摘要：立足學生一道“找規(guī)律”問題的正確解答，展開深層次的對話，并運用SOLO分類理論分析對話中的學習成果，以了解學生的思維水平發(fā)展情況。學生已有經(jīng)驗不僅包括已有知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，有時還包括半生活化半數(shù)學化的“混合經(jīng)驗”，要準確分析、利用，以促進學生思維發(fā)展;不僅要關注學生解答結(jié)果的正確與否，更應利用學生解答過程中生成的資源，通過合理的引導促進學生思維水平的進階;可對學生學習材料再建構，適當為學生設計、提供一些階梯式、開放性、便于思維外化的學習材料。

關鍵詞：思維過程;SOLO分類理論;已有經(jīng)驗;生成資源;學材再建構

一次彈性離校值班，班上的一個男生小湯將完成的練習冊拿來讓我批改。我一邊批改一邊和他交流：“作業(yè)做得真快！有沒有遇到不會的問題??？”小湯得意地說道：“沒有，都會做！”一個個“勾”也表明了解答的正確，印證了小湯的得意?！肮础蓖暌坏浪季S含量較高的“找規(guī)律”問題（如圖1所示）時，我停了下來：解答這道題，小湯經(jīng)歷了怎樣的思維過程呢？

一、關于“正確解答”的深入對話：把脈隱藏的思維過程

于是，關于小湯這道題目的解答過程，我們有了接下來的對話（為了更好地對應后續(xù)的研究分析，這里將對話分為5段，分別為“對話1”到“對話5”）：

【對話1】

“小湯，家庭作業(yè)全都做對了，真厲害！不過，對這道題，我有點好奇，這么復雜的算式，你怎么做對的?。俊毙嗽斠环?，說道：“你看，這里上面的算式是兩個18相乘，下面的17比18少1，19比18多1;第二組也是這樣，上面的算式是兩個25相乘，下面的24比25少1，26比25多1;第三組也是這樣。而且你看，第一個框里都是十幾乘十幾，第二個框是二十幾乘二十幾，第三個框是三十幾乘三十幾，這個框應該是四十幾乘四十幾。我就像這樣，上面寫45×45，下面就寫44×46，然后列豎式計算兩個算式就行了?！背龊跻饬?！我本以為44×46的得數(shù)是按規(guī)律將2025減1得到的，沒想到小湯只找了算式中的規(guī)律，兩個得數(shù)都是列豎式計算得來的。

【對話2】

定了下神，我繼續(xù)詢問：“說得挺好！我都聽懂了。你能結(jié)合題目要求說說解決這道題的關鍵是什么嗎？”“題目要求比較下面三組算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后照樣子寫一寫。我覺得關鍵就是比較和找規(guī)律?！蔽易穯柕溃骸澳隳茉俦纫槐?，把所有找到的規(guī)律說給我聽聽嗎？”小湯再次觀察算式，思考片刻后說道：“方框中上面的算式都是兩個相同的數(shù)相乘，下面的算式都是前面一個數(shù)比上面的乘數(shù)少1，后面一個數(shù)比上面的乘數(shù)多1。嗯……其實得數(shù)也有規(guī)律，下面的得數(shù)都比上面的得數(shù)少1。”“你看，再深入觀察一番，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律更多了吧？如果現(xiàn)在讓你做這道題，你會怎么做？”“我會先寫45×45，然后列豎式算出2025。下面的算式和得數(shù)都用規(guī)律去寫，算式還是44×46，得數(shù)只要把上面的2025減1，算出為2024?！?/p>

【對話3】

規(guī)律基本概括出來了，往下再問問看！“除了這組算式，你還能再寫一組嗎？”小湯得意地說：“當然行！比如46×46等于——得列豎式算一下，然后是45×47，得數(shù)將剛才的得數(shù)減1;還能寫55×55，得數(shù)也要列豎式算，然后是54×56，結(jié)果也是將剛才的得數(shù)減1?！薄跋襁@樣的例子能舉完嗎？”“太多了，舉不完！”小湯的回答激起了我的好奇心，我想看看三年級的學生還能走多遠。于是，我笑著問道：“既然這樣的例子舉不完，那我們好好想想，能不能寫一組算式，就概括出所有這樣的例子呢？”小湯皺著眉，一邊想一邊搖頭，之后又突然道：“我想到了！先寫10000×10000，然后將10000減1和10000加1乘起來?！蔽倚χ鴮λf：“很有創(chuàng)意！這組式子把所有例子都概括進去了嗎？”小湯想了一下，自言自語道：“好像不對?！毕肓艘粫汉?，沮喪地對我說：“我不會了?！笨粗麑Ｗ⑺伎嫉倪^程，我欣慰地摸了摸他的頭，說道：“想不出來沒關系，這個問題留著有空的時候慢慢想，什么時候有想法了，隨時跟我說說?！?/p>

【對話4】

小湯回到座位上，手中還是拿著那本練習冊，眉頭緊鎖。好一會兒，他又慢慢走到我跟前，說道：“老師，我想了種方法，但不知道對不對。上面的算式是a×a=b，下面的算式是c×d=e?！甭牭竭@里，我很驚訝：讓他再想想，并沒有指望他用字母式去概括，而是覺得如果他在想的過程中能進一步感受算式組中的規(guī)律，用語言等方式表達出大概意思，也就不錯了。用字母表示數(shù)是五年級的教學內(nèi)容，據(jù)我所知，小湯沒有參加過數(shù)學類課外拓展班，我在班上也從沒教過他們類似的方法，那么，他怎么想到的？于是，我驚訝地問道：“太了不起了！你是怎么想到用字母概括規(guī)律的？誰教你的？”“沒有誰教我，但我好像在哪兒看到過?！蓖高^他的口氣，我能想象他內(nèi)心的得意?！皠偛拍阌?0000×10000概括，現(xiàn)在用a×a概括，哪個更好？”小湯繼續(xù)得意地說：“a×a好，因為10000雖然很大，但還是不能概括所有的算式，a就可以代表所有的數(shù)。”

【對話5】

既然已經(jīng)超出預期，那就繼續(xù)往下試探?！盀槭裁瓷厦娴乃闶接脙蓚€a相乘得到b呢？”“因為必須是兩個相同的數(shù)相乘，a要乘a，但得數(shù)不是a了，就用b?！薄案爬ǖ煤馨?！下面的算式用c×d=e概括我也懂了，相乘的數(shù)和得數(shù)都不相同，所以用不同的字母來表示。那c、d、e是不是隨便表示任何數(shù)呢？”“不行！前面的數(shù)要比上面的少1，后面的數(shù)要比上面的多1……不對！我想一下?！苯又且魂嚁?shù)字與字母混雜的自言自語聲。片刻后，小湯說道：“可以改進一下，上面算式還是a乘a等于b，下面算式是a減1乘a加1等于e。不對，等于b-1。”

二、關于對話的分析：探究思維層次的變化

上述關于“正確解答”的對話發(fā)生后，我立刻將其記了下來，并嘗試運用彼格斯的SOLO分類理論（該理論認為，雖然一個人的認知水平不可測，但其應對及解決問題時所展現(xiàn)出的思維層次卻是可以探知的;面對及解決問題時，學習者的反應表現(xiàn)出一種由簡單到復雜的思維層次變化;思維層次變化由淺入深包括前結(jié)構水平、單點結(jié)構水平、多點結(jié)構水平、關聯(lián)結(jié)構水平、拓展抽象結(jié)構水平五類）分析對話，探究小湯的思維層次變化情況。

“對話1”中，算式規(guī)律與得數(shù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是分離的：先縱向?qū)⑶叭M算式中乘數(shù)的變化進行關聯(lián)，再點對點地按規(guī)律寫出算式中的各個乘數(shù)，但卻沒能將前三組中兩個算式的得數(shù)建立關聯(lián)，因此所寫出的兩個算式是孤立的，得數(shù)是橫向地通過計算得出的。學習成果的結(jié)構體現(xiàn)出選用素材單一、工作記憶容量少等特點，尤其是兩個算式得數(shù)的獲得，在運用最少數(shù)據(jù)的基礎上迅速收斂，屬于單點結(jié)構水平的回答。

“對話2”“對話3”中，答案是在與前三組等式建立縱向關聯(lián)的基礎上獲得的，運用的數(shù)據(jù)開始增多，收斂開始放緩。但所舉出的各個例子，包括試圖對規(guī)律進行概括的“10000×10000”，反映出小湯試圖通過提高數(shù)據(jù)值來表示個例數(shù)量的增多，以達到概括的目的，而這樣的等式組依舊只是個例，不具備一般性。根據(jù)幾個有限的、孤立的等式組試圖進行“概括”，雖然想達到“一致”，但收斂還是相對較快，屬于多點結(jié)構水平的回答。

“對話4”“對話5”中，我的引導已經(jīng)不以具體等式的得出為目標，在一定程度上讓小湯延緩收斂。小湯回答中字母的使用，表現(xiàn)出在一定情境范圍內(nèi)概括性在逐步增強，雖然并沒有經(jīng)過嚴格的推理來證明回答的一致性，也即“若a2=b，則（a-1）（a+1）=a2-12=b-1”，但三年級學生在當下的情境中，最終的回答已將問題線索、相關素材、相互關系進行了關聯(lián)，實現(xiàn)了有效的概括，形成了初步的數(shù)學模型，屬于關聯(lián)結(jié)構水平的回答。

經(jīng)由分析可見，隨著對話的進行，小湯的回答表現(xiàn)出收斂在逐步放緩，對素材的關注和運用在廣度上不斷擴展，素材間的關聯(lián)逐步形成，一致性在增強，思維水平也在逐步提高，符號意識被觸發(fā)，并最終實現(xiàn)了模型的初步符號化建構。

三、關于發(fā)展學生思維的思考：如何促進思維進階

我們一直關注學生解決問題過程中“錯誤資源”的利用，借助“錯題”分析、探究錯誤根源，引導學生在再次解決問題的過程中發(fā)展思維、積累經(jīng)驗。而面對學生的正確解答，能做、要做的是否僅僅“一勾而過”？上述對“正確資源”的開發(fā)和使用，引發(fā)了我對發(fā)展學生思維的深入思考。

（一）對學生已有經(jīng)驗再認識

教師教學應該建立在學生已有經(jīng)驗的基礎上。學生已有經(jīng)驗不僅包括已有知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，有時還包括半生活化半數(shù)學化的“混合經(jīng)驗”。“對話4”中突然出現(xiàn)的用字母表示數(shù)就來自“混合經(jīng)驗”。這些字母是在生活中積累起的、零散的、未經(jīng)數(shù)學化加工的材料，但這些半生活化半數(shù)學化的材料會作為學生已有經(jīng)驗的一部分，不自覺地參與到學生建構知識體系的過程中。生活中存在著大量信息，尤其在網(wǎng)絡環(huán)境下，而兒童與成人在信息獲得及加工方式等方面有所差異，一些被成人忽略的信息往往會被兒童捕獲，并暫時存儲在兒童記憶中。這些碎片化但對于數(shù)學學習有價值的信息可能隨時被后續(xù)接收的其他信息“趕走”，等到后續(xù)學習時又需要重新施加刺激。而如果能在這些信息被“趕走”之前，適時組織編碼，能延長這些信息在學生記憶中的儲存時間，等到系統(tǒng)學習該內(nèi)容時，學生就能及時調(diào)用并納入認知體系。這不是傳統(tǒng)意義上的提前教學，而是基于學生已有經(jīng)驗的、在學生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的有效滲透。因此，生活環(huán)境中海量的信息讓學生的已有經(jīng)驗更為多元，生活環(huán)境的差異讓不同學生的已有經(jīng)驗更為多樣。班級授課中，在教學設計前盡可能全面、精準地進行學情調(diào)研，是促進學生思維獲得整體提升的基礎。通過開放性問題激活學生記憶中的有用信息，通過問題引導學生組織信息編碼，有助于學生思維獲得個性發(fā)展。

（二）對學生生成資源再利用

當下，無論數(shù)學教材，還是配套的數(shù)學練習，大多是以紙面結(jié)論的方式呈現(xiàn)學生思維的結(jié)果，對學生解決問題過程中思維路徑的呈現(xiàn)相對不足，或者說較難實現(xiàn)。這些習題對于知識鞏固、技能形成等目標的達成無疑是必要的。美國數(shù)學家維納認為，數(shù)學是“思維的科學”。這就要求數(shù)學教學不僅要關注思維的結(jié)果，更應該關注思維的過程;不僅要從思維層面剖析錯誤解答的根源，也要對正確解答背后的思維過程予以關注和分析。對練習、作業(yè)的使用同樣如此。

借助SOLO分類理論，能對學生練習中錯誤解答所反映出的思維結(jié)構水平進行分類、分析：前結(jié)構水平的解答，說明學生未能在素材與問題之間建立連接，可能是知識點并未理解;單點結(jié)構水平的解答，說明學生注意的廣度不夠，在信息收集方面存在困難;多點結(jié)構水平的解答，說明學生在將信息關聯(lián)起來并進行歸納方面有困難;關聯(lián)結(jié)構水平的解答，說明學生需要在合乎邏輯的演繹方面再提升。

而通過上述案例我們可以發(fā)現(xiàn)，同樣正確的解答，背后的思維結(jié)構水平也可能并不相同。圖1中兩組等式的得出，可能是單點結(jié)構水平的回答，也可能是多點結(jié)構水平的回答。學生對這一問題的解答可能最多只能達到多點結(jié)構水平，也可能通過適當引導還能達到初步的關聯(lián)結(jié)構水平。以發(fā)展思維為目標的教學，不僅要關注學生解答結(jié)果的正確與否，更應利用學生解答過程中生成的資源，通過課間、課外談話等方式延展學生獲得結(jié)果的思維路徑，了解學生學習結(jié)果背后的真實思維過程，對學生解決問題時表現(xiàn)出的思維結(jié)構水平進行分類，并通過合理的引導促進學生思維水平的進階。

（三）對學生學習材料再建構

除了基于生成談話引導，對學生學習材料再建構也是發(fā)展學生思維的重要方式。適當為學生設計、提供一些階梯式、開放性、便于思維外化的學習材料，既讓不同層次的學生都能基于已有經(jīng)驗解決問題，又能延展并外化學生的思維路徑，以便對學生解答結(jié)果的思維結(jié)構水平進行精準評價。學習材料建構時還要關注問題設計，要能通過問題引導學生思維進階，以充分發(fā)揮學習材料的功能。

以上述案例中的習題為例，可做如下優(yōu)化設計：

如圖2，仔細觀察前面三組算式和結(jié)果，想一想：有怎樣的規(guī)律？

（1）按發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接填寫第四組算式，再列豎式計算檢驗是否正確。

（2）按發(fā)現(xiàn)的規(guī)律自己編寫出兩組算式并算出結(jié)果，看看是否符合規(guī)律。

（3）嘗試挑戰(zhàn)：你能試著將這些算式中的規(guī)律概括出來嗎？用你喜歡的方式表示出來。（友情提醒：先好好想一想，可以用文字、圖形、算式等方式概括表示）

問題（1），旨在引導學生消除因45×45需要列豎式計算而對第二道算式產(chǎn)生的導向，更多聚焦于規(guī)律的運用。而此刻發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在嚴格意義上僅僅是由不完全歸納推理得到的、未經(jīng)證明的猜想，之后引導學生列豎式檢驗，滲透培養(yǎng)學生的驗算習慣，并讓學生感受數(shù)學的嚴謹。通過檢驗，或反思填寫中的錯誤并予以改正，或享受成功的喜悅并體驗數(shù)學的奇妙。這一問題的正確解答僅需要點對點的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，思維層次至少達到單點結(jié)構水平。問題（2）適度開放，一方面引導學生整體發(fā)現(xiàn)等式組中的規(guī)律，而不停留于單點結(jié)構水平的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，另一方面直接引導學生通過計算得出結(jié)果，也是以枚舉方式對規(guī)律的進一步驗證，讓學生在算式的編寫、計算、驗證過程中深化對規(guī)律的體驗和感悟，感受數(shù)學的嚴謹與奇妙。這一問題的正確解答所體現(xiàn)出的思維層次至少達到多點結(jié)構水平。至此，本題所應承載的主體教學目標已完成。問題（3）為嘗試選答題，旨在給學有余力的學生以一定空間和時間，促成他們的思維進階。前面已對規(guī)律進行了不斷深入的探究、嘗試運用、計算驗證，這一環(huán)節(jié)引導學生通過不完全歸納，概括、表征出規(guī)律。該問題對三年級學生而言難度較高，我們需要給予學生更多時間，避免因為時間壓力迫使學生快速收斂而得到低層次回答。三年級學生表征經(jīng)驗相對缺乏，可能因找不到合適的表征方式而無法外化思維，所以通過“友情提醒”，一方面引導學生進行長時間思考，另一方面為學生的合理表征搭建支架。從這一問題的解答中，我們能分析出學生在該問題上所表現(xiàn)出的數(shù)學化能力和思維水平。

需要強調(diào)的是，發(fā)展學生思維并非一味拔高。正如上述案例中所描述的，“對話3”之后，我就沒有過高的結(jié)論型期望和對時間的限制，更未要求小湯能用字母式建構出數(shù)學模型，只是在他已能達到的思維水平基礎上，給予思維升階的空間和時間，鼓勵他多“跳一跳”，在此過程中積累再思考的經(jīng)驗，而不僅以“做對”為目標。過難的挑戰(zhàn)和過高的期望會挫傷兒童學習的信心，而學習動機、情感態(tài)度等因素對兒童思維的發(fā)展有著直接的影響。

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（趙斌，江蘇省南京市高淳區(qū)淳溪中心小學。南京市學科帶頭人，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市基礎教育課程改革先進個人，南京市先進教研組長，南京市優(yōu)秀教育工作者。獲評首屆新一輪南京市“斯霞獎”。）