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        沿繩方向加速度問題的深入思考

        2022-05-30 23:30:12鄧偉
        數(shù)理化解題研究·高中版 2022年10期

        摘要:本文由一道聯(lián)考題的爭議引出沿繩方向加速度問題,再通過數(shù)學(xué)方法分析得出沿繩方向加速度的關(guān)系,最后結(jié)合高中物理教學(xué)實際,舉例并歸納出沿繩方向加速度的關(guān)系.對培養(yǎng)師生物理學(xué)科核心素養(yǎng)中的“科學(xué)探究”有一定的指導(dǎo)意義.

        關(guān)鍵詞:繩連接模型;速度;加速度;是否相等

        中圖分類號:G632文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)28-0116-03

        收稿日期:2022-07-05

        作者簡介:鄧偉(1976.1-),男,特級教師,中學(xué)高級教師,從事高中物理教學(xué)研究.

        高中階段與繩連接有關(guān)的速度、加速度問題極為常見.處理繩牽連模型中速度分解問題時,教師經(jīng)常用到的結(jié)論:沿繩方向的速度大小相等.但又引出另外一個值得我們深思的問題:沿繩方向的加速度大小是否相等?

        1 一道聯(lián)考題的思考

        在一次區(qū)域聯(lián)考中,筆者遇到一個很有爭議的題目,題目如下:

        例1如圖1所示,將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端,輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán),環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上,光滑定滑輪與直桿的距離為d.現(xiàn)將環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放,當(dāng)環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(圖中B處),下列說法正確的是(重力加速度為g)().

        A.環(huán)剛釋放時輕繩中的張力等于2mg

        B.環(huán)到達B處時,重物上升的高度為(2-1)d

        C.環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比為22

        D.環(huán)減少的機械能大于重物增加的機械能圖1

        原參考答案:B.

        解析環(huán)剛開始釋放后,重物由靜止開始加速上升,故重物有向上的加速度,根據(jù)牛頓第二定律有F-2mg=2ma,得F>2mg,故A項錯誤;

        有教師認(rèn)為:環(huán)剛開始釋放時,環(huán)的加速度為g,通過沿繩方向加速度相等,得到重物在環(huán)釋放瞬間加速度為0,則繩的張力F=2mg,故A正確.那究竟哪種說法是正確的呢?

        2 沿繩方向加速度關(guān)系與速度關(guān)系是否相同

        假設(shè)沿繩方向加速度與速度的關(guān)系是一致的,以例1為例,設(shè)環(huán)到B點的加速度向下為aB,此時繩與桿的夾角為θ,若我們類比速度之間的關(guān)系,可以得到重物加速度a物=aBcosθ.再用特例進行反證:如果環(huán)下落到B點前,在外力作用下已保持勻速下落,在B點對環(huán)分析,有aB=0,從加速度關(guān)系可得,重物上升加速度a物=aB=0,說明重物也是勻速上升.但從速度關(guān)聯(lián)的角度,當(dāng)環(huán)勻速下落時,因為兩者速度滿足v物=vBcosθ,當(dāng)環(huán)下落過程中,角度θ越來越小,利用余弦函數(shù)得出重物上升速度是越來越大的,說明重物的加速度豎直向上不為0.兩個結(jié)論產(chǎn)生了矛盾,說明假設(shè)不成立:沿著繩方向加速度關(guān)系與沿繩方向速度關(guān)系不一定相同.

        3 沿繩方向加速度關(guān)系的推導(dǎo)

        同樣借助例1,用數(shù)學(xué)方法來推導(dǎo):

        假設(shè)環(huán)下落到B點,環(huán)的速度為v,將v沿繩和垂直繩方向分解,得到兩個分速度v1、v2,此時繩與豎直方向夾角為θ,如圖2所示.利用速度關(guān)聯(lián),重物上升速度也是v1,滿足v=v1cosθ.由于環(huán)和重物都是做豎直方向上的直線運動,故加速度也必然是豎直方向,利用加速度定義式a=dvdt得,環(huán)的加速度a=dvdt=dv1cosθdt.環(huán)下落過程中,重物的上升速度v1和繩子與桿的夾角θ都在發(fā)生變化,所以v1和θ都可以看成是關(guān)于t的函數(shù).利用求導(dǎo)公式ftgt′=f? ′tgt-ftg′tg2t和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式

        fg(t)′=f ′g(t)·g′(t)得:

        a=dvdt=dv1cosθdt=cosθ·dv1dt-cosθ′·v1cos2θ=1cosθ·dv1dt+sinθcos2θ·dθdt·v1①

        其中,重物上升加速度:a1=dv1dt②

        角速度dθdt=-ω=-v2r③

        (其中r為此時環(huán)到滑輪與繩的接觸點(后面簡稱接觸點)之間的繩長、v2是環(huán)沿著接觸點轉(zhuǎn)動的線速度,角度θ隨時間增加而減小,所以有負(fù)號),重物上升速度v1=v2tanθ④

        將②③④式代入①式得:

        a=1cosθ·a1-1cosθ·v22r⑤

        將⑤式變形可得:acosθ=a1+(-v22r)⑥

        ⑥式的含義:a1是重物上升的加速度,也可以理解為左端繩子伸長的加速度,acosθ是環(huán)的加速度沿著繩方向的分量,v22r是環(huán)到該位置時,環(huán)繞著接觸點轉(zhuǎn)動的向心加速度.

        綜上分析,我們可以得出結(jié)論:環(huán)的加速度沿繩的分量等于重物上升加速度(左端繩子伸長的加速度)與環(huán)繞點轉(zhuǎn)動的向心加速度矢量和.

        4 高中范圍內(nèi),哪些情況物體沿繩方向加速度相等

        4.1 繩兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩平行,都做直線運動,不存在繞點轉(zhuǎn)動.

        例2如圖3所示,A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的輕繩相連,A放在固定的光滑斜面上,B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連,C球放在水平地面上.現(xiàn)用手控制住A,并使輕繩剛剛拉直但無拉力作用,并保證滑輪左側(cè)輕繩豎直、右側(cè)輕繩與斜面平行.已知A的質(zhì)量為4m,B、C的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,輕繩與滑輪之間的摩擦不計.開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài);釋放A后,A沿斜面下滑至速度最大時,C恰好離開地面.求:斜面的傾角α;圖3

        解析:由題意可知,當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時,C恰好離開地面,C的加速度為0;AB加速度時刻相等,此時為零.將ABC作為一個整體:

        由牛頓第二定律得4mgsinα-2mg=0,

        則sinα=12,α=30°.

        4.2 物體做圓周運動存在繞點轉(zhuǎn)動的情況,但速度為0

        物體即使存在繞點轉(zhuǎn)動的情況,如果速度為0,向心加速度也為0,所以沿繩方向的加速度仍然相同,這些情況一般出現(xiàn)在開始運動時或運動結(jié)束時.

        例3(2018江蘇卷)如圖4所示,釘子A、B相距5l,處于同一高度.細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊,另一端繞過A固定于B.質(zhì)量為m的小球固定在細(xì)線上C點,B、C間的線長為3l.用手豎直向下拉住小球,使小球和物塊都靜止,此時BC與水平方向的夾角為53°.松手后,小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零,然后向下運動.忽略一切摩擦,重力加速度為g,取sin53°=0.8,cos53°=0.6.求:圖4(3)小球向下運動到最低點時,物塊M所受的拉力大小T.

        答案:(3)T=8mMg5(m+M)(T=4855mg或T=811Mg)

        解答第(3)時,要注意運動過程分析,弄清小球加速度和物塊加速度之間的關(guān)系,因小球下落過程做的是圓周運動,當(dāng)小球運動到最低點時速度剛好為零,所以小球沿AC方向的加速度(切向加速度)與物塊豎直向下加速度大小相等.第(3)問解答過程如下:根據(jù)機械能守恒定律,小球回到起始點,速度為0.M、m沿繩子方向加速度相等,設(shè)此時AC方向的加速度大小為a,重物受到的拉力為T,對M用牛頓運動定律Mg-T=Ma.對m用牛頓運動定律T-mgcos53°=ma.聯(lián)立兩式解得T=8mMg5(m+M)(T=4855mg或T=811Mg)

        對例1分析,也屬于第二類情況,由于初速度為0,所以沿繩方向加速度相同,由于初始位置的繩子與環(huán)的加速度方向垂直,故重物上升加速度為0,此時繩子的拉力等于物體受到的重力,故A選項為正確答案.

        5 綜述

        通過對沿繩方向加速度問題的深入思考,可以得如下結(jié)論:連接體沿繩方向加速度的關(guān)系與速度間的關(guān)系不一定相同.我們既要考慮平動的加速度,也要考慮轉(zhuǎn)動時的向心加速度.在高中物理繩牽連模型中,下列兩種情況的加速度與速度關(guān)系是相同的:第一,繩兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩子平行,都做直線運動,不存在繞點轉(zhuǎn)動的情況;第二,物體做圓周運動存在繞點轉(zhuǎn)動時,但速度為0的情況.

        參考文獻:

        [1]張赟.這里的加速度不滿足矢量運算嗎? ——談繩牽連物體運動模型中物體和小車的速度和加速度[J].物理教師,2010,31(2):29-30.

        [2] 徐海鵬.分解法解決繩牽連模型中加速度問題的嘗試[J].物理通報,2012(3):57-58.

        [3] 孫翔.三種方法破解繩牽連模型中的加速度問題[J].物理通報,2015(6):67-70.

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