郭銘紀(jì)

摘 要：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決問(wèn)題的過(guò)程。在教學(xué)中以幾何模型、函數(shù)模型、實(shí)際問(wèn)題背景模型等為載體，在具體的模型和情境中形成數(shù)學(xué)直觀感覺(jué)，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，采用多種方法和手段，通過(guò)對(duì)模型的認(rèn)識(shí)和再處理，發(fā)揮直觀的支柱作用，實(shí)現(xiàn)具體模型和情境與抽象概念的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化抽象為直觀，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);直觀想象;模型化培養(yǎng)策略

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家將直觀想象定義為：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程。主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。

克萊因說(shuō)：數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握。

希爾伯特說(shuō)：“在數(shù)學(xué)中，像在任何科學(xué)研究中那樣，有兩種傾向。一種是抽象的傾向。另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對(duì)象，側(cè)重它們之間關(guān)系的意義，也可以說(shuō)領(lǐng)會(huì)它們的生動(dòng)的形象”。

筆者認(rèn)為，“直觀想象”是“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模”的思維基礎(chǔ)，為我們提供了思維方向，是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段。

直觀想象與幾何聯(lián)系密切，直觀想象的載體是圖形。數(shù)、形是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的基本對(duì)象，相對(duì)而言，形直觀，數(shù)抽象。圖形作為數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象之一，是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要方法和手段。那么在教學(xué)中如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)呢？本文嘗試從學(xué)習(xí)幾何圖形（圖像）出發(fā)，以模型為載體培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)提出一些看法。

一、以幾何模型為載體培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

幾何對(duì)于幫助認(rèn)識(shí)我們生活的世界具有很大的現(xiàn)實(shí)意義，而直觀想象又是學(xué)生們學(xué)好幾何的關(guān)鍵。筆者教學(xué)中經(jīng)歷過(guò)農(nóng)村普通中學(xué)學(xué)生，城市一級(jí)達(dá)標(biāo)學(xué)校的學(xué)生，很多的同學(xué)對(duì)于幾何具有恐懼感，甚至有的同學(xué)到了高三對(duì)于空間平面四邊形還看不懂是平面圖形還是立體圖形！如何解決這個(gè)問(wèn)題，筆者認(rèn)為，通過(guò)幾何模型化處理方式進(jìn)行教學(xué)發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)是最有效的，在日常教學(xué)中筆者采用以下幾種模型。

（一）利用身邊實(shí)物模型培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。

三維世界中的一切事物都是學(xué)習(xí)立體幾何的最好模型，在教學(xué)中要善于利用好身邊的這些實(shí)物模型。正如教材里面舉例的：教室以及里面的燈、講臺(tái)、門窗、桌椅，學(xué)生的課本、紙張、筆、手等都可以抽象成空間幾何體中的點(diǎn)線面;課本的合閉變化就是一個(gè)很好的二面角模型;教室門的開(kāi)閉可以演示線面平行的判定，也可以演示線面垂直的判定。這樣的例子隨處可見(jiàn)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，以熟悉的場(chǎng)景設(shè)計(jì)模型進(jìn)行舉例，感同身受地體會(huì)到所處的空間點(diǎn)線面的各種關(guān)系。人類研究自然用得最多的是觀察法，養(yǎng)成習(xí)慣后，慢慢地直觀想象素養(yǎng)就能得以提升。

（二）通過(guò)制作幾何模型提升直觀想象素養(yǎng)。

五育并舉，立德樹人，努力構(gòu)建“德、智、體、美、勞”全面發(fā)展的教育評(píng)價(jià)體系，是高考改革的指導(dǎo)方針，也是新高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。陶行知先生對(duì)于中國(guó)教育革命的對(duì)策是手腦聯(lián)盟，簡(jiǎn)單地說(shuō)是要在學(xué)中做，在做中學(xué)。筆者在教學(xué)中就要求每個(gè)同學(xué)都要做幾何模型！利用吸管做出三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐;利用紙張做出圓柱、圓錐、圓臺(tái)等;利用繩子綁住直尺的兩端繪出橢圓模型、拉鏈繪制雙曲線模型等?，F(xiàn)在也可以利用網(wǎng)絡(luò)的便捷性，購(gòu)置一些幾何模型，快速地根據(jù)需要拼接出一些我們需要的幾何體模型。不過(guò)筆者更傾向于通過(guò)模型制作，這樣既能讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，在實(shí)踐中體會(huì)空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，又可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生能夠主動(dòng)地去學(xué)習(xí)，留下的模型還可以供學(xué)生反復(fù)觀察，學(xué)習(xí)幾何作為入門解題時(shí)配合使用，直觀想象素養(yǎng)必然會(huì)得到提升。

（三）通過(guò)多媒體教學(xué)手段構(gòu)建模型展示發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

不管是實(shí)物還是制作的模型，對(duì)于理解復(fù)雜的幾何體以及運(yùn)動(dòng)變化的問(wèn)題比較困難，這個(gè)時(shí)候需要多媒體教學(xué)手段構(gòu)建模型進(jìn)行輔助。利用幾何畫板、Flash動(dòng)畫等幾何軟件對(duì)立體圖形的位置關(guān)系、各種角、各種切截模型進(jìn)行觀察、揣摩，探索旋轉(zhuǎn)體、組合體、運(yùn)動(dòng)問(wèn)題等;運(yùn)用圓錐曲線圖像分析問(wèn)題構(gòu)建圓錐曲線問(wèn)題的直觀模型;線性規(guī)劃中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，如約束條件含參導(dǎo)致可行域變化的問(wèn)題、目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)致使目標(biāo)函數(shù)的幾何圖形變化的問(wèn)題等。對(duì)于發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)是一種很好的手段。

（四）以實(shí)際問(wèn)題模型提高繪圖能力增強(qiáng)直觀想象素養(yǎng)。

軟件繪圖的做法學(xué)生沒(méi)有參與其中，不會(huì)有切實(shí)的體驗(yàn)，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)仍然會(huì)有瓶頸。幾何的教學(xué)離不開(kāi)圖形，所以必須重視作圖能力的培養(yǎng)，學(xué)會(huì)如何繪圖。在教學(xué)中對(duì)學(xué)生講述繪圖時(shí)的一些要求和方法，讓學(xué)生盡快地掌握畫圖的技巧，引導(dǎo)學(xué)生將自己能夠想象到的立體圖形動(dòng)手畫下來(lái)，讓學(xué)生有參與感。當(dāng)學(xué)生能夠獨(dú)立的完成對(duì)于立體圖形特別是一些切截問(wèn)題模型的繪制時(shí)，說(shuō)明學(xué)生的空間想象能力得到了較大的提高，邏輯思維能力也隨之得到加強(qiáng)。高考中對(duì)繪圖能力的考察也經(jīng)常出現(xiàn)，如2015課標(biāo)2理數(shù)第19題。

題1：如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4。過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫法和理由）;（Ⅱ）略.

本題第一問(wèn)考察直線和平面平行的性質(zhì)，根據(jù)簡(jiǎn)單計(jì)算可得H（G）的位置以及根據(jù)面面平行的性質(zhì)畫出平面與長(zhǎng)方體的交線，從而確定另一個(gè)點(diǎn)G（H）。再比如2021年1月八省模擬演練的數(shù)學(xué)學(xué)科試卷立體幾何只考到了初步知識(shí)，沒(méi)有考到利用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題，以大興機(jī)場(chǎng)的建設(shè)成就、大學(xué)微分幾何中的曲率為背景，結(jié)合立體幾何的相關(guān)知識(shí)命制試題。2021年很多省份進(jìn)入了新高考，鑒于文理不分科，未來(lái)的立體幾何的命題會(huì)更加注重對(duì)核心素養(yǎng)的考察，筆者大膽猜測(cè)，類似這種題型以后會(huì)比較常見(jiàn)！新課改的精神對(duì)于落實(shí)核心素養(yǎng)的教學(xué)導(dǎo)向起到積極引導(dǎo)作用。

二、以數(shù)形結(jié)合問(wèn)題模型為載體培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

史寧中說(shuō)：數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象。但是，人們獲得知識(shí)又依賴于經(jīng)驗(yàn)的“直觀能力”，數(shù)學(xué)抽象與直觀想象是同構(gòu)的，直觀想象可以看成是一種依賴于經(jīng)驗(yàn)的先天抽象。筆者認(rèn)為直觀想象并不局限于幾何，是一種整體把握和深刻洞察。數(shù)形結(jié)合實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，實(shí)現(xiàn)具體模型和情境與抽象概念的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。因此，數(shù)形結(jié)合需要對(duì)“圖形”概念進(jìn)行拓展，包括各種函數(shù)圖像及其變換、向量復(fù)數(shù)的幾何意義、集合、統(tǒng)計(jì)圖表等，構(gòu)建可代數(shù)幾何化的數(shù)學(xué)模型，利用幾何直觀的特點(diǎn)，把代數(shù)問(wèn)題圖形化、形象化。如2013新課標(biāo)1卷理數(shù)第16題。

題2：若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f（x）的最大值是______.

本題命題意圖考查函數(shù)的對(duì)稱性及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，屬于難題。按照參考答案解答很復(fù)雜，大多考生無(wú)法解答。如果對(duì)函數(shù)圖像“直觀想象”，可將問(wèn)題簡(jiǎn)單化。由對(duì)稱性知：另外兩個(gè)零點(diǎn)是-3、-5，則f（x）=-（x-1）（x+1）（x+3）（x+5），利用函數(shù)左右平移不改變最值的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=-（x-1）（x+1）（x-3）（x+3）=-（x2-5）2+16，易得最大值為16。以實(shí)際問(wèn)題模型為載體，提升數(shù)形結(jié)合的能力，利用幾何直觀的價(jià)值功能，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀的意識(shí)，形成數(shù)學(xué)直觀感覺(jué)，在具體的情境和模型中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這對(duì)提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)是有很大幫助的。

數(shù)學(xué)的深層知識(shí)往往包含在表層知識(shí)中，就像陳重穆教授提出的“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”，利用圖形（圖像）構(gòu)建模型可以更直接簡(jiǎn)單地刻畫和描述問(wèn)題，探索和形成解題思路，尋找和發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，記憶和理解抽象知識(shí)以及建立良好數(shù)學(xué)直覺(jué)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律。通過(guò)模型的構(gòu)建和學(xué)習(xí)，以模型為載體，幫助學(xué)生掌握幾何圖形（圖像）的特征，有利于直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)育人的價(jià)值與功能，完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)。

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本文系福建省“十三五”中小學(xué)名師名校長(zhǎng)培養(yǎng)工程專項(xiàng)課題《高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略研究》（課題編號(hào)：DTRSX2019017）階段性研究成果。