郝瑞亞

【摘 要】圖像表征能夠極大地推動(dòng)學(xué)生的思維進(jìn)階。在概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)以及圖形教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生利用圖像表征夯實(shí)基礎(chǔ)、突破知識(shí)疑點(diǎn)、架構(gòu)知識(shí)框架、建立數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)思維發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 圖像表征 思維進(jìn)階

數(shù)學(xué)是一門(mén)基于思維的學(xué)科，學(xué)生的思維發(fā)展不是一蹴而就的，需要在整個(gè)小學(xué)階段的學(xué)習(xí)中逐步實(shí)現(xiàn)由形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)變，而其中思維生長(zhǎng)最重要的載體就是圖像。圖像表征是指學(xué)生利用圖像表達(dá)自己思考的過(guò)程。教師在教學(xué)中充分利用圖像表征，能夠推動(dòng)學(xué)生的思維進(jìn)階。

一、多圖表征，夯實(shí)概念生長(zhǎng)點(diǎn)

在小學(xué)階段，概念的學(xué)習(xí)并不要求學(xué)生用完全標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)化語(yǔ)言進(jìn)行表述，以“認(rèn)識(shí)小數(shù)”的學(xué)習(xí)為例，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要注重從具體情境中抽象出數(shù)的過(guò)程，理解小數(shù)的意義。而圖像表征就是一個(gè)由抽象概念建立直觀(guān)表象與理解的過(guò)程。在學(xué)習(xí)小數(shù)的知識(shí)之后，教師設(shè)計(jì)了這樣一道題目：用你喜歡的方式表示你對(duì)小數(shù)1.4元的理解。學(xué)生主要用這樣幾幅作品表示。（見(jiàn)圖1）

圖1

從學(xué)生作品中，我們可以看出主要有三種不同的理解層次：語(yǔ)言描述、實(shí)物觀(guān)察以及圖形展示。能夠主動(dòng)想到用線(xiàn)段圖表示的學(xué)生對(duì)小數(shù)的理解已經(jīng)上升到比較高階的水平。教師將這幾幅作品進(jìn)行展示，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、辨析、交流、融通，在差異化的表達(dá)中逐步實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展與方法的優(yōu)化，幫助學(xué)生從多維度、深層次理解小數(shù)的意義。

二、數(shù)形聯(lián)通，提升計(jì)算解疑竇

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)，數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微。在計(jì)算的學(xué)習(xí)中，圖像表征能夠在難懂之處顯直觀(guān)，在相似之處解疑竇。學(xué)生畫(huà)圖的過(guò)程本身就是對(duì)題意分析并表征的過(guò)程，圖形還能夠?qū)⑺季S的疑惑點(diǎn)暴露出來(lái)。另外，在計(jì)算的學(xué)習(xí)中，原本抽象、易錯(cuò)的運(yùn)算法則結(jié)合圖形之后，便能形成更加豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

（一）圖像表征，突破局限高屋建瓴

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，遷移是指認(rèn)知結(jié)構(gòu)在新條件下的重新建構(gòu)，遷移按其學(xué)習(xí)效果可以分為正遷移與負(fù)遷移。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以運(yùn)用圖像表征的方式有效突破舊知的負(fù)遷移作用，直觀(guān)幫助學(xué)生形成知識(shí)的重新建構(gòu)。

如在學(xué)習(xí)“乘法分配律”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生充分利用圖像表征打破代數(shù)表達(dá)式的局限性，從整體的角度看待乘法分配律。主要有以下兩方面的突破：一方面，從數(shù)字個(gè)數(shù)的角度，學(xué)生會(huì)存在誤區(qū)，認(rèn)為等號(hào)左邊只乘了一次c，所以，在等號(hào)右邊也只給第二個(gè)加數(shù)乘c，典型錯(cuò)例如（125+9）×8=125+9×8。這主要是由以前學(xué)習(xí)的交換律、結(jié)合律中“數(shù)字的個(gè)數(shù)不會(huì)改變”的刻板印象所形成的負(fù)遷移。因此，在教學(xué)時(shí)，教師引入面積圖進(jìn)行演示，使學(xué)生能夠直觀(guān)地感受到，為保證面積不變，兩個(gè)加數(shù)分別乘c的必要性，豐富了學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)，也在一定程度上消除了代數(shù)計(jì)算的負(fù)遷移。另一方面，在小學(xué)階段，乘法分配律的教學(xué)安排在三個(gè)不同的年級(jí)，分別是整數(shù)乘法分配律、小數(shù)乘法分配律以及分?jǐn)?shù)乘法分配律。其實(shí)，分配律本身就有（a+b）×c=a×c+b×c的模型結(jié)構(gòu)，但是，由于教材在編排時(shí)考慮到學(xué)習(xí)的循序漸進(jìn)，將這三部分乘法分配律分開(kāi)進(jìn)行講解與驗(yàn)證。另外整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)從代數(shù)的角度并不是同一類(lèi)型，因此，不能直接將整數(shù)的運(yùn)算律應(yīng)用到小數(shù)與分?jǐn)?shù)當(dāng)中，而是需要重新驗(yàn)證。但是，圖像的出現(xiàn)打破了代數(shù)方面的禁錮。我們只需將分配律的模型轉(zhuǎn)化為兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的計(jì)算。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a、b與寬c既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。我們便可將代數(shù)方面的局限性利用圖像打破，形成對(duì)乘法分配律的整體認(rèn)知。

（二）圖像助力，明晰算理有效整合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理。在計(jì)算教學(xué)中，算理的理解常常是抽象晦澀的。教師通過(guò)圖像的助力，能夠?qū)⑺憷碇庇^(guān)地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，降低理解的難度，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由形象思維向抽象思維的逐步過(guò)渡。在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“異分母分?jǐn)?shù)加、減法”時(shí)，筆者先引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立嘗試異分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算，在作品展示時(shí)結(jié)合畫(huà)圖的方法引導(dǎo)學(xué)生直觀(guān)感受先通分再計(jì)算的必要性。在異分母分?jǐn)?shù)的計(jì)算學(xué)習(xí)結(jié)束后，小學(xué)階段整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減法計(jì)算規(guī)則都已經(jīng)學(xué)習(xí)完畢。教師應(yīng)該有意識(shí)地帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)加、減法末尾對(duì)齊、小數(shù)加、減法小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，以及異分母分?jǐn)?shù)加、減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的加、減法這三者的本質(zhì)都是相同的計(jì)數(shù)單位相加。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖來(lái)驗(yàn)證這一結(jié)論，使學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中深刻感受每個(gè)數(shù)位上數(shù)字的意義以及算理，將小學(xué)階段的加、減法計(jì)算有效整合，在學(xué)生心中形成統(tǒng)一、清晰的表象與模型。

（三）線(xiàn)段圖示，回歸意義明辨疑點(diǎn)

分?jǐn)?shù)的意義對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，因此，數(shù)學(xué)教材分了三冊(cè)內(nèi)容循序漸進(jìn)地教學(xué)分?jǐn)?shù)的有關(guān)內(nèi)容。但是，在實(shí)際問(wèn)題中，碰到帶單位的分?jǐn)?shù)與不帶單位的分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生心中經(jīng)常疑惑重重，理不清每種情況的單位“1”如何確定，而通過(guò)線(xiàn)段圖畫(huà)出分?jǐn)?shù)的過(guò)程正好可以幫助他們厘清思路。因此，教師要有針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)線(xiàn)段圖的方式解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題，回歸分?jǐn)?shù)意義，幫助學(xué)生明辨分?jǐn)?shù)疑點(diǎn)，厘清具體問(wèn)題中的單位“1”。

如在六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘法》單元有這樣一道題：“某水果批發(fā)市場(chǎng)有3噸水果，如果每天賣(mài)出，那么（ ）天可以賣(mài)完;如果每天賣(mài)噸，那么（ ）天可以全部賣(mài)完?！边@道題是學(xué)生的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)。我們仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的癥結(jié)點(diǎn)在于如何理解與噸分別以什么為單位“1”。為了看得清楚，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)兩段相同長(zhǎng)度的線(xiàn)段來(lái)表示題意。最開(kāi)始，很多學(xué)生將噸畫(huà)成全長(zhǎng)的，但是，筆者稍稍引導(dǎo)后，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)這樣畫(huà)出的噸比1噸都大。學(xué)生在圖形中發(fā)現(xiàn)矛盾，調(diào)整認(rèn)知。在直觀(guān)圖形的助力下，學(xué)生自然對(duì)于單位“1”的認(rèn)識(shí)更加深刻，從圖形中也能夠清楚地看出第一問(wèn)的答案為3天，列式為1÷=3（天），第二問(wèn)中有9個(gè)噸，列式為3÷=9（天），因此答案為9天。通過(guò)這樣的圖形辨析，學(xué)生對(duì)不同情況下的單位“1”更加清晰了。

三、抽絲剝繭，聚焦題組巧建模

在高年級(jí)階段，數(shù)學(xué)知識(shí)由二維向三維過(guò)渡，這對(duì)學(xué)生的空間思維是極大的挑戰(zhàn)。圖像表征能夠使抽象的題目直觀(guān)化，因此，教師要結(jié)合題組引導(dǎo)學(xué)生從圖形中排除無(wú)關(guān)因素，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)規(guī)律，進(jìn)而建立模型，提升學(xué)生的抽象思維。

（一）橫向?qū)Ρ?，方法多樣促?yōu)化

在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的體積之后，學(xué)生要解決這樣一道題：“一種禮盒長(zhǎng)4厘米、寬3厘米、高2厘米，樂(lè)樂(lè)想把2個(gè)相同的禮盒包裝在一起，怎么包裝最省包裝紙？”教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖之后發(fā)現(xiàn)有三種不同的拼法，并讓學(xué)生自己在練習(xí)紙上進(jìn)行計(jì)算。收集學(xué)生作品時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一共出現(xiàn)三種計(jì)算思路：第一種是先計(jì)算兩個(gè)圖形的表面積之和，再減去合并之后減少的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積;第二種思路是直接地將露在外面的10個(gè)面的面積相加;第三種思路是將合并之后的兩個(gè)長(zhǎng)方體直接想象為一個(gè)大長(zhǎng)方體，再用新的長(zhǎng)、寬、高進(jìn)行計(jì)算。教師引導(dǎo)學(xué)生介紹作品之后，進(jìn)行對(duì)比優(yōu)化。首先，學(xué)生發(fā)現(xiàn)最大的面合并在一起后是表面積最小的情形;其次，大部分學(xué)生認(rèn)為第三種方法在計(jì)算時(shí)較為簡(jiǎn)單。教師繼續(xù)出示拓展題：“劉老師買(mǎi)了4本同樣大小的筆記本，每本筆記本長(zhǎng)20厘米，寬15厘米，厚3厘米，如何打包最節(jié)省包裝紙，請(qǐng)你設(shè)計(jì)最佳方案并計(jì)算需要多少平方厘米的包裝紙？”讓學(xué)生自己選擇方法進(jìn)行計(jì)算。大部分學(xué)生直接采用剛才優(yōu)化的第三種方法，即新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬不變，高變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，表面積最小，列式為（20×15+15×12+20×12）×2=1440（平方厘米）。

學(xué)生給這類(lèi)題目取名“包裝紙”題，并歸納出要使表面積最小，就要將最大的兩個(gè)面進(jìn)行合并，并把合并之后的圖形想象成一個(gè)更大的長(zhǎng)方體計(jì)算其表面積。由此可見(jiàn)，圖像表征能夠?qū)⒊橄箢}目直觀(guān)化，同時(shí)通過(guò)多種方法的對(duì)比優(yōu)化，幫助學(xué)生建立解題模型，促進(jìn)其思維的提升。

（二）縱向聯(lián)通，溫故釋新建結(jié)構(gòu)

基于小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)以及學(xué)習(xí)能力的不斷遞進(jìn)，數(shù)學(xué)教材在編排時(shí)以單元為單位，將同一系統(tǒng)的知識(shí)安排在不同的年級(jí)，呈螺旋上升結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在知識(shí)的掌握上達(dá)到最優(yōu)化。但是，這樣的教學(xué)難免會(huì)有碎片化、淺層次化的特點(diǎn)。教師作為教學(xué)的組織者，應(yīng)該從整個(gè)小學(xué)階段甚至更高層次來(lái)看待所學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)既能“溫故”釋新、新舊聯(lián)通，又能拓展延伸、觸類(lèi)旁通，將散落的知識(shí)碎片在頭腦中拼制成知識(shí)地圖，建構(gòu)更高層次的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

如在六年級(jí)學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體的體積”時(shí)，教師設(shè)計(jì)這樣一道題：“長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米，高是3厘米，如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)增加2厘米，長(zhǎng)方體的體積增加多少立方厘米？”在教學(xué)時(shí)，教師首先要教學(xué)長(zhǎng)方體立體圖的畫(huà)法。學(xué)生在畫(huà)出圖形后，發(fā)現(xiàn)新增加的部分是一個(gè)長(zhǎng)為4厘米、寬為2厘米、高為3厘米的小長(zhǎng)方體（見(jiàn)圖2），并且列出4×2×3=24（立方厘米）的算式，在此基礎(chǔ)上稍微回顧一下，便可發(fā)現(xiàn)，其實(shí)在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的面積”時(shí)曾做過(guò)類(lèi)似的題目：“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米，如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)增加2厘米，長(zhǎng)方形的面積增加多少平方厘米？”（見(jiàn)圖3）教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，圖2的立體圖形與圖3的平面圖形有何聯(lián)系。學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)圖3增加的面積正好是圖2增加長(zhǎng)方體的底面積，因此，可以直接運(yùn)用“底面積乘高”的方法進(jìn)行計(jì)算，列式為8×3=24（立方厘米）。

在學(xué)習(xí)圓柱的知識(shí)之后，類(lèi)似的題目又出現(xiàn)了：“圓柱體的底面半徑為3厘米，高為4厘米，如果圓柱體的高增加2厘米，圓柱體的體積增加多少立方厘米？”（見(jiàn)圖4）教師可以將長(zhǎng)方體的知識(shí)再次進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而歸納出長(zhǎng)方體與圓柱體積的增加均可以用“增加的底面積×高”進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)知識(shí)的前后對(duì)比，學(xué)生一方面對(duì)于由二維到三維的過(guò)渡更加自然，同時(shí)，積極將長(zhǎng)方體與圓柱進(jìn)行聯(lián)系，建構(gòu)“增加的體積=增加的底面積×高”的模型;另一方面，學(xué)生意識(shí)到復(fù)習(xí)以前的知識(shí)能夠?qū)鉀Q新的問(wèn)題有所幫助，產(chǎn)生“瞻前顧后”的學(xué)習(xí)意識(shí)。

圖像表征作為一種有效的學(xué)習(xí)方式，豐富了數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，加深了學(xué)生對(duì)于概念的多維度、深層次理解，聯(lián)通了數(shù)與形的世界，顯現(xiàn)思維誤區(qū)，辨明計(jì)算疑竇，極大地增強(qiáng)了學(xué)生的空間觀(guān)念，通過(guò)方法的多樣化與題組模塊化，提升了學(xué)生的思維能力。

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