李文娟

摘要 ：數(shù)值最大問題不僅是高中數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)，也是大學(xué)入學(xué)考試中出現(xiàn)頻率較高的重要考試點(diǎn)之一，但在其實(shí)際授課中，面臨著授課時間少、類型多、知識難、方法繁雜等問題。許多高中生對最有價值的問題類型缺乏全面認(rèn)識，無法靈活地使用該方法解決問題。本文通過高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題的解題步驟、與圓有關(guān)最值問題、與二次函數(shù)有關(guān)最值問題、不等式中最值問題、與幾何模型有關(guān)最值問題、與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)最值問題等方面進(jìn)行探析高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題。

關(guān)鍵詞 ：高中數(shù)學(xué);應(yīng)用題;最值問題

中圖分類號：G633.6;G434? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2021）16-069

研究表明，在實(shí)際的教學(xué)過程中，學(xué)生對高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值解析興趣缺乏、得分點(diǎn)掌握不明、應(yīng)用題解法存在誤區(qū);此時，教師應(yīng)在課堂教學(xué)中予以重點(diǎn)指導(dǎo)，注重啟發(fā)與探究雙管齊下，發(fā)揮教師課堂導(dǎo)學(xué)者的功能，以學(xué)生為主體，傳授知識的同時也要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化，將思想滲透到教學(xué)中去，發(fā)散思維，研究多種解題思路，有效地提升學(xué)習(xí)成績。本文將從高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題的解題步驟、與圓有關(guān)最值問題、與二次函數(shù)有關(guān)最值問題、不等式中最值問題、與幾何模型有關(guān)最值問題、與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)最值問題等方面來探析高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題。

一、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題的解題步驟

1.審題

審題是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題解題步驟的第一步。審題是解決最值問題的開端也是必要的關(guān)鍵點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題目大多都很復(fù)雜，文字內(nèi)容較多，高中學(xué)生在解題時一定要認(rèn)真審題，不要讀錯題目的含義，要明確題目中的已知條件、已知結(jié)論以及所有數(shù)字之間的聯(lián)系。教師在平時可以通過一些方法來培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，例如“引導(dǎo)高中學(xué)生多進(jìn)行課外閱讀，提高學(xué)生的閱讀能力和對文字信息的敏感程度”“在平時的高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，帶領(lǐng)學(xué)生熟悉了解數(shù)學(xué)模型，如一次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型以及三角函數(shù)模型等”等，通過這些方法都能夠提高學(xué)生的審題能力，讓學(xué)生在做題時能夠更加輕松和快捷。

2.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題解題步驟的第二步。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型可以更直觀地將數(shù)學(xué)問題中的文字題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生能夠看到更加明顯和直觀。對數(shù)學(xué)模型的正確構(gòu)建與否很大程度地影響了解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的順利程度和成功與否，對中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題來說是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)模型包含有概念、公式、符號以及方法等，是一種可以很好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在解決高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題時，可以先找到所有數(shù)字之間的聯(lián)系，觀察這些聯(lián)系和哪一個數(shù)學(xué)模型貼合，從而準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

3.求解

求解是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題解題步驟的第三步。在進(jìn)行了對數(shù)學(xué)模型的成功構(gòu)建之后，需要對問題進(jìn)行求解，從而順利地解決這個應(yīng)用問題。在進(jìn)行求解時，要重視理解數(shù)學(xué)模型中的各個數(shù)字的具體含義，從而選擇最合適實(shí)用的解題過程。教師在平時的教學(xué)中要重視培養(yǎng)高中學(xué)生的變化和轉(zhuǎn)換代數(shù)式的能力，做到更靈活地運(yùn)用自身的變形推理，更加成功地解決高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題。

4.還原

還原是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題解題步驟的第四步。通過審題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、求解之后會得到一個數(shù)學(xué)結(jié)論，通過對這個數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行還原，可以得到解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問題的方法和結(jié)論，真正地達(dá)到運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識來解決生活問題的目的，提高高中數(shù)學(xué)的生活化，將高中數(shù)學(xué)知識融入生活。

二、與圓有關(guān)最值問題的探析

在教授與圓有關(guān)的最值問題時，教師往往面臨知識困難，方法復(fù)雜，種類多，等問題。首先，教師應(yīng)制定符合學(xué)習(xí)的指導(dǎo)案例，培養(yǎng)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)意識。學(xué)生可以提前復(fù)習(xí)既往知識。通過為問題設(shè)置各種方式，可以引導(dǎo)學(xué)生自主探索相關(guān)問題的概念、解法等。然后，教師應(yīng)正確設(shè)置教學(xué)時數(shù)分布和對接所對應(yīng)的定向案例。教師對這些方法進(jìn)行分析總結(jié)，逐步進(jìn)行設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，這樣更有利于學(xué)生的理解。例如，人教版高中必修中《與圓有關(guān)的最值問題》教學(xué)中，形如μ=（y-b）/（x-a）型的最值問題，可轉(zhuǎn)化過定點(diǎn)（a，b）的動直線斜率的最值問題求解。典型例題如下：

已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求y/x的最大值。在這種最值題型之后中，教師首先應(yīng)提出啟發(fā)性問題提問，“原方程可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的哪種形式？”在教師的啟發(fā)之下，學(xué)生會進(jìn)入已有知識的思索，在思索過程中建立自己的知識建構(gòu)。

學(xué)生1：“原方程可化為（x-2）2+y2=3，y/x也就是我們曾經(jīng)學(xué)過的圓上的動直線的斜率，因此，y/x就是求（2，0）為圓心， 3 為半徑的圓的斜率問題?！边@樣的啟發(fā)性問題之下，原題就從抽象的方程式轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的圓的斜率的問題。

三、與二次函數(shù)有關(guān)最值問題的探析

21世紀(jì)正處在互聯(lián)網(wǎng)迅速發(fā)展的信息時代，網(wǎng)絡(luò)在線平臺和多媒體技術(shù)的新型教育模式被運(yùn)用到中學(xué)數(shù)學(xué)課堂之上，個性化的學(xué)習(xí)環(huán)境為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)和小組學(xué)習(xí)的時間和機(jī)會，適時因材施教，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，課堂表現(xiàn)非常好。例如，人教版高一數(shù)學(xué)中《二次函數(shù)的基本性質(zhì)》最值問題的教學(xué)中，二次函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，重難點(diǎn)是：了解并會處理二次函數(shù)含參數(shù)的最值問題。因此，教師可采取分組討論結(jié)合信息化設(shè)備進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的演示來闡釋解題思路。例如，一已知函數(shù)y=-x2-2x+3且x∈[0，2]，求函數(shù)的最值？教師可先令學(xué)生分組討論，然后由數(shù)學(xué)課代表組織觀看網(wǎng)絡(luò)教學(xué)視頻，分小組討論，先進(jìn)行小組內(nèi)討論，進(jìn)而進(jìn)行組間談?wù)?，由課代表并將重難點(diǎn)反饋給教師，教師根據(jù)問題在課堂上予以解決。并以小組為單位畫出函數(shù)的坐標(biāo)圖，然后在多媒體上展示正確的圖示。解析如下：y=-x2-2x+3=-（x-1）2+4，因?yàn)閤∈[0，2]，繪圖如圖一所示：則ymax=f（0）=3，ymin=f（2）=-5。在求最值時，也可以看所給區(qū)間與對稱軸的距離遠(yuǎn)近。開口向上的二次函數(shù)，離對稱軸越近，函數(shù)值越小;開口向下的二次函數(shù)，離對稱軸越近，函數(shù)值越大。

在課堂上配置預(yù)習(xí)方案，分小組完成預(yù)習(xí)內(nèi)容，通過討論解決了大部分的計(jì)算問題，在課堂上通過學(xué)生展示教師發(fā)現(xiàn)預(yù)習(xí)中存在的問題，在課堂上及時糾正，學(xué)生理解本節(jié)課堂的重點(diǎn)難點(diǎn)也變得容易多了。

四、不等式中最值問題的探析

有關(guān)于證明不等式的對稱型或者輪換型不等式的最值問題，常見于選擇填空中，在實(shí)際的教學(xué)之中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對此類問題的第一反應(yīng)是直接套用已有解題經(jīng)驗(yàn)，這是解題中的一大誤區(qū)，這樣的誤區(qū)要及時地在課堂之中進(jìn)行解決，要讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題，而不是在解題中“投機(jī)取巧”。例如，在使用不等式的問題“如果實(shí)數(shù)x和y滿足x2+y2+xy=1時找到x+y的最大值”中，獲得最大值的條件是內(nèi)部元素相等。在不對稱不等式中，出現(xiàn)了ma=nb的情況，其中a，b是不等式的元素，m，n是系數(shù)，尤其是在對稱旋轉(zhuǎn)不等式中，值相等的條件是兩個元素相同，但不是絕對的。特別是在有限的條件下，當(dāng)?shù)仁揭粋?cè)的常數(shù)與不等式的最大值不同時，可能無法獲得最大值。在上一個問題中，其中的x和y可以旋轉(zhuǎn)，并且可以通過設(shè)置x=y以獲得x+y的最大值來獲得x+y的最大值。

五、與幾何模型有關(guān)最值問題的探析

與幾何模型有關(guān)的最值問題一般都是光的折射、橋梁設(shè)計(jì)以及人造衛(wèi)星等，這種類型的問題一般都是通過先建立直角坐標(biāo)系，再解決實(shí)際問題的程序來解決，既需要利用關(guān)于面積、體積以及空間問題等的數(shù)學(xué)知識，也需要利用關(guān)于三角函數(shù)的知識結(jié)合起來進(jìn)行解決。

例如，人造衛(wèi)星A與地球地面的電視信號B的傳播方式是直線形式，其中電視信號能夠達(dá)到的地球區(qū)域被叫做衛(wèi)星覆蓋區(qū)域。衛(wèi)星A距離地球表面約36 000千米，地球的半徑為6400千米，在衛(wèi)星覆蓋區(qū)域之中取任意兩個點(diǎn)，求這兩個點(diǎn)之間的球面最大距離為多少？想要解決這個關(guān)于幾何模型的最值問題，就需要先建立直角坐標(biāo)系，再使用關(guān)于面積、體積以及空間問題等的數(shù)學(xué)知識和三角函數(shù)的知識結(jié)合起來解決問題。

六、與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)最值問題的探析

解決與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的最值問題時需要學(xué)生擁有關(guān)于隨機(jī)變量、概率、抽樣以及頻率分布的知識來解決問題，在進(jìn)行解題時，要認(rèn)真理解題目中給出的已知條件，結(jié)合自己掌握的幾何知識，選擇合理的解題方式。概率統(tǒng)計(jì)類的最值問題，既具有十分復(fù)雜的特質(zhì)，也具有比較廣泛的覆蓋程度，但是其解題方式和普通應(yīng)用題的解題方式比較類似，在解題時要十分地認(rèn)真的審題和思考，避免出現(xiàn)錯誤和紕漏。

例如，某農(nóng)戶對一塊田地的N個坑進(jìn)行播種，每一個坑播種三個種子，每個種子的發(fā)芽概率都為二分之一，并且每一個種子是否發(fā)芽都是相互獨(dú)立的。對每一個坑來說，如果至少會有兩個種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)充播種;反之，則需要進(jìn)行補(bǔ)充播種。試問，當(dāng)播種多少時，有三個坑需要補(bǔ)充播種的概率才為最大？當(dāng)解決這個問題時，要認(rèn)真審題，理解題目中給出的已知條件，找到數(shù)字之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，結(jié)合數(shù)學(xué)知識找到最合適的解題方法，從而能夠順利地解決這個問題。

綜上所述，本文對高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題的解題步驟、與圓有關(guān)的最值、與二次函數(shù)有關(guān)的最值、不等式中的最值、與幾何模型有關(guān)的最值、與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的最值等問題進(jìn)行了探析，得出了一些有效的觀念。在高中最值問題的教學(xué)過程中，教師應(yīng)加強(qiáng)素質(zhì)教育理念，以全面發(fā)展教育為導(dǎo)向，為了更好地實(shí)施優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)的方案，應(yīng)把突出數(shù)學(xué)主線作為發(fā)展的前提，重視數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會知識的遷移。高中數(shù)學(xué)中的最值問題通常都是以綜合題型出現(xiàn)的，這就對學(xué)生的解題能力提出了更高要求，也為教師的教學(xué)指明方向。在最值問題的教學(xué)上要從教學(xué)的整體出發(fā)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)解題全局觀，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維和總結(jié)歸納能力。

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[2]曹鋒.高中數(shù)學(xué)最值問題題型與解法未探[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2020（12）：13.

（作者單位：甘肅省天水市甘谷第一中學(xué)，甘肅 天水 741200）