：先結(jié)合圖形，根據(jù)題意求得S=ft=t2，0≤t≤1，2t-1，1

圖12牛刀小試3如圖12所示，單位圓中AB的長為x，fx表示AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y=fx的圖象是（ ）.

解析當0≤x≤π時，隨著x的增大，fx的值也越來越大，且滿足平均變化率Δf（x）Δx越來越大.

當π

綜上，易知選項D正確.

牛刀小試4x1，x2是函數(shù)f（x）上不重合的兩個點的橫坐標，當x1≥1，x2≥1并且x1≠x2的時候，不等式f（x2）-f（x1）x2-x1>0恒成立，則使得不等式f（2a-3）

解析由于x1≥1，x2≥1，且x1≠x2，f（x2）-f（x1）x2-x1>0，即可以得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，）上是單調(diào)遞增函數(shù)，使得不等式f（2a-3）

因此，使得不等式f（2a-3）

總之，從數(shù)形結(jié)合的角度，準確理解、掌握描述兩個變量之間的變化關(guān)系的量——“平均變化率”，可幫助我們順利求解以圖形為載體，考查有關(guān)函數(shù)的實際應用問題，進而增強學生的識圖、用圖能力，有利于較好地培養(yǎng)學生的直觀想象能力以及推理、判斷能力.

參考文獻：

［1］高敏，黃安成.就《平均變化率》的教學談數(shù)學教師的創(chuàng)造性[J].中學數(shù)學，2008（11）：1-5.

[2] 夏志輝.打磨核心教學細節(jié)追求高效數(shù)學課堂——《平均變化率》的磨課實踐和體悟[J].中學數(shù)學，2013（11）：4-7.