【摘 要】荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾所提出的數(shù)學(xué)教育特征可概括為“現(xiàn)實(shí)化”“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”。他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育必須面向社會(huì)現(xiàn)實(shí)，聯(lián)系生活實(shí)際;用數(shù)學(xué)公式表達(dá)關(guān)系，數(shù)學(xué)語言描述問題;鼓勵(lì)以學(xué)生為主體，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)，共同探索結(jié)果。本文以“集合”的教學(xué)為例，運(yùn)用弗賴登塔爾教育理論進(jìn)行教學(xué)，以期為廣大教師提供參考。

【關(guān)鍵詞】弗賴登塔爾;現(xiàn)實(shí)化;數(shù)學(xué)化;再創(chuàng)造;集合

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）28-0242-03

我國基礎(chǔ)教育目前仍存在一些不足，如部分教師在授課時(shí)依然只是單方面的對學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的灌輸，而并未讓學(xué)生真正感受知識(shí)生成的過程，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)死記硬背，對知識(shí)不能熟練掌握與運(yùn)用。美國教育家杜威提出的“做中學(xué)”，同樣認(rèn)為學(xué)生只有在不斷改造和重新組織中才能夠更好地掌握知識(shí)。新課標(biāo)也提出將雙基（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能）改為四基（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想），增加基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想，就是要更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1? ?弗賴登塔爾教育理論概述

弗賴登塔爾將數(shù)學(xué)教育劃分為五個(gè)特征：情景問題是數(shù)學(xué)的平臺(tái)，數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，學(xué)生通過自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分，互動(dòng)是主要的學(xué)習(xí)方式，學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式[1]。張奠宙先生再次將五個(gè)特征概括為“現(xiàn)實(shí)化”“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”[2]。

現(xiàn)實(shí)化是指數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而且每個(gè)學(xué)生有不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。教師要尊重學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，即學(xué)生在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)規(guī)律各方面的認(rèn)識(shí)。從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題。

數(shù)學(xué)化是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程，是從生活到符號(hào)再到概念的轉(zhuǎn)化。

再創(chuàng)造強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)生成的過程[3]，教師只作為引導(dǎo)者，不能強(qiáng)行將知識(shí)灌輸給學(xué)生。

2? ?弗賴登塔爾教育理論在“集合”教學(xué)中的應(yīng)用

2.1? 集合的概念引入——現(xiàn)實(shí)化

弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)建立在現(xiàn)實(shí)生活之上。在集合概念教學(xué)引入時(shí)，教師可以體育課老師讓學(xué)生集合為例子，并且讓學(xué)生思考：“當(dāng)體育老師讓學(xué)生集合的時(shí)候，大家第一反應(yīng)是什么？”學(xué)生首先想到的是體育老師讓大家聚攏到一起，將全班學(xué)生進(jìn)行集合。教師再接著學(xué)生的回答繼續(xù)引導(dǎo)：“其實(shí)體育課上老師讓學(xué)生集合和數(shù)學(xué)課所學(xué)習(xí)的集合要求是一樣的，就是把研究對象（班級(jí)全體學(xué)生）組合在一起稱為一個(gè)集合。”

教師給出集合的概念：一般的，一定范圍內(nèi)，某些確定的、不同的對象全體構(gòu)成一個(gè)集合。而集合中每一個(gè)研究對象稱為元素（體育課上每一個(gè)學(xué)生就是元素）。一般用{}或者大寫字母A，B，C……表示集合，用小寫字母a，b，c……表示元素。

給出概念后，再反過來檢查體育課進(jìn)行的集合能否稱為一個(gè)集合？一定范圍內(nèi)（整個(gè)班級(jí)），某些確定的、不同的對象（全體學(xué)生，并且每個(gè)學(xué)生都是獨(dú)立的個(gè)體），所構(gòu)成的集合。那么，顯然體育課上所進(jìn)行的集合符合數(shù)學(xué)中的集合概念。這樣由學(xué)生生活實(shí)際所經(jīng)歷過的事件舉出的實(shí)例更能夠讓學(xué)生由已知產(chǎn)生聯(lián)想，激發(fā)其求知欲。

接著，教師又拋出問題：“是否能夠?qū)⑷ＥM合成集合？”由此引出集合中元素的確定性。教師再提出問題：“那么由全校女生組成的集合中有多少元素？是否能夠數(shù)出來呢？”由此給出集合中元素的互異性。教師最后給出問題：“在全校女生進(jìn)集合過程中，有順序嗎？”引出集合中元素的無序性。

在給出集合三要素后，學(xué)生自行討論五分鐘，舉例出生活中的集合實(shí)例。如{影院二號(hào)觀影廳內(nèi)所有觀眾}，{全年級(jí)所有個(gè)子高的男同學(xué)}，{全校所有教師}。但全年級(jí)所有個(gè)子高的男同學(xué)不能構(gòu)成一個(gè)集合，教師要準(zhǔn)確地向?qū)W生解釋清楚（不符合確定性，滿足什么條件才能作為個(gè)子高的標(biāo)準(zhǔn)？）。

在集合概念引入時(shí)，不能只照著教材讀，而要貼近生活，從學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)出便于學(xué)生理解的生活情境，讓學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)來源于生活并且應(yīng)用于生活。

2.2? 集合之間的關(guān)系及其運(yùn)算——數(shù)學(xué)化

這一環(huán)節(jié)是集合章節(jié)中的重難點(diǎn)，學(xué)生在了解集合概念之后，常常將符號(hào)混淆，如元素與集合之間用或表示，集合與集合之間用或表示。加上補(bǔ)集、并集、交集、全集的引入，學(xué)生頭腦中沒有清晰的思路，學(xué)習(xí)受阻。下面給出三道例題，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題。

（1）已知集合A={x|x2+x?6=0}，B={x|ax+1=0}，且BA，求a的值。

解：由已知，得A={?3，2}，若B是A的真子集，則B=

，或{?3}，{2}。

若B=，方程ax+1=0無解，得a=0。

若B={?3}，方程ax+1=0，得x=?3，a=。

若B={2}，方程ax+1=0，得x=2，a=。

綜上可得，a=0或a=，a=。

小結(jié)：在已知集合A的情況下，第一步可將其求出，根據(jù)B是A的真子集，可知B集合有三種情況，分別為空集、{?3}、{2}，再依次求出a的取值。

重難點(diǎn)：①了解真子集的定義，如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集。如果A包含于B，且A不等于B，就說明集合A是集合B的真子集（如圖1）。②明白空集的含義，清楚空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。

數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸，將文字、符號(hào)、圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到所需要的條件。

（2）設(shè)全集U={xN+|x≤8}，若A∩（CuB）={1，8}，（CuA）∩B={2，6}∩（CuB）={4，7}，求集合A，B。

解：由題可畫出圖2。

得出A={1，8，3，5}，B={2，6，3，5}。

小結(jié)：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，由A∩（CuB）={1，8}可知，在A中且不在B中的元素有1，8;由（CuB）∩B={2，6}，可知不在A中且在B中的元素有2，6;由（CUA）∩（CUB）={4，7}，可知不在A中且不在B中的元素有4，7;則元素3，5一定在A∩B中。根據(jù)推導(dǎo)畫出圖像，一目了然。

重難點(diǎn)：了解補(bǔ)集、交集、全集的概念，并能夠靈活運(yùn)用。

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)學(xué)語言與圖像相結(jié)合，使其能夠在一定條件下相互轉(zhuǎn)化[4]。

（3）已知全集U=R，非空集合

命題p：xA，命題q：xB，若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：∵ a2+2a>a，B={x|a

①當(dāng)3a+1>2，即a>時(shí)，A={x|2

∵ p是q的充分條件，

②當(dāng)3a+1=2時(shí)，即a<，A= ，符合題意。

③當(dāng)3a+1<2時(shí)，即a<，A={x|3a+1

由 AB可得，

上可得，a的取值范圍是。

小結(jié)：解題時(shí)需仔細(xì)讀題，理解充分與必要條件的區(qū)別，計(jì)算時(shí)要細(xì)心。

重難點(diǎn)：根據(jù)q是p的必要條件，推出A含于B，再分類討論情況即可。

數(shù)學(xué)思想：分類討論思想，各個(gè)擊破，做到不重

2.3? 以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)——再創(chuàng)造

弗賴登塔爾認(rèn)為反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要一環(huán)，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心與動(dòng)力[5]。這一過程通常體現(xiàn)在課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生以（數(shù)學(xué)）活動(dòng)促思維，通過觀察問題，數(shù)學(xué)化思考，探索規(guī)律，得出結(jié)論，發(fā)掘本質(zhì)，從而經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用過程，并通過該過程讓學(xué)生的思維形成創(chuàng)新性的突破、重組和再創(chuàng)造，建構(gòu)起新的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。下面給出兩道例題，進(jìn)行詳細(xì)講解。

（1）下面哪些屬于集合，哪些不屬于集合？為什么？請同學(xué)們一起探討。

①所有大開本的書。②某市個(gè)子高的男性。③某校高一3班全體學(xué)生。

設(shè)計(jì)思路：學(xué)生分組討論，依據(jù)集合三要素，明確集合與非集合的區(qū)別。

追問：若將②中的“個(gè)子高”換為“170以上”，是否能看作一個(gè)集合？

總結(jié)：集合三要素，即無序性、確定性、互異性，是指集合中元素之間的關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)集合中元素滿足三要素時(shí)，該集合才能被稱為集合。

（2）請同學(xué)們按照學(xué)習(xí)小組，小組成員之間互相出題，要求體現(xiàn)出集合中交集與并集的性質(zhì)。

設(shè)計(jì)思路：在了解集合中交集、并集、全集、補(bǔ)集的概念之后，給予學(xué)生探討的時(shí)間，利用學(xué)習(xí)小組，讓成員之間進(jìn)行探討，表達(dá)自己的見解。討論結(jié)束之后教師點(diǎn)評(píng)，鞏固新知。

本文將弗賴登塔爾教育理論與實(shí)際教學(xué)相結(jié)合，目的在于通過這種教學(xué)方式，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。教師在課堂上靈活運(yùn)用“現(xiàn)實(shí)化”“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”教學(xué)理念，既能豐富學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，又能夠提高學(xué)生的創(chuàng)新能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，最終可提升教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]張奠宙.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].南昌：江西教育出版社，1991.

[3]弗賴登塔爾，陳昌平.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1995（2）.

[4]李萍.尋找數(shù)學(xué)與生活的交集[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（4）.

[5]陳思曼.弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想探析[J].廣西科技師報(bào)，2020（2）.

【作者簡介】

梁皓森（1996～），男，漢族，四川綿陽人，喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院學(xué)科數(shù)學(xué)專業(yè)2020級(jí)碩士研究生。