汪海洋

[摘? 要] 文章首先簡要分析了初三時數(shù)學(xué)教師對綜合題復(fù)習(xí)課的處理概況，然后提出利用小組合作的方式分步推進(jìn)課堂進(jìn)程，分層調(diào)動學(xué)生思考，從而提高教學(xué)效率. 在這個過程中，教師應(yīng)科學(xué)設(shè)計(jì)課程，全面關(guān)注和評價學(xué)生表現(xiàn)，深入發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，讓知識和過程落地，讓方法和思想生根.

[關(guān)鍵詞] 綜合題復(fù)習(xí)策略;小組合作;高效課堂

問題的提出

在中考復(fù)習(xí)階段，大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師認(rèn)為綜合題對學(xué)生而言難度太大，學(xué)生容易產(chǎn)生畏難情緒，于是采取“直接講授法”，讓學(xué)生通過教師的講解，理解題目的解題方法，提高解題能力. 但是這樣的方式過分強(qiáng)調(diào)結(jié)果，忽略了學(xué)生的思維差異，抑制了學(xué)生的主動思考，很難達(dá)到預(yù)期的效果. 中考是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的平臺，并具有社會選拔功能. 教師理應(yīng)重視學(xué)生的中考復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生取得良好成績. 但是除此之外，教師還應(yīng)具有大局意識及長遠(yuǎn)眼光，立足培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)課程能為學(xué)生未來生活、工作、學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ).

那么，如何設(shè)計(jì)綜合題復(fù)習(xí)課，才能切實(shí)提高課堂效率，并兼顧學(xué)生的短期與長期收獲呢？

問題的解決

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)和因材施教，要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，主動探索，合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)[1]. 基于此，筆者認(rèn)為在初三綜合題復(fù)習(xí)課上，可以實(shí)施小組學(xué)習(xí)，以此調(diào)動學(xué)生參與的熱情，通過合作與競爭激發(fā)學(xué)生潛能，從而讓學(xué)生在多角度和多層次探究中不斷完善自己，提升自己. 接下來，筆者以一道幾何復(fù)習(xí)題為例，展現(xiàn)小組學(xué)習(xí)的魅力和效果，供同行參考.

1. 問題初探，活躍課堂氣氛

教師選取了一道初三復(fù)習(xí)題，其綜合性強(qiáng)，有一定難度，教師先讓學(xué)生自主探究，但本題較為靈活，部分學(xué)生感覺無從下手，這時，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行組內(nèi)討論，以期通過合作交流、集思廣益、取長補(bǔ)短，從而找到解決問題的突破口.

如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是矩形ABCD中AD邊上一動點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F.

（1）是否可以求出PE和PF的值？若可以，請分別求出PE，PF;若不可以，請說明理由.

（2）PE+PF的值是否隨點(diǎn)P的變化而變化？若不變化，請求出PE+PF的值;若變化，請說明理由.

師：根據(jù)已知是否可以分別求出PE和PF的值呢？（教師沒有讓學(xué)生急著回答問題，讓學(xué)生獨(dú)立思考后一起交流解題方案，經(jīng)過獨(dú)立思考和合作探究兩個環(huán)節(jié)后，很多學(xué)生已經(jīng)躍躍欲試地想要回答問題了）

生齊聲答：不能.

師：請說明一下理由. （教師讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生作答）

生1：因?yàn)辄c(diǎn)P為動點(diǎn)，PE和PF的值會隨著點(diǎn)P的變化而變化，因此無法求出. （教室響起熱烈的掌聲）

師：說得非常好，看來大家都很認(rèn)可生1的說法.

師：現(xiàn)在請小組一起討論第二問，接下來請各小組交流展示. （說要交流展示，大家積極性更高了）

生2：我們小組通過畫圖法，使AB=3 cm，BC=4 cm，通過測量發(fā)現(xiàn)PE+PF的值大約為2.4 cm，所以其值應(yīng)為2.4.

師：好的，還有其他小組有相同的想法嗎？

生3：我們小組的想法與生2小組基本相同，只是我們的比例不同，我們?nèi)B=30 cm，BC=40 cm，最終得出PE+PF=24 cm，故PE+PF=2.4.

生4：畫圖法也是解決問題的一個方法，但我認(rèn)為該方法不可取，因?yàn)楫媹D法測量必然會產(chǎn)生誤差，不具備說服力，在幾何證明題中更側(cè)重?cái)?shù)學(xué)推理法.

經(jīng)過小組合作探究，其中有幾個小組通過畫圖法來解決問題，若本題為選擇題，學(xué)生可以用這種方法求得答案，但作為幾何證明題此方法顯然行不通，生4的質(zhì)疑，將課堂帶入下一階段的推理.

2. 由淺入深，逐層推進(jìn)

學(xué)習(xí)是一個循序漸進(jìn)的過程，因此，在學(xué)習(xí)中切勿急于求成，教師要細(xì)心引導(dǎo)和耐心等待，經(jīng)過不斷地積累和完善定會花開.

在經(jīng)歷了前面的畫圖測量法后，有些小組又找到了新的解決方法.

生5：我們小組用特殊點(diǎn)法，假設(shè)點(diǎn)P移動至點(diǎn)D，則P，D，F(xiàn)重合. 過點(diǎn)D作DE⊥AC，S△ACD=AD·CD=AC·DE，根據(jù)已知代入值容易求得DE=2.4，即PE+PF=2.4.

生6：根據(jù)這個思路，也可以假設(shè)點(diǎn)P移動至點(diǎn)A，同理可證PE+PF=2.4. （生6補(bǔ)充到）

生7：還可以假設(shè)點(diǎn)P為中點(diǎn)，根據(jù)已知容易證得△DFP∽△DAB，從而得到了，求得PF=1.2，同時PE=1.2，所以PE+PF=2.4.

生8：特殊點(diǎn)法雖然也是一個很好的證明方法，但是對于本題該推理顯然理由不夠充分，因?yàn)辄c(diǎn)P在AD邊上有無數(shù)個點(diǎn)，若通過3點(diǎn)就證明PE+PF=2.4有些牽強(qiáng)，是否有反例可以證明其結(jié)論不成立呢？

特殊點(diǎn)法是解決填空題和選擇題的常用方法，因特殊點(diǎn)中往往隱藏著多個已知，這樣可以大大提高解題的效率，當(dāng)然，若在推理計(jì)算和證明題中應(yīng)用此解法顯然不具備說服力.

3. 深入推理，舉一反三

隨著探究的不斷深入，學(xué)生的思維被一點(diǎn)點(diǎn)激活，不斷涌現(xiàn)出新的想法. 為了讓通法在眾多方法中脫穎而出，教師及時進(jìn)行引導(dǎo)，以讓學(xué)生形成常規(guī)的解題思路，從而掌握解題策略.

師：遇到動點(diǎn)問題時，也許以靜制動，可以收獲驚喜，大家不妨設(shè)PA=x，看看有沒有什么發(fā)現(xiàn). （教師發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生被生8帶入了死胡同，及時引導(dǎo)）

再次合作交流后，教師板演了解題思路，其大概步驟如下：

（1）設(shè)PA=x，由已知可得PD=4-x.

（2）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AC=5.

（3）由已知還可以推導(dǎo)出△ABC∽△PEA∽△PFD.

生9：老師，我還有一個新的想法. （用通法解決問題后，學(xué)生又有了新思路）

師：很好，歡迎大家積極展示，現(xiàn)在請生9講解一下他的新思路.

生9講解后，教室里再次響起雷鳴般的掌聲. 有些學(xué)生對AB·BC有些不解，會的學(xué)生幫助不會的學(xué)生進(jìn)行講解，課堂氣氛和諧、融洽. 通過師生合作將部分學(xué)生帶離了思維誤區(qū)，新想法的提出更是將課堂推入了高潮，課堂呈現(xiàn)一片繁榮的景象.

4. 變式應(yīng)用，融會貫通

為了充分暴露問題的本質(zhì)，讓學(xué)生通過多角度思考知識點(diǎn)間的聯(lián)系而找到解決問題的通法，可以應(yīng)用變式，以讓學(xué)生通過“變”來發(fā)現(xiàn)“不變”的規(guī)律，從而構(gòu)建合理、完善的知識體系.

變式1：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是矩形ABCD中AD邊上一動點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE+PF的值為_______.

變式2：如圖1，在矩形ABCD中，AB=3a，BC=4a，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是矩形ABCD中AD邊上一動點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE+PF的值為_______.

變式3：如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是矩形ABCD中AD邊上一動點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE+PF，則BC的值為_______.

變式4：如圖3，在矩形ABCD中，AB=7，BC=24，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是矩形ABCD中AD延長線上一動點(diǎn)，PE⊥AC交AC延長線于E，PF⊥BD交BD延長線于點(diǎn)F.

（1）PE+PF的值是否為定值？若是，請求出;若不是，請說明理由.

（2）PE和PF是否存在其他等量關(guān)系？若存在，請求出;若不存在，請說明理由.

變式1僅在AB和BC值上略有變化，其目的是幫助學(xué)生強(qiáng)化解題過程;變式2中用字母代替數(shù)，讓學(xué)生克服當(dāng)值“不確定”時產(chǎn)生的畏難情緒;變式3則通過逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生逐漸認(rèn)清問題的本質(zhì);變式4，將P點(diǎn)延伸至AD延長線上，問題進(jìn)一步升華，從而實(shí)現(xiàn)了知識融會貫通的目的.

5. 引導(dǎo)反思，升華思維

經(jīng)過上面的獨(dú)立思考、合作交流、變式訓(xùn)練后，學(xué)生對本題的解題思路和解題方法已經(jīng)了如指掌，為了讓學(xué)生感受不同解法的應(yīng)用價值，教師又帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了深入的反思，以期提升學(xué)生的解題能力.

（1）對于畫圖度量法和特殊點(diǎn)法雖然不適宜證明和推理計(jì)算，但若應(yīng)用于選擇題和填空題中不失為一種好的解題方法，而且通過測量或特殊點(diǎn)也可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解問題，有助于后面的推理和驗(yàn)證，這有利于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀思維[2].

（2）在遇到動點(diǎn)問題時，設(shè)參法，以運(yùn)用方程或函數(shù)的解法進(jìn)行求解為解決此類問題的常用方法，即解題的通法，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

（3）解決問題可以有不同的方法，因此，在學(xué)習(xí)時要不斷嘗試和探究，通過“一題多解”不僅可以找到最優(yōu)答案，而且發(fā)散了思維，對能力的提升大有益處. 在這個過程中，學(xué)生發(fā)展了自己的邏輯推理能力.

（4）變式訓(xùn)練不僅可以起到鞏固知識、檢驗(yàn)方法的作用，合理應(yīng)用還可以提升學(xué)生的解題信心，有助于學(xué)生從特殊中找到一般規(guī)律，從而形成解題能力.

（5）學(xué)習(xí)要重視反思，通過歸納總結(jié)出解決問題的通法，發(fā)現(xiàn)問題的一般規(guī)律，從而在知識應(yīng)用上融會貫通，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題.

（6）在全面參與數(shù)學(xué)活動中，要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度來思考和處理問題，逐漸形成和發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)的理性精神;在探索過程中，遇到困難時要迎難而上，勇于突破;在與他人合作中，要有意識地發(fā)展自己的數(shù)學(xué)交流能力. 得到結(jié)論后，我們要學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)特有的美.

從學(xué)生課堂表現(xiàn)及師生的反思和總結(jié)來看，本節(jié)課通過小組合作的方式完成該綜合題的求解顯然是成功的. 在本節(jié)課的實(shí)施過程中教師堅(jiān)持以學(xué)生為主體，以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，借助自學(xué)和群學(xué)中出現(xiàn)的問題，制定授課策略，以此來推動課堂發(fā)展，全面提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 學(xué)生全程參與，深度學(xué)習(xí)，各個層面的思維都得到了有效的發(fā)展，各個能力水平的學(xué)生都得到了不同的發(fā)展.

問題的總結(jié)

如何上好綜合題復(fù)習(xí)課，根本在于如何讓知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度四個方面的教學(xué)目標(biāo)在課堂上整體實(shí)現(xiàn). 這就要求教師堅(jiān)持以學(xué)生全面和長遠(yuǎn)發(fā)展為中心，在課堂設(shè)計(jì)上有大局觀，在課堂實(shí)施中有過程觀，在學(xué)生評價中有全面觀. 教師應(yīng)該在整體實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)中，讓知識和過程落地，讓方法和思想生根，從各個維度關(guān)注學(xué)生的身心發(fā)展，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]曹一鳴，嚴(yán)虹. 中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材研究[M]. 北京：北京高等教育出版社，2017.