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        單位圓在三角函數(shù)教學(xué)中的作用

        2022-05-30 23:30:12郭芳麗
        數(shù)理化解題研究·高中版 2022年10期
        關(guān)鍵詞:輔助作用三角函數(shù)教學(xué)

        摘要:將單位圓融入三角函數(shù)教學(xué),能夠令抽象難懂的三角函數(shù)知識變得形象直觀,從而易于學(xué)生理解,簡化教學(xué)過程,優(yōu)化教學(xué)效果.

        關(guān)鍵詞:單位圓;三角函數(shù);教學(xué);輔助作用

        中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)28-0104-03

        收稿日期:2022-07-05

        作者簡介:郭芳麗(1965.4-),女,陜西省西安人,中學(xué)高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        在初中,我們利用直角三角形學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù);到了高中,為進(jìn)一步研究任意角的三角函數(shù),需要借助單位圓.單位圓簡單直觀,具有圓的對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性,三角函數(shù)有了單位圓的加入,便展開了一系列行之有效的教學(xué)活動.

        1 理解弧度制

        在高中階段,弧度制的學(xué)習(xí)是一個難點(diǎn),為了突破這個難點(diǎn),我們借助單位圓來直觀理解.如圖1,在單位圓中,長度為1的弧AB所對的圓心角∠AOB就是1弧度角.“弧度制”是用弧的長度來度量角的大小,弧度制統(tǒng)一了角度與長度的單位.

        在講解角的集合與實(shí)數(shù)集對應(yīng)關(guān)系的過程中,引入(如圖2所示)單位圓模型:讓單位圓M與數(shù)軸相切于原點(diǎn)O,把數(shù)軸看成一個皮尺, 對于任意一個正數(shù)a,它對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)A,把線段OA逆時針方向纏繞到單位圓M上,點(diǎn)A對應(yīng)單位圓上的點(diǎn) A′,這樣以MO為始邊,經(jīng)逆時針方向旋轉(zhuǎn)以MA′為終邊的圓心角α的弧度數(shù)為正數(shù)a;同樣對于任意一個負(fù)數(shù)b,對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)B,將線段OB順時針方向纏繞到單位圓M上,點(diǎn)B對應(yīng)單位圓上點(diǎn)B′,則以MO為始邊經(jīng)過順時針方向旋轉(zhuǎn)以MB′為終邊的圓心角β的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)b.

        2 定義任意角的三角函數(shù)

        如圖3,在直角坐標(biāo)系的單位圓中,用角α的終邊與單位圓交點(diǎn)p(u,v)的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u分別定義角α的正弦函數(shù)和余弦函數(shù),記作v=sinα和u=cosα;比值

        vu定義為角α的正切函數(shù),記作

        vu=tanα,其中

        α∈R,α≠π2+kπ,k∈Z.用單位圓定義任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的定義是一致的.

        3 推導(dǎo)誘導(dǎo)公式

        利用單位圓的對稱性與幾何直觀易得:

        (1)角α與-α的終邊關(guān)于x軸對稱,終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)(圖4),即

        cos(-α)=cosα=u,sin(-α)=-sinα=-v.

        (2)角α與α±π的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱,終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù),即cos(α±π)=-cosα=-u,sin(α±π)=-sinα=-v(圖5).

        (3)角α與π-α的終邊關(guān)于縱軸對稱,終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等,即

        cos(π-α)=-cosα=-u,sin(π-α)=sinα=v(圖6).

        (4)角α與π2-α的終邊關(guān)于直線y=x對稱,終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)滿足關(guān)系:角α的橫坐標(biāo)是角

        π2-α的縱坐標(biāo),角α的縱坐標(biāo)是角π2-α

        的橫坐標(biāo),即sin(π2-α)=cosα=u,cos(π2-α)=sinα=v(圖7).

        (5)對于角α與α+π2

        的三角函數(shù)關(guān)系(圖8),應(yīng)用平面幾何知識結(jié)合圖形可知:角α的橫坐標(biāo)等于角α+π2的縱坐標(biāo),角α的縱坐標(biāo)等于角α+π2的橫坐標(biāo)的相反數(shù),即sin(α+π2)=cosα=u,cos(α+π2)=-sinα=-v.

        4 研究三角函數(shù)性質(zhì)

        如圖9,在給定的單位圓中,設(shè)任意角x的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(cosx,sinx),當(dāng)自變量x變化時,點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)也在變化.根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的定義,易知以下基本性質(zhì):

        (1)定義域是R;

        (2)值域是[-1,1];

        (3)周期是2π;

        (4)單調(diào)性:如圖10,在單位圓中,當(dāng)角x由

        -π2增大到π2時,sinx的值由-1增加到1,當(dāng)角x由π2增大到

        3π2時,sinx的值由1減小到-1.因此,正弦函數(shù)在區(qū)間[-π2,π2]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[π2,3π2]上單調(diào)遞減.由周期性可知,正弦函數(shù)在[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)上單調(diào)遞增,在區(qū)間[2kπ+π2,2kπ+π2](k∈Z)

        上單調(diào)遞減.同樣,如圖11,余弦函數(shù)在[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增,在[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上單調(diào)遞減.

        5 繪制三角函數(shù)的圖象

        (1)先作出三角函數(shù)線:在圖12中,設(shè)單位圓與任意角α的終邊交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)A(1,0)作x軸的垂線,與角α的終邊或終邊的反向延長線交于點(diǎn)T,則有向線段MP,OM,AT就是角α的正弦線、余弦線和正切線.

        (2)再借助正弦線和正切線繪出正弦函數(shù)和正切函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象(圖13).

        6 證明同角三角函數(shù)關(guān)系

        如圖14,設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)

        P(u,v),根據(jù)三角函數(shù)定義有:u=cosα,v=sinα,tanα=vu(u≠0).所以tanα=sinαcosα(α≠π2+ kπ, k∈Z).由勾股定理知OM2+MP2=1,即u2+v2=1.所以sin2α+cos2α=1.

        7 推證兩角差的余弦公式

        如圖15,在單位圓中,設(shè)銳角α,β(α>β)的終邊分別交單位圓于點(diǎn)A(cosα,sinα), B(cosβ,sinβ),則兩個單位向量OA,OB的夾角為α-β.

        于是OA·OB=cos(α-β) .

        又OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ,

        所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

        總之,將單位圓融入三角函數(shù)教學(xué),不僅有很好的輔助借鑒意義,還事半功倍.

        參考文獻(xiàn):

        [1]吳勇.聚焦單位圓[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(數(shù)學(xué)教育),2012(09):33.

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