李柱俊

【摘 要】在線概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)點(diǎn)的感知是單一的、不完整的，他們只是將線段“兩個(gè)頭”抽象為端點(diǎn)，不曾感知線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的。這種認(rèn)知的局限會(huì)給學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)射線和直線帶來諸多困惑。雖然教材沒有編排對(duì)點(diǎn)的專門學(xué)習(xí)，但作為圖形概念抽象的產(chǎn)物，點(diǎn)的學(xué)習(xí)是不可回避的。學(xué)生只有明確了端點(diǎn)、線上的點(diǎn)的含義，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)射線、直線的真正理解。

【關(guān)鍵詞】端點(diǎn) 線上的點(diǎn) 線概念 小學(xué)數(shù)學(xué)

一、質(zhì)疑：直線是怎么來的

射線和直線因生活中本無原型，作為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于小學(xué)生來說，無疑在認(rèn)識(shí)上是有難度的，這部分內(nèi)容的教學(xué)對(duì)于教師來說也不失為一大挑戰(zhàn)。筆者近日聆聽了“射線、直線和角”一課，對(duì)教學(xué)片段中學(xué)生的質(zhì)疑產(chǎn)生了一點(diǎn)思考。

教學(xué)時(shí)，教師借助激光燈展開教學(xué)，把激光燈照射到墻面上，會(huì)在墻面上留下一個(gè)光點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到從激光燈的發(fā)光點(diǎn)到墻面上留下的光點(diǎn)，這中間的光線可以看成是線段，并在此基礎(chǔ)上引出射線、直線。以下是由射線引出直線教學(xué)環(huán)節(jié)中的師生對(duì)話：

師：瞧，這是一條射線，仔細(xì)觀察（動(dòng)態(tài)演示），這條射線有什么變化嗎？這還是射線嗎？（如圖1）

生：不是，沒有端點(diǎn)。

師：不符合射線的特點(diǎn)。像這樣的線，數(shù)學(xué)上把它稱為直線，通過你的觀察，你能說說直線又有怎樣的特征嗎？

生1：直的，無限長，沒有端點(diǎn)。

生2：我有個(gè)疑問，沒有端點(diǎn)的話，直線是怎么來的？

師：針對(duì)這個(gè)問題，誰來談?wù)勀愕目捶ǎ?/p>

生3：我覺得直線應(yīng)該是由一點(diǎn)出發(fā)，向兩端無限延伸。

師：你們同意他的說法嗎？

生（齊）：同意。

（聽得出這里大多學(xué)生是被同意）

師：你們可以想象一下直線的形成過程。

……

二、反思：端點(diǎn)引發(fā)的誤解

我們常聽到這樣的口號(hào)——讀懂學(xué)生，讀懂教材，讀懂課程。為什么把“讀懂學(xué)生”放在“讀懂教材”和“讀懂課程”之前？說明“讀懂學(xué)生”是基礎(chǔ)，是關(guān)鍵。只有讀懂學(xué)生，才能夠了解學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，才可能生成動(dòng)態(tài)、生動(dòng)的課堂?；趯?duì)這一觀點(diǎn)的認(rèn)同，對(duì)上述案例中出現(xiàn)的學(xué)生質(zhì)疑，我們有必要追因索果，真正實(shí)現(xiàn)由“讀到”走向“讀懂”。

1.學(xué)習(xí)材料對(duì)概念的認(rèn)知產(chǎn)生負(fù)遷移

教師在教學(xué)射線時(shí)，利用激光燈這一素材，引導(dǎo)學(xué)生想象在能源充足且無遮擋的情況下，由激光燈射出的直的光線，可以看作是一條射線，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)上的射線。然后，通過把數(shù)學(xué)化的射線另一端無限延長，就得到了一條直線。學(xué)生在沒有脫離射線的具體實(shí)例的情況下，很容易產(chǎn)生沒有激光燈的發(fā)光點(diǎn)，如何會(huì)產(chǎn)生出一條直線的光線的困惑。生2所說的“端點(diǎn)”有可能指的就是激光燈的發(fā)光點(diǎn)。

2.對(duì)端點(diǎn)和線上的點(diǎn)的含義理解不清

“沒有端點(diǎn)的話，直線是怎么來的”，乍看起來，生2的質(zhì)疑和教師的問題是不同的指向。教師的問題指向的是直線的構(gòu)建要素，而學(xué)生的質(zhì)疑指向的是直線是如何得到的，一個(gè)指向“是什么”，一個(gè)指向“為什么”。但聯(lián)系生3的回答：“直線應(yīng)該是由一點(diǎn)出發(fā)，向兩端無限延伸?！惫P者認(rèn)為，生2的疑問也暴露出學(xué)生對(duì)端點(diǎn)和線上的點(diǎn)含義理解上的不清。為何端點(diǎn)會(huì)惹出這個(gè)“禍”，我們有必要先來弄清何謂“端點(diǎn)”？端，從字面上來理解指的是（東西的）頭。對(duì)于“端點(diǎn)”我們可以這樣解釋：“空間中一點(diǎn)沿著一定方向和它相反方向運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是直線。直線上任意兩點(diǎn)間的部分叫作線段，這兩點(diǎn)叫作線段的端點(diǎn)。”在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，第一次認(rèn)識(shí)端點(diǎn)，就是在認(rèn)識(shí)線段的時(shí)候。用手捏住一條線并拉直，兩手間的一段可以看成線段，捏住的兩頭畫下來可以用點(diǎn)表示，這兩個(gè)點(diǎn)在線段中叫作端點(diǎn)。教學(xué)時(shí)，教師讓學(xué)生指認(rèn)捏住的線段時(shí)，也是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“從一頭開始到另一頭結(jié)束”的句式來描述的，那么出發(fā)的地方和結(jié)束的地方就是端點(diǎn)，端點(diǎn)表示起點(diǎn)和終點(diǎn)。端點(diǎn)是學(xué)生認(rèn)識(shí)的第一個(gè)點(diǎn)。學(xué)生在初次學(xué)習(xí)端點(diǎn)時(shí)也只是將“兩個(gè)頭”抽象為兩個(gè)端點(diǎn)，并沒有展開點(diǎn)動(dòng)成線的學(xué)習(xí)，學(xué)生也不曾感知線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的。也就是說，學(xué)生對(duì)點(diǎn)的感知是單一的、不完整的，易形成認(rèn)知的局限——線段上有兩個(gè)點(diǎn)，叫作端點(diǎn)，其他地方是沒有點(diǎn)的。生2的質(zhì)疑也證實(shí)了他們對(duì)點(diǎn)認(rèn)識(shí)的局限。當(dāng)然，不容置疑的是學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)也是有水平差異的，生3的回答就證實(shí)了這一點(diǎn)。所以說，表面上看是“端點(diǎn)”惹的“禍”，實(shí)則是學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)不夠造成的。學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)沒有形成足夠的經(jīng)驗(yàn)，拉長了后面學(xué)習(xí)的跨度，增加了后面學(xué)習(xí)的難度。由于多數(shù)教材中沒有編排對(duì)點(diǎn)的專門學(xué)習(xí)，相對(duì)于線，學(xué)生很少有機(jī)會(huì)接觸到點(diǎn)。那么在教學(xué)中，教師該在何時(shí)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)？又應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)點(diǎn)達(dá)成何種程度的認(rèn)識(shí)呢？

三、教學(xué)建議：實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)名詞的教學(xué)價(jià)值

教師首先要弄清楚學(xué)生對(duì)點(diǎn)的感知和經(jīng)驗(yàn)的積累應(yīng)該在何時(shí)發(fā)生？逆向倒推學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，筆者發(fā)現(xiàn)在二年級(jí)初步認(rèn)識(shí)線段時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“拉緊的一段線，可以看作一條線段”，這是借助生活原型加以描述，屬于靜態(tài)的概念表現(xiàn)形式，這時(shí)的概念呈現(xiàn)形式不便于認(rèn)識(shí)點(diǎn)動(dòng)成線。而到四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“射線和直線”時(shí)，在認(rèn)識(shí)射線之前，首先是回顧對(duì)線段的認(rèn)識(shí)，此時(shí)對(duì)線段的認(rèn)識(shí)應(yīng)該比二年級(jí)時(shí)要更深一層，材料的呈現(xiàn)應(yīng)該加強(qiáng)動(dòng)態(tài)化處理：將線段置于動(dòng)態(tài)的概念過程中，賦予端點(diǎn)“起點(diǎn)”“終點(diǎn)”的含義。這里對(duì)線段的認(rèn)識(shí)從靜態(tài)可視的材料走向動(dòng)態(tài)想象的材料，豐富了對(duì)線段概念的內(nèi)容認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)了對(duì)線段概念分階段教學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)階。這一階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生感知到線段上不僅有端點(diǎn)還有許多其他的點(diǎn)，而端點(diǎn)表示的是開始和結(jié)束的位置，然后借由線段發(fā)生、推理出射線。在射線的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)是最適切的時(shí)機(jī)，也是認(rèn)識(shí)最豐富的時(shí)候。在這一階段對(duì)于點(diǎn)的認(rèn)識(shí)應(yīng)該要形成三點(diǎn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：（1）線上有許多點(diǎn);（2）端點(diǎn)、線上的點(diǎn)含義不同;（3）線段中的一個(gè)端點(diǎn)延伸后變換為射線上的點(diǎn)。在圖2中，左邊的點(diǎn)表示起點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示經(jīng)過的地方，這個(gè)時(shí)候原本線段右邊的點(diǎn)已經(jīng)演變成射線上的點(diǎn)了，所以畫射線的時(shí)候也無須畫出右邊的這一點(diǎn)。應(yīng)該說，學(xué)生只有明確了端點(diǎn)、射線上的點(diǎn)的含義，才能真正理解射線的本質(zhì)。學(xué)生對(duì)射線的本質(zhì)真正理解之后，自然也不會(huì)出現(xiàn)教學(xué)片段中生2的那番質(zhì)疑。

對(duì)于直線的教學(xué)，上述案例是以射線為落實(shí)直線發(fā)生式定義、特征學(xué)習(xí)的著力點(diǎn)。那么，直線的教學(xué)以怎樣的打開方式更合適呢？我們來看蘇教版教材的教師用書對(duì)直線給出的描述性定義：“把線段的兩端都無限延長，就得到一條直線。當(dāng)線段的兩個(gè)端點(diǎn)之間的間距小到極限時(shí)，最終就會(huì)形成一個(gè)點(diǎn)?！边@樣的描述與學(xué)生3的認(rèn)識(shí)（直線應(yīng)該是由一點(diǎn)出發(fā)，像兩端無限延伸）具有一致性。所以，筆者以為對(duì)于直線的教學(xué)，仍應(yīng)以線段為著力點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷直線的發(fā)生、抽象推理過程。這不僅符合學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，也符合學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，更有利于后面對(duì)直線與線段、射線的內(nèi)部聯(lián)系的加強(qiáng)，有效關(guān)聯(lián)三種線之間的邏輯關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)線概念體系的學(xué)習(xí)進(jìn)階。

注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年立項(xiàng)課題“深度學(xué)習(xí)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)課時(shí)學(xué)習(xí)歷程案教學(xué)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：D/2020/02/71）和南京市教育科學(xué)規(guī)劃第十一期“個(gè)人課題”“教學(xué)目標(biāo)引領(lǐng)下小學(xué)數(shù)學(xué)‘結(jié)構(gòu)式課堂提問的實(shí)踐研究”（市規(guī)劃個(gè)十一字第Gd5426號(hào)）的研究成果。