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摘要：在高考數(shù)學試卷中，解析幾何的分值大約占總分的20%，而直線與圓錐曲線的內(nèi)容又是解析幾何主要內(nèi)容及高考的重點。在直線與圓錐曲線的考察中，考題的綜合性強，其解題方法較多，經(jīng)常在高考試卷中的壓軸題。直線與圓錐曲線的內(nèi)容不僅僅能夠很好地了解學生對基礎(chǔ)知識掌握程度，也可以很好表明學生綜合解決問題的能力，這就要求學生不但要有較扎實基礎(chǔ)知識還需要較強綜合能力。本篇文章將從直線與圓錐曲線中常見題型進行分析，并附上相應解題技巧，使得同學們能更好把握高考數(shù)學的重要考點。

關(guān)鍵詞：直線；圓錐曲線；高考數(shù)學；解題技巧

高考中考察圓錐曲線作為解析幾何的重點內(nèi)容，能夠讓同學們在學習圓錐曲線的同時，逐漸培養(yǎng)自己的三維思想以便能夠有解決實際問題能力，圓錐曲線的內(nèi)容在多年的高考試題中分值比例都比較大，圓錐曲線的題目中還經(jīng)常與直線結(jié)合出綜合題來考查學生基礎(chǔ)知識、解題技巧，高考中考察題型多變，下面我們就先來分析下直線與圓錐曲線本文從圓錐曲線解題的思想、思維和方法等角度進行探討，教師要讓學生明白這些解題的思想、思維和方法， 需要讓我們真正理解并掌握。

1.熟練掌握基礎(chǔ)知識及常用的結(jié)論

圓錐曲線在高考中題型多變，其中包括選擇題、填空題和解答題，不同的題型的結(jié)題要求不同，不是說所有的題都需要精準的寫出詳細的解題步驟。在選擇答案的過程中，有一些常用的結(jié)論和特殊的結(jié)果可以直接被套用應用，這些結(jié)果往往是經(jīng)典題型，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)。在平常的教學中，教師可以幫助學生總結(jié)一些經(jīng)典題目答案，使我們能夠迅速理解并應用于考試之中，從而提高解題效率。

這些經(jīng)典題目答案主要是從圓錐曲線的一些基本性質(zhì)得出的，比如說直線與圓錐曲線的特殊位置關(guān)系、兩直線特殊位置關(guān)系還有點與圓錐曲線位置關(guān)系等。隨著新課改的實施，在我國的高考考試中，考題中的考點越來越傾向于考查同學們的綜合能力，圓錐曲線的定點、定值問題便是考查其綜合能力的熱點，關(guān)于這部分內(nèi)容試題具有解法多樣、整體思路令人耳目一新，廣泛研究近幾年高考數(shù)學題目可以發(fā)現(xiàn)，對于圓錐曲線的定點、定值問題大致能分成以下四種形式： 曲線過特定的某個特殊的點或點出現(xiàn)在曲線上、角或斜率是一個定值、 多個幾何量運算結(jié)果是定值及直線過某定點或點在某定直線上。

2.積極培養(yǎng)解題思維

數(shù)學是一門嚴謹?shù)执嬖诤芏鄻啡さ牡膶W科，在數(shù)學的解題過程中，不能有一絲的含糊和誤差，但是，與此同時，解題時又需要學生敢于創(chuàng)新敢于用跳躍性的思維來考察題目。只有同學們扎實掌握了數(shù)學基礎(chǔ)知識的同時，培養(yǎng)活躍的數(shù)學解題的思維，開放思路，才能在面臨圓錐曲線的考察題目時能夠有效快速地解決問題。

例1

（2011年天津卷）已知點A、B為橢圓2a2 + 2b2 = 1（a>b>0）的左右頂點，點P為橢圓上與A、B不重合的點，O為坐標原點。如果直線AP與BP的斜率的乘積為-1/2，試求橢圓的離心率。

設(shè)點P的坐標為（X0，Y0），則由題意可得

X02/a + Y02/b = 1

①由 A（-a ，0 ）、B（a，0）可得KAP =Y0 / X +a；KBP =Y0 /X-a。

由KAP *KBP =-1/2 可得 X2 = a2- 2 Y02將其代入式①并整理可得（a2 -2b2） Y02=0

由于Y0 ≠ 0，可得 a2 = 2b2，所以橢圓的離心率e=[（a2 - b2）/ a2 ]1/2= 21/2 / 2。

3.常見解題方法的總結(jié)

1）定義法

定義（Definition）是透過列出一個事件或一個物件的基本屬性來描述或規(guī)范一個詞或一個概念的意義；在數(shù)學里面，定義是一個知識點的本質(zhì)屬性，有關(guān)這個知識點的任何公式定理都是由定義推導出來的，因此，對定義應用的熟練程度可以決定學生解決有關(guān)這個知識點的問題的速度及準確率。

例2

點P在橢圓X2/25+ Y2/ 9 = 1上，P到該橢圓右準線的距離為5/2，求點P與左焦點的距離。本題考查了橢圓的性質(zhì)（準線、焦點、對稱性、離心率等）和橢圓的第二定義。

由題意可得橢圓的準線方程為X = 25/4，離心率e= 4/5。根據(jù)橢圓的對稱性知點P到該橢圓左準線的距離為10。由橢圓的第二定義得e=|PF1|/10 = 4/5，所以點P與左焦點的距離為|PF1|=8。

2）參數(shù)法

例 3

已知向量 a = （X ，31/2 Y），b = （1，0），且（a+31/2b）。

（1）求點 Q（ X，Y）的軌跡C的方程。

（2）設(shè)曲線c與直線 Y = KX + M相交于相異的2點M、N，又點A（0，-1 ）， 當| AM|=|AN|時，求實數(shù) m 的取值范圍 。

（1） X2/3 + Y2 = 1（過程略）

（2）由 Y = K X + M ，

X2 / 3 + Y2 = 1

得

（ 3K2 + 1 ） X2 6 MKX + 3（M2-1） = 0

又直線與橢圓相交于相異的2點，所以

Δ = 12（ 3K2 + 1 - M ）>0 ①

當 K ≠ 0時，設(shè)弦 M N的中點為 P（X P ，Y P），M、N的橫坐標分別為XM 、XN， 則XP=（XM+XN2）/2=-3mk /

3k2 + 1 ，從而yp = m / （3k2 + 1），kAP=-（-m + 3 k2 + 1）/ 3 m k 。又|AM|=|AN|，所以AP⊥ MN ，所以 2m =3 k2 + 1 ②

由式 ② 得m > 1/2， 從而 2m >2，所以 0﹤m﹤2 ，

所以 m ∈ （1/2 ，2） 。 當 k = 0 時，|AN| = |AN|， 則 AP ⊥ MN，m2 ﹤ 3 k2 + 1 ， 解得-1 ﹤ m ﹤ 1 。綜上，當 k ≠ 0 時，實數(shù) m 的取值范圍是（1/2 ，2 ） ；

當 k = 0 時， 實數(shù) m 的取值范圍是（ -1 ， 1 ）。

4.結(jié)語

通過考察多年以來的高考數(shù)學試題可以發(fā)現(xiàn)，高考試題中有關(guān)圓錐曲線的題目所占分值一直比較穩(wěn)定，而且題目考察的綜合性以及對實際問題非考察越來越多。圓錐曲線中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，也就是數(shù)形結(jié)合思想，是高中數(shù)學解析幾何重點考察內(nèi)容。本文在歸納總結(jié)直線與圓錐曲線知識點的考查特點基礎(chǔ)上，結(jié)合使用相應數(shù)學思想方法，給出直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實例分析，為同學們解答此類題提供方法借鑒。

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[3] 凌敏華.直線與圓錐曲線的常見題型及解題技[J].數(shù)學學習與研究，2016.

（作者單位：明德中學，湖南 長沙 410000）