何文

摘 要：立體幾何是高考的必考知識點。其中立體幾何解答題占12分的分值，難度中等。如何使學生在高考中靈活運用所學盡快找到解答題的解題思路，爭取得全分，是教學的重要內(nèi)容。本文回顧近三年高考中立體幾何解答題，結(jié)合自身教學經(jīng)驗，談談自己的一些想法，以供參考。

關(guān)鍵詞：高考;立體幾何;解答題;思考

數(shù)學高考試卷中解答題占據(jù)半壁江山，解題中不僅要求學生盡快找到解題思路，而且還需詳細的書寫出解題過程。其中立體幾何解答題解題較為靈活，既可以運用立體幾何角度進行求解，也可運用空間向量知識求解。但根據(jù)學生做題反饋得知一些學生在解題中仍不能得全分，鑒于此有必要對高考中立體幾何解答題進行匯總，總結(jié)出相關(guān)的規(guī)律，給學生的復習備考活動帶來針對性指引。

一、高考立體幾何解答題回顧

（一）2018年全國一卷數(shù)學立體幾何解答題

如圖1，四邊形ABCD為正方形，E、F分別為AD、CB的中點，以DF為折痕把DFC折起，使C點達點P的位置，且PF⊥BF。

（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

（二）2019年全國一卷數(shù)學立體幾何解答題

如圖2，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分是BC、BB1、A1D的中點。

（1）證明：MN∥平面C1DE;

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

（三）2020年全國一卷數(shù)學立體幾何解答題

如圖3，D為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，PO=DO。

（1）證明：PA⊥平面PBC;

（2）求二面角B-PC-E的余弦值。

二、高考立體幾何解答題分析

（一）考點分析

2018年-2020年三年的全國一卷數(shù)學高考試題中立體幾何解答題均出現(xiàn)在第18題，均包括兩個小問，屬于中檔題目。其中2018年的全國一卷立體幾何考查的知識點為面面垂直、線面角;2019年的全國一卷立體幾何考查的知識點為線面平行、二面角;2020年的全國一卷立體幾何考查的知識點為線面垂直、二面角;三年的立體幾何解答題幾乎涵蓋了所有的立體幾何部分的考點。從出題情境來看，2018年全國一卷以圖形的翻折為背景考查學生對平面、空間圖形的認識以及理解深度，學生只有搞清楚平面與立體圖形點、線、面的關(guān)系，才能更好找到解題思路。2019年全國一卷以直棱柱為背景，較為常規(guī)，學生只要牢固掌握所學的基礎(chǔ)知識不難作答。2020年全國一卷以棱錐為背景進行設問，涉及圓以及圓的內(nèi)接正三角形。

總的來看，近三年的高考試卷中立體幾何解答題創(chuàng)設的情境均是學生較為熟悉的情境，考查的均是立體幾何部分的基礎(chǔ)以及重點知識，難度適中。

（二）解題思路分析

從立體幾何解答題的解題思路來看，官方公布的答案中兩個小問，第一個小問運用立體幾何知識求解，第二問則運用空間向量方法求解。從這一點來看，無疑給學生解答相關(guān)習題指明了方向，即，遇到難度不大的證明題時可采用常規(guī)思路求解。遇到難度稍大的問題時可考慮使用空間向量知識將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題通過向量的坐標運算進行解答。如2020年全國一卷立體幾何解答題的解題過程如下：

三、高考中立體幾何解答題的思考

通過分析近三年高考中立體幾何解答題習題考查的知識點、命題背景、解題思路認為，為更好的提高學生的解題能力，使其在高考中都能得全分，考取理想的分值，在以后的教學以及備考工作中應注重以下內(nèi)容的落實：

（一）腳踏實地，夯實基礎(chǔ)

通過上文分析可知，高考中立體幾何解答題不僅考查的知識點較為基礎(chǔ)，而且創(chuàng)設的情境并不復雜，因此，在以后的教學中應靈活應用多種教學方法深化學生理解，引導學生打牢基礎(chǔ)，苦練基本功。一方面，講解點、線、面、體知識時既要引導學生認真學習教材內(nèi)容，在頭腦中多問為什么，搞清楚知識的來龍去脈，又要注重引導學生積極聯(lián)系生活情境，降低學生陌生感，激發(fā)學生學習興趣的同時，在其頭腦中建立清晰的立體幾何圖形模型。另一方面，在講解相關(guān)的判定定理時，注重運用多媒體技術(shù)展示直觀的立體結(jié)合圖形，幫助學生記憶的同時，使其更好的理解，掌握各判定定理之間的區(qū)別與聯(lián)系。另外，完成立體幾何基礎(chǔ)知識學習后，要求其注重運用思維導圖將學習的知識點串聯(lián)、整合起來，構(gòu)建系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡。

（二）精講例題，總結(jié)思路

立體幾何解答題教學中，為使學生更好的掌握解題思路，一方面，做好例題的篩選與精講，即，結(jié)合自身教學經(jīng)驗選擇代表性較強的例題。在課堂上講解例題時既要注重與學生互動，又要給學生留下一定的思考時間，尤其組織學生開展一題多解活動。如針對某一例題可先為學生講解運用立體幾何知識解題的思路，而后要求學生運用向量方法進行解答，拓展學生的解題思維。另一方面，引導學生養(yǎng)成善于總結(jié)的良好習慣，即，對常見的立體幾何解答題題型進行匯總，認真分析不同題型特點，總結(jié)相關(guān)的解題思路，把握不同解題思路的注意事項，在以后的解題中能夠迅速破題。如運用向量法求解異面直線所成的角時應注意角的取值范圍為（0，）、直線和平面所成角的范圍為[0，]、二面角的取值范圍為[0，π]。另外，在學習中引導學生相互交流立體幾何解答題解題心得，相互分享解題技巧，不斷學習他人長處。

（三）注重訓練，提升能力

立體幾何解答教學中，為提高學生的解題能力應注重組織學生開展訓練活動。一方面，立體幾何解答題類型較多，應結(jié)合學生學習實際做好訓練習題的篩選，圍繞不同題型組織學生開展專題訓練活動。如認真收集近年來各省份立體幾何解答題，圍繞高考真題開展訓練活動。同時，為提高學生訓練的積極性，訓練中可要求學生相互比賽，看哪位學生在規(guī)定的時間內(nèi)最先找到解題思路，得出正確結(jié)果，及時提出表揚，提高學生的訓練體驗。另一方面，為獲得預期的訓練效果，應引導學生做好訓練后的反思。反思解答立體幾何解答題存在的問題，尤其反思做錯的題目，找到錯誤原因，是粗心大意還是基礎(chǔ)知識掌握不牢固，在課下及時查漏補缺，及時堵住知識漏洞。另外，要求學生做好優(yōu)秀訓練習題的摘抄，并在課下嘗試著進行一題多變，從不同角度進行設問、作答，將習題其徹底搞清楚、弄明白，會一題而會一類題。

結(jié)語

為提高學生立體幾何解答的解題能力，使其在高考中能夠順利、正確作答相關(guān)習題，教學中應通過總結(jié)高考中的相關(guān)習題，把握解答題考查的知識點，在教學中啟發(fā)學生切實打牢基礎(chǔ)。同時，認真總結(jié)解答題的解題思路，教學中既要通過精講例題，要求學生做好解題總結(jié)，又要組織學生積極開展相關(guān)的訓練活動，不斷提高學生解答立體幾何解答題的靈活性以及能力。

參考文獻

[1]王晨.高中數(shù)學立體幾何高考試題解題分析[J].高中數(shù)理化，2019（16）：1-2.

[2]許建芳.高考立體幾何解答題復習的深度思考[J].中學數(shù)學教學，2019（03）：7-9.

[3]羅起富.關(guān)于高考中立體幾何解答題的思考[J].高考，2019（09）：204.

[4]沈泗群.立體幾何解答題的解法探究[J].語數(shù)外學習（高中版中旬），2018（09）：43.

[5]李瑩瑩.高考中立體幾何解答題的研究與思考[D].河北師范大學，2017.

[6]吳國華.高考變化中的立體幾何解答題[J].中學生數(shù)理化（高三），2017（02）：3-6.

[7]楊昆華.高考“立體幾何”的突破策略[J].云南教育（中學教師），2015（04）：8-11.

[8]黃加衛(wèi).高考立體幾何解答題圖形特點展析[J].數(shù)理化學習（高中版），2009（Z1）：16-20.