樊向陽 徐德同

摘要：數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。在2020年江蘇省義務教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，初中數(shù)學項目組特別注重創(chuàng)設(shè)真實性情境，充分關(guān)注數(shù)學建模素養(yǎng)與情境特征的明確關(guān)系，確定合理的任務呈現(xiàn)方式，提供恰當?shù)闹涡圆牧匣蛐畔?。試題經(jīng)多次研討打磨，呈現(xiàn)方式基于學生的知識水平，能夠促進學生運用已學習的知識去解決，增加與數(shù)學建模的親近感，實現(xiàn)學以致用的目的，體驗數(shù)學知識的實際價值。

關(guān)鍵詞：數(shù)學建模;學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測;素養(yǎng)測評;初中數(shù)學

一、 數(shù)學建模素養(yǎng)測評的實踐依據(jù)

（一） 數(shù)學建模的內(nèi)涵和表現(xiàn)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》對“數(shù)學建?！钡拿枋鰹椋骸皵?shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題……數(shù)學建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題。”

（二） 數(shù)學建模的評價要素

數(shù)學核心素養(yǎng)比數(shù)學知識或技能更具有綜合性，在具體內(nèi)涵和表現(xiàn)機制上也更為復雜。核心素養(yǎng)是學生內(nèi)在的能力、品格或特征，它指向?qū)W生在情境任務中的外在表現(xiàn)，但其本身并不等同于這種表現(xiàn)。核心素養(yǎng)無法被直接觀測，但可以通過學生在具體任務中的實際表現(xiàn)來評價。要確保這種評價的合理性，就要基于素養(yǎng)的內(nèi)涵和外延，厘清素養(yǎng)的評價要素，建立素養(yǎng)與具體任務上的外在表現(xiàn)之間的關(guān)聯(lián)。基于數(shù)學建模的內(nèi)涵和表現(xiàn)以及初中生的認知水平，我們厘定了數(shù)學建模素養(yǎng)的評價要素，包括：在實際情境中明確實際問題;分析實際問題中的相關(guān)因素（變量）;合理分析相關(guān)因素，作出適度的假設(shè);將實際問題用數(shù)學語言進行表述;分析數(shù)學問題，建立數(shù)學模型;用數(shù)學方法求解模型;對數(shù)學結(jié)果進行分析、解釋;根據(jù)模型結(jié)果，對實際問題進行分析、解釋;結(jié)合實際問題，分析數(shù)學模型的合理性或局限性;分析模型結(jié)果，結(jié)合實際問題，對模型進行適當?shù)耐晟啤?/p>

二、 數(shù)學建模素養(yǎng)測評的表現(xiàn)水平

（一） 在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學語言表達問題

1. 水平描述

水平A：能在實際情境中用符號語言準確描述數(shù)學對象;能利用數(shù)學語言對復雜情境中的現(xiàn)象進行解釋。

水平B：能在實際情境中用符號語言準確描述數(shù)學對象;能利用數(shù)學語言對復雜情境中的現(xiàn)象進行表達。

水平C：能用自己的語言描述數(shù)學對象的特征;能利用數(shù)學語言對簡單情境中的現(xiàn)象進行表達。

水平D：不能選擇適當?shù)男问矫枋鰯?shù)學對象，或選用其中的一種方式表達不完整;不能描述數(shù)學對象或用數(shù)學對象對簡單情境中的現(xiàn)象進行解釋，或描述、解釋不完整，有明顯錯誤。

2. 相關(guān)示例

甲、乙兩家葡萄園采摘葡萄的收費標準如下：

甲葡萄園：入園采摘葡萄不超過4千克需付費40元，超過4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄園：入園門票為每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，總費用y與采摘質(zhì)量x之間的關(guān)系如圖1所示。

若分別在甲、乙兩家葡萄園采摘8千克葡萄，所付費用相同，求y與x之間的函數(shù)表達式。其他小問主要考查的不是數(shù)學建模素養(yǎng)，故沒有在此呈現(xiàn)（后同）。

（二） 在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學模型

1. 水平描述

水平A：能通過信息的重組，獲取解決問題的有效信息，并作出合理的假設(shè)與推斷;能根據(jù)問題情境中的信息提出數(shù)學問題;能通過分析情境中的數(shù)學關(guān)系，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學模型，并運用知識、方法等解決非常規(guī)問題。

水平B：能獲取給定問題情境中的信息，并作出合理的假設(shè)與推斷;能根據(jù)問題情境中的信息提出簡單的數(shù)學問題;能通過圖表等分析問題情境中的數(shù)學關(guān)系，選擇適當?shù)男问奖磉_數(shù)學關(guān)系，并運用相關(guān)知識、方法等解決非常規(guī)問題。

水平C：能讀懂問題情境中的數(shù)學信息，并從給定的信息中作出簡單的假設(shè)與推斷;能利用生活現(xiàn)象、直觀模型等解決常規(guī)問題。

水平D：不能讀懂問題情境中的數(shù)學信息，或不能有效提取問題情境中的數(shù)學信息;不能利用生活現(xiàn)象、直觀模型等解決常規(guī)問題。

2. 相關(guān)示例

水果店張阿姨以每千克2元的價格購進某種水果若干，銷售一部分后，根據(jù)市場行情降價銷售，銷售額y（元）與銷售量x（千克）之間的關(guān)系如圖2所示。

求降價后銷售額y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)表達式。

（三） 運用數(shù)學知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型，最終解決實際問題

1. 水平描述

水平A：能在學習過程中自主發(fā)現(xiàn)和提出新問題，并進行質(zhì)疑;能將多種信息聯(lián)系起來，體驗解決問題方法的多樣性，能作出恰當?shù)倪x擇，并將模型進行拓展。

水平B：能在現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，并將問題抽象成數(shù)學問題;能綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法。

水平C：認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題;能利用數(shù)學的概念和方法解釋現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實生活中的簡單問題。

水平D：不能讀懂問題情境中的數(shù)學信息，或不能有效提取問題情境中的數(shù)學信息;不能運用知識和方法解決問題，或解決問題的基本策略與方法有明顯錯誤。

2. 相關(guān)示例

為預防病毒性感冒，某校對教室進行藥熏消毒。測得藥物燃燒階段和燃燒后的一段時間內(nèi)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖3所示。

每立方米空氣中的含藥量低于6mg時，對人體方能無毒害作用，那么從消毒開始，經(jīng)過多長時間學生才可以回到教室？

三、 數(shù)學建模素養(yǎng)測評的研究思路

數(shù)學建模素養(yǎng)的形成源于數(shù)學知識的習得和運用。數(shù)學建模素養(yǎng)的測評與一般的測驗不同，內(nèi)容上力求淡化單純對知識點理解和掌握情況的考查，強調(diào)在真實情境下解決問題的能力因素的考量;力求改變單純在數(shù)學內(nèi)部情境中命題的思路，削弱模式化的題型，將多元化的情境、問題和答案的開放性滲透于測評試題中，考查思維的深刻性、創(chuàng)造性元素。在命制試題時，要特別注重創(chuàng)設(shè)真實性情境，充分關(guān)注數(shù)學建模素養(yǎng)與情境特征的明確關(guān)系，確定合理的任務呈現(xiàn)方式，提供恰當?shù)闹涡圆牧匣蛐畔?，同時考慮設(shè)問指向和設(shè)問方式對問題解決的影響。

下頁表1即2020年江蘇省義務教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中數(shù)學建模素養(yǎng)測評試題命制的多維細目表。

四、 數(shù)學建模素養(yǎng)測評的試題改進

2020年江蘇省義務教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中關(guān)于數(shù)學模型素養(yǎng)的測評共6小題23分。本文以M8SS182和M8SS183（為同一大題的2個小問）第（1）問不是數(shù)學建模素養(yǎng)的測評試題，為了體現(xiàn)試題完整性，后面仍整體呈現(xiàn)。為例，說明數(shù)學建模素養(yǎng)測評試題的編改過程。

該題重點考查“運用數(shù)學知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型，最終解決實際問題”的數(shù)學建模素養(yǎng)，要求學生利用數(shù)學知識從生活經(jīng)驗中抽象出不等式模型。表1數(shù)學建模素養(yǎng)測評試題命制多維細目表

題號題型分值預估難度核心素養(yǎng)行為表現(xiàn)情境類型具體內(nèi)容M8SS141解答60.70根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學模型，并解決簡單的實際問題生活情境

學科情境分式方程模型M8SS142解答40.50根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學模型，并解決簡單的實際問題生活情境

學科情境不等式模型M8SS173解答40.63在實際情境中建立數(shù)學模型，運用數(shù)學知識求解模型，解決實際問題生活情境一次函數(shù)模型M8SS174解答20.45在實際情境中建立數(shù)學模型，運用數(shù)學知識求解模型，解決實際問題生活情境

學科情境一次函數(shù)模型M8SS182解答30.45運用數(shù)學知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型，最終解決實際問題生活情境

學科情境不等式模型M8SS183解答40.40運用數(shù)學知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型，最終解決實際問題生活情境

學科情境綜合應用（一） 試題初稿及說明

嘗出來的不等式：數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學問題，就拿我們平時喝的糖水來說，里面也包含著數(shù)學問題，并且是不等式的問題。

（1） 假設(shè)在a克糖水中含有b克糖（a>b>0），則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比（即糖水的濃度）為。再加入m克糖，則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比（糖水的濃度）為。

（2） 生活經(jīng)驗告訴我們，糖水添加糖后會更甜，于是得出一個不等式： 。我們?nèi)しQ之為“糖水不等式”。

（3） 請嘗試證明“糖水不等式”。

學生只有了解情境，才能產(chǎn)生探究的興趣。通過300人試測和訪談，我們了解到：學生對這一真實情境比較熟悉，覺得貼近生活，很喜歡這道題;但嘗試證明“糖水不等式”比較困難，學生解答正確率非常低，說明問題設(shè)計的臺階太高，中間沒有很好的鋪墊。

（二） 試題過程稿及說明

嘗出來的不等式：數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學問題，就拿我們平時喝的糖水來說，里面也包含著數(shù)學問題。

（1） 假設(shè)在a克糖水中含有b克糖（a>b>0），則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比（即糖水的濃度）為?，F(xiàn)再加入m克糖，則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比（糖水的濃度）為。

（2） 生活經(jīng)驗告訴我們，糖水添加糖后會更甜，于是得出一個不等式： 。我們?nèi)しQ之為“糖水不等式”。請你證明這個“糖水不等式”。

（3） 數(shù)學上有一個等比定理：若b1a1=b2a2=…=bnan，則b1+b2+…+bna1+a2+…+an=b1a1。請嘗試用生活中的糖水實驗說明該定理成立。

過程稿經(jīng)多次研討打磨，任務的呈現(xiàn)方式基于學生的知識水平，學生能運用已學知識解決問題。這樣的設(shè)計，既可以消除學生對數(shù)學建模的疏離感、陌生感，又可以實現(xiàn)學以致用的目的，讓學生體驗到數(shù)學知識的實際價值;但總體立意上還是缺乏“從數(shù)學到生活”的意蘊。

（三） 試題定稿及說明

數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學。用我們平時喝的糖水做“糖水實驗”，也能驗證發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學結(jié)論。

（1） 糖水實驗一：現(xiàn)有a克糖水，其中含有b克糖（a>b>0），則糖水的濃度（即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比）為ba，加入m克水，則糖水的濃度為。

生活經(jīng)驗告訴我們，糖水加水后會變淡，由此可以寫出一個不等式，我們?nèi)しQ為“糖水不等式”。

（2） 糖水實驗二：將“糖水實驗一”中的“加入m克水”改為“加入m克糖”，根據(jù)生活經(jīng)驗，請你寫出一個新的“糖水不等式”：。

（3） 糖水實驗三：請設(shè)計一個“糖水實驗”，說明等比定理“若b1a1=b2a2=…=bnan，則b1+b2+…+bna1+a2+…+an=b1a1”成立。

定稿試題的設(shè)計難度恰當、層次合理，充分考慮到學生的個體差異，讓不同水平的學生都能嘗試解決不同的數(shù)學建模問題。同時，由易到難的梯度設(shè)置，符合學生的認知規(guī)律，能夠幫助學生樹立數(shù)學學習的信心。實測結(jié)果也表明，調(diào)整了第（2）問后，學生對“從生活到數(shù)學”的理解更加充分。從全省監(jiān)測數(shù)據(jù)來看，后兩小問學生的得分率分別為0.35和0.37，與預設(shè)難度基本吻合。

數(shù)學建模素養(yǎng)的測評旨在通過學生在具體任務上的表現(xiàn)，推斷其數(shù)學建模素養(yǎng)的表現(xiàn)水平。這一推斷過程會比傳統(tǒng)測評方式的推斷過程更為復雜，體現(xiàn)在整個推斷過程的諸多環(huán)節(jié)。一方面，要準確把握數(shù)學建模的內(nèi)涵和表現(xiàn)水平;另一方面，要基于真實情境，創(chuàng)設(shè)能夠引發(fā)數(shù)學建模素養(yǎng)表現(xiàn)的評價任務;同時，也需要以學業(yè)質(zhì)量標準為依據(jù)，研制等級性、多元化的評分標準，提高評分標準的科學性和合理性。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[3] 義務教育學科核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力研究項目組.義務教育學科核心素養(yǎng)·關(guān)鍵能力測評與教學（初中數(shù)學）[M].南京：江蘇鳳凰科學技術(shù)出版社，2018.

[4] 喻平.數(shù)學關(guān)鍵能力測驗試題編制：理論與方法[J].數(shù)學通報，2019（12）.（樊向陽，江蘇省中小學教學研究室。教育部國家質(zhì)量監(jiān)測實施及結(jié)果運用專家，江蘇省義務教育質(zhì)量監(jiān)測初中數(shù)學命題專家。曾獲國家科學技術(shù)部NOC教育信息化發(fā)明創(chuàng)新獎。徐德同，江蘇省中小學教學研究室，正高級教師。中國數(shù)學會奧林匹克高級教練員，江蘇省教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會副秘書長，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象。）